Physics, spring 2023 – matriculation exam tasks and solutions

Oikea vaihtoehto on a: lämpöä siirtyy itsestään vain kuumemmasta kylmempään, joten ulkoyksikön aineen on oltava kylmempää kuin ulkoilma.

Termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan lämpö ei siirry itsestään kylmästä kuumaan. Ulkoyksikössä ei tehdä lämmönsiirtotyötä suoraan ulkoilmaan, vaan siellä lämpöä siirtävä aine höyrystyy matalassa paineessa hyvin matalassa lämpötilassa, esimerkiksi $-20\ ^\circ$C:ssa, vaikka ulkona olisi $-5\ ^\circ$C. Lämpötilaero on siis oikeansuuntainen: ulkoilma on aineeseen nähden lämmin varasto.

Vaihtoehdot b ja c ovat mahdottomia, koska lämpöä ei siirry itsestään kylmemmästä ulkoilmasta lämpimämpään aineeseen eikä myöskään, kun lämpötilat ovat samat. Vaihtoehto d on harhaanjohtava: työ tehdään kompressorissa, ja se nostaa aineen lämpötilan sisäyksikköä varten korkeaksi, mutta ulkoyksikössä siirtymisen mahdollistaa nimenomaan lämpötilaero.

Vastaus: aine on kylmempää kuin ulkoilma (1 p.).

Oikea vaihtoehto on a: höyrystimessä aine höyrystyy ja sitoo samalla energiaa ympäristöstä.

Olomuodon muutos nesteestä kaasuksi vaatii höyrystymislämmön $Q = r m$, joka otetaan ympäristöstä. Lämpöpumpun ulkoyksikkö on juuri höyrystin: siellä paisuntaventtiilin jälkeen matalapaineinen kylmäaine on ulkoilmaa kylmempää, ottaa ulkoilmasta lämpöä ja höyrystyy. Ilman lämpötila ulkoyksikön kohdalla laskee, mikä näkyy talvella huurteena.

Sisäyksikössä tapahtuu päinvastainen prosessi: kompressorin puristama kuuma höyry tiivistyy lauhduttimessa nesteeksi ja luovuttaa tiivistymislämmön huoneilmaan (vaihtoehto c kuvaa tätä vaihetta, ei höyrystintä). Vaihtoehto b on ristiriitainen, koska höyrystyminen aina sitoo energiaa. Vaihtoehto d ei sisällä olomuodon muutosta, johon lämpöpumpun tehokkuus perustuu.

Vastaus: aine höyrystyy ja ottaa vastaan energiaa ympäristöstä (2 p.).

Oikea vaihtoehto on c: lämpöpumpun lämmitysteho on tyypillisesti muutamia kertoja sen sähköteho, joten suuruusluokka on $3\,000$ W.

Lämpöpumppu ei muuta sähköä lämmöksi vaan siirtää lämpöä ulkoa sisälle sähkön avulla. Energian säilymisen mukaan sisälle luovutettu lämpö on $Q_1 = Q_0 + W$, missä $Q_0$ on ulkoilmasta otettu lämpö ja $W$ sähköenergia. Lämmitysteho on siis aina suurempi kuin sähköteho, mikä sulkee pois vaihtoehdot a ($300$ W) ja b ($1\,000$ W). Lämpökerroin eli suorituskyky $\varepsilon = Q_1/W$ on ilmalämpöpumpuilla tavallisesti $2$–$4$, joten $1\,000$ W:n sähköteholla saadaan noin $3\,000$ W lämpöä. Vaihtoehto d ($30\,000$ W) vastaisi lämpökerrointa 30, mikä ylittää toisen pääsäännön sallimat rajat käytännön lämpötiloilla.

Vastaus: $3\,000$ W (2 p.).

Oikea vaihtoehto on a: kun huone lämpenee, jääkaappi joutuu siirtämään lämpöä suuremman lämpötilaeron yli, mikä kuluttaa enemmän sähköä.

Jääkaappi on lämpöpumppu, joka siirtää lämpöä kylmästä sisätilasta lämpimään huoneeseen. Kaksi asiaa kasvattaa kulutusta. Ensinnäkin lämpöä vuotaa huoneesta jääkaappiin johtumalla seinämien läpi, ja johtumisteho on verrannollinen lämpötilaeroon, joten lämpimämmässä huoneessa siirrettävää lämpöä on enemmän. Toiseksi jäähdytyskoneen suorituskyky $\varepsilon = Q_0/W$ heikkenee, kun kylmän ja kuuman varaston lämpötilaero kasvaa (ideaalisesti $\varepsilon = T_0/(T_1 - T_0)$), joten sama lämpömäärä vaatii enemmän työtä.

Vaihtoehdot b ja d ovat päinvastaisia: lämmön helpompi siirtyminen huoneesta kaappiin on juuri haitta. Vaihtoehto c ei ota huomioon lämpövuodon kasvua.

Vastaus: sähkönkulutus nousee (2 p.).

Oikea vaihtoehto on a: avoin jääkaappi ei jäähdytä huonetta vaan lämmittää sitä, koska kaikki sen kuluttama sähköenergia päätyy lopulta huoneeseen lämpönä.

Tarkastellaan huonetta ja jääkaappia yhtenä systeeminä. Jääkaappi siirtää lämpöä $Q_0$ sisätilastaan takaosan lauhduttimeen ja luovuttaa huoneeseen $Q_1 = Q_0 + W$. Kun ovi on auki, jääkaapin sisältä otettu lämpö $Q_0$ on peräisin samasta huoneilmasta, joten sen kierto ei muuta huoneen energiaa. Nettovaikutus on kompressorin tekemä työ $W$, joka muuttuu lämmöksi ja jää huoneeseen. Huoneen energia kasvaa sähkön kulutuksen verran, ja lämpötila nousee.

Vaihtoehdot b ja d unohtavat, että kylmä ilma ja lauhduttimen lämpö ovat samassa huoneessa. Vaihtoehto c ei ota huomioon sähköenergian muuttumista lämmöksi.

Vastaus: lämpötila nousee (2 p.).

Oikea vaihtoehto on a: kun kaasuun tehdään työtä ilman lämmönvaihtoa, kaasu puristuu kokoon ja sen lämpötila nousee.

Tämä on adiabaattinen puristus. Ensimmäisen pääsäännön mukaan sisäenergian muutos on $\Delta U = Q + W$. Koska lämpöä ei siirry, $Q = 0$, ja kaasuun tehty työ on positiivinen, $W > 0$. Siis $\Delta U > 0$, ja ideaalikaasun sisäenergia riippuu vain lämpötilasta, joten $T$ nousee. Työn tekeminen kaasulle tarkoittaa sen puristamista, jolloin tilavuus pienenee. Kompressorissa tapahtuu juuri näin: kylmäainehöyry kuumenee puristuksessa niin paljon, että se voi luovuttaa lämpöä lämpimään sisäilmaan.

Vaihtoehto b kuvaisi isotermistä puristusta, joka vaatisi lämmön poistamista. Vaihtoehdoissa c ja d tilavuuden ja lämpötilan muutokset ovat ristiriidassa energian säilymisen kanssa.

Vastaus: lämpötila kasvaa ja tilavuus pienenee (2 p.).

Avainajatus: intensiteetit lasketaan yhteen, desibelejä ei, joten muunna taso intensiteetiksi, viisinkertaista ja muunna takaisin.

1. Yhden pussin intensiteetti tasosta $L = 10\ \mathrm{dB}\cdot\log\dfrac{I}{I_0}$, $I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$: $I_p = I_0\cdot10^{9{,}5} = 10^{-2{,}5}\ \mathrm{W/m^2} \approx 3{,}2\cdot10^{-3}\ \mathrm{W/m^2}$.
2. Viisi samanlaista, toisistaan riippumatonta lähdettä samalla etäisyydellä: intensiteetit summautuvat, $I = 5I_p$.
3. Uusi taso: $L = 10\ \mathrm{dB}\cdot\log\dfrac{5\cdot10^{-2{,}5}}{10^{-12}} = 10\ \mathrm{dB}\cdot(\log 5 + 9{,}5) = 10\ \mathrm{dB}\cdot(0{,}70 + 9{,}5) \approx 102\ \mathrm{dB}$.

Nopeampi tapa: viisinkertainen intensiteetti nostaa tasoa $10\ \mathrm{dB}\cdot\log 5 \approx 7$ dB, siis $95 + 7 = 102$ dB.

Vastaus: noin $102$ dB, hyväksytty $100$–$102$ dB (4 p.). Yleinen virhe: $5\cdot95 = 475$ dB, eli kerrotaan desibelit; taso on logaritminen suure, joten lähteiden lisääminen kasvattaa sitä vain vähän.

Avainajatus: 10 dB:n muutos tasossa vastaa intensiteetin kymmenkertaistumista, joten 20 dB:n lasku pudottaa intensiteetin sadasosaan.

Intensiteettitason määritelmästä $L = 10\ \mathrm{dB}\cdot\log\dfrac{I}{I_0}$ seuraa kahdelle tasolle
$$L_1 - L_2 = 10\ \mathrm{dB}\cdot\log\dfrac{I_1}{I_2}.$$
Sijoitetaan $L_1 = 95$ dB ja $L_2 = 75$ dB: $20\ \mathrm{dB} = 10\ \mathrm{dB}\cdot\log\dfrac{I_1}{I_2}$, joten $\log\dfrac{I_1}{I_2} = 2$ ja $\dfrac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100$. Uusi intensiteetti on siis $\dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{1}{100} = 0{,}010$.

Vastaus: intensiteetti on $1{,}0\ \%$ alkuperäisestä (3 p., yksi tai kaksi merkitsevää numeroa).

Yleinen virhe on verrata tasoja: $75/95 \approx 79\ \%$ on väärin, koska desibeliasteikko on logaritminen eikä suhteita voi lukea suoraan tasoista. Muista myös, että vertailutaso $I_0$ supistuu pois, kun tarkastellaan kahden intensiteetin suhdetta.

Avainajatus: pistemäisen lähteen intensiteetti pienenee kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön, $I \propto 1/r^2$, joten tasojen ero muunnetaan ensin intensiteettien suhteeksi ja sitten etäisyyksien suhteeksi.

1. Intensiteetit tasoista: $I_p = I_0\cdot10^{9{,}5} = 10^{-2{,}5}\ \mathrm{W/m^2}$ (95 dB, 1,0 m) ja $I_t = I_0\cdot10^{3} = 10^{-9}\ \mathrm{W/m^2}$ (30 dB).
2. Etäisyysriippuvuus (2 p.): energia leviää pallopinnalle $4\pi r^2$, joten $\dfrac{I_t}{I_p} = \dfrac{r_p^2}{r_t^2}$ ja $r_t = r_p\sqrt{\dfrac{I_p}{I_t}}$.
3. Sijoitus (3 p.): $r_t = 1{,}0\ \mathrm{m}\cdot\sqrt{\dfrac{10^{-2{,}5}}{10^{-9}}} = 1{,}0\ \mathrm{m}\cdot\sqrt{10^{6{,}5}} = 10^{3{,}25}\ \mathrm{m} \approx 1\,780\ \mathrm{m}$.

Vastaus: noin $1{,}8$ km (5 p.). Tasoero on 65 dB, mikä vastaa intensiteettien suhdetta $10^{6{,}5}$; neliöjuuri on otettava, koska intensiteetti riippuu etäisyyden neliöstä. Yleinen virhe on unohtaa neliöjuuri tai jakaa tasot keskenään.

Avainajatus: $1/r^2$-malli olettaa, että äänen energia vain leviää suuremmalle pallopinnalle, mutta todellisuudessa energiaa myös absorboituu matkalla, joten ääni vaimenee mallia nopeammin.

Kääntäen neliöllinen laki pätee pistemäiselle lähteelle ilman häviöitä: sama teho jakautuu pinnalle $4\pi r^2$. Käytännössä ääniaallon energiaa absorboituu ilmaan (ilman viskositeetti ja molekyylien värähtelyt muuttavat aaltoenergiaa lämmöksi, erityisesti korkeilla taajuuksilla) sekä maastoon, kasvillisuuteen, rakennuksiin ja muihin esteisiin. Lisäksi esteet heijastavat ja sirottavat ääntä pois suoralta reitiltä. Näiden takia intensiteetti pienenee nopeammin kuin $1/r^2$, ja etäisyys, jolla ääni on vaimentunut taustan tasolle, on todellisuudessa selvästi laskettua lyhyempi.

Täysien pisteiden vastaus nimeää ilmiön: äänienergian absorptio ilmaan tai esteisiin (3 p.). Pelkkä heijastuminen antaa 1 p. Ei riitä sanoa, että ääni vaimenee etäisyyden takia tai että hälyäänet peittävät sen; ne eivät selitä poikkeamaa mallista.

Avainajatus: molemmissa ilmiöissä fotoni katoaa kokonaan, mutta sen energia päätyy eri kohteisiin: valosähköilmiössä yhdelle elektronille, parinmuodostuksessa uuden hiukkasparin massaksi ja liike-energiaksi.

Valosähköilmiö (1 + 2 p.): fotoni absorboituu atomiin ja katoaa. Lähes koko sen energia $E = hf$ siirtyy yhdelle väliaineen elektronille, joka irtoaa atomista: $E_k = hf - W$, missä $W$ on irrotustyö. Tämä prosessi hallitsee pienillä fotonienergioilla ja raskaissa aineissa.

Parinmuodostus (1 + 2 p.): riittävän suurienergiainen gammafotoni katoaa ytimen sähkökentässä ja muuttuu aineeksi, elektroniksi ja positroniksi. Osa energiasta, vähintään $2m_ec^2 = 1\,022$ keV, muuttuu parin lepomassaksi, ja loput jakautuu hiukkasten liike-energiaksi. Ilmiö vaatii siis kynnysenergian $1{,}022$ MeV.

Täysien pisteiden vastaus kertoo kummastakin sekä fotonin kohtalon (katoaa) että energian siirtymisen kohteen. Kolmas vuorovaikutustapa, Comptonin sironta, eroaa siinä, että fotoni ei katoa vaan jatkaa pienemmällä energialla.

Avainajatus: elektroni saa eniten energiaa, kun sironnut fotoni jää mahdollisimman pienienergiaiseksi, ja se tapahtuu takaisinsironnassa $\theta = 180^\circ$.

1. Elektronin energia (2 p.): energian säilymisen mukaan $E_e = E - E^\ast$.
2. Ääriarvo (2 p.): $E^\ast$ on pienimmillään, kun nimittäjä $1 + \dfrac{E}{m_ec^2}(1 - \cos\theta)$ on suurimmillaan eli $\cos\theta = -1$, $\theta = 180^\circ$. Silloin $E^\ast_{\min} = \dfrac{E}{1 + 2E/(m_ec^2)}$.
3. Lasku (2 p.): $m_ec^2 = 511$ keV, joten $\dfrac{2E}{m_ec^2} = \dfrac{2\cdot662}{511} = 2{,}591$ ja $E^\ast_{\min} = \dfrac{662}{3{,}591}\ \mathrm{keV} = 184{,}4$ keV. Siis $E_e = 662 - 184{,}4 = 478$ keV.

Vastaus: $E_{e,\max} \approx 478$ keV (kolme merkitsevää numeroa).

Yleinen virhe on olettaa maksimin olevan kulmalla $90^\circ$; tarkista aina, mikä kulma minimoi sironneen fotonin energian. Tämä maksimi näkyy gammaspektrissä Compton-reunana.

Avainajatus: parafiinin sulattamiseen kuluva lämpö mitataan kalorimetrisesti kuuman veden luovuttamana lämpönä, ja ominaissulamislämpö saadaan jakamalla se parafiinin massalla.

Välineet (2 + 2 p.): listasta tarvitaan vaaka ja lämpömittari; tarpeettomien välineiden vaatimisesta menettää pisteitä.

Päävaiheet:
1. Punnitse parafiinipala, massa $m_p$, ja laita se styrox-astiaan.
2. Lisää keittimestä punnittua kuumaa vettä erissä; mittaa veden alkulämpötila $T_0$ ja jokaisen erän jälkeen tasaantunut lämpötila termisessä tasapainossa (4 p.).
3. Parafiini lämpenee ensin sulamispisteeseen $60\ ^\circ$C. Sulamisen aikana lämpötila ei nouse veden lisäyksestä huolimatta; kun se taas nousee, kaikki on sulanut. Piirrä lämpötila veden massan funktiona ja lue sulamiseen käytetyn veden massa $\Delta M$.

Suureyhtälöt: veden luovuttama lämpö $Q = c\,\Delta M\,\Delta T$ (2 p.) on yhtä suuri kuin sulamiseen sitoutunut $Q = s\,m_p$ (2 p.), joten $s = \dfrac{c\,\Delta M\,\Delta T}{m_p}$ (2 p.). Yleinen virhe: määritetään sulamispiste sulamislämmön sijaan.

Avainajatus: mittaustulos poikkeaa kirjallisuusarvosta, koska osa lämmöstä karkaa, sulamisen rajat ovat epätarkat ja jokaiseen mittaukseen liittyy laitteen virhe.

Täysien pisteiden vastaus nimeää kolme erityyppistä tekijää:
1. Lämpöhäviöt (2 p.): kuuma vesi luovuttaa lämpöä myös styrox-astiaan, sen kanteen ja huoneilmaan sekä kaadon aikana, jolloin osa veden lämmöstä ei mene parafiiniin. Tämä pienentää laskettua $s$:n arvoa.
2. Sulamisen alun ja lopun havaitseminen (2 p.): parafiini ei sula yhtäkkiä, vaan pala sulaa reunoilta ja lämpötila tasaantuu hitaasti; on vaikea päättää tarkasti, milloin sulaminen alkaa ja päättyy tai milloin terminen tasapaino on saavutettu.
3. Mittalaitteen virhe (2 p.): esimerkiksi vaa'an lukematarkkuus punnittaessa vesieriä tai lämpömittarin epätarkkuus ja hidas reagointi kuuman veden lämpötilaa mitattaessa.

Vältä ylimalkaisia perusteluja kuten "mittausvirhe" tai "laskuvirhe" ilman nimettyä mittausta; niistä ei saa pisteitä. Myöskään alumiiniastian lämpökapasiteettia ei hyväksytä, koska koe tehdään styrox-astiassa.

Avainajatus: jokainen lämmin kappale säteilee infrapunasäteilyä, joten lämmin teleskooppi häikäisisi itse itsensä juuri sillä aallonpituusalueella, jota se yrittää mitata.

Lämpösäteilyn intensiteetti kasvaa Stefanin–Boltzmannin lain mukaan lämpötilan neljännessä potenssissa, ja Wienin siirtymälain mukaan huoneenlämpöisen kappaleen säteilymaksimi on noin $10\ \mu$m:n aallonpituudella eli keskellä infrapuna-aluetta. Kaukaisista galakseista tuleva infrapunasäteily on äärimmäisen heikkoa. Jos teleskoopin peili, rakenteet ja ilmaisimet olisivat lämpimiä, niiden oma säteily olisi monta kertaluokkaa voimakkaampaa kuin kohteen signaali ja peittäisi sen kohinan alle. Siksi James Webb pidetään aurinkosuojan varjossa noin $40$ K:n lämpötilassa, jolloin sen oma säteily siirtyy pidemmille aallonpituuksille ja heikkenee ratkaisevasti.

Täysien pisteiden vastaus mainitsee syyksi teleskoopin oman lämpösäteilyn (3 p.). Ei riitä todeta, että lämpötilan on oltava alhainen, tai viitata ympäristön säteilyyn.

Avainajatus: kerrokset pidetään erillään, jotta niiden väliin jää tyhjiö. Tyhjiössä lämpö ei johdu, joten se pääsee kerroksesta toiseen vain säteilemällä.

Kuvan 11.A lämpösuojan reunasta näkyy, että kalvot eivät kosketa toisiaan, vaan niiden välissä on rako. Yhtenäisen kerroksen läpi lämpö siirtyisi johtumalla auringon puoleiselta kuumalta pinnalta kylmälle puolelle (2 p.). Kun suoja jaetaan viideksi erilliseksi kalvoksi, kerrosten välissä on avaruuden tyhjiö. Johtuminen ja konvektio tarvitsevat väliaineen, joten kerroksesta toiseen lämpö voi siirtyä vain lämpösäteilynä (2 p.).

Miksi tämä auttaa: kukin kalvo säteilee lämpöä molemmille puolilleen ja rakojen kautta sivuille avaruuteen, joten seuraavaan kerrokseen päätyy vain osa energiasta. Säteilyteho riippuu voimakkaasti lämpötilasta, $P=\sigma A T^4$, joten jokainen viileämpi kerros säteilee eteenpäin selvästi heikommin. Näin teleskoopin peili ja mittalaitteet pysyvät alle noin 50 kelvinin lämpötilassa. Kylmyys on välttämätöntä, koska tehtävänannon mukaan teleskooppi toimii infrapuna-alueella: lämmin laite säteilisi itse infrapunaa ja peittäisi heikot kohteet.

Täysiin pisteisiin tarvitaan molemmat osat: johtuminen yhtenäisessä kerroksessa ja tyhjiö kerrosten välissä. Tyypillinen virhe on väittää kerrosten välissä olevan eristävää ilmaa; avaruudessa ei ole ilmaa. Pisteitä ei myöskään tuo pelkkä toteamus, että viisi kerrosta eristää paremmin kuin yksi, tai selitys sille, miksi teleskooppi ylipäätään tarvitsee lämpösuojan.

Avainajatus: L2-pisteessä Auringon ja Maan yhteinen gravitaatio antaa juuri sen keskihakuisen kiihtyvyyden, jolla teleskooppi kiertää Auringon yhdessä vuodessa Maata kauempana.

1. Newtonin II laki (2 p.): $ma = G_{\rm A} + G_{\rm M}$, jossa $G_{\rm A} = \dfrac{\gamma m_{\rm A} m}{(r+d)^2}$ ja $G_{\rm M} = \dfrac{\gamma m_{\rm M} m}{d^2}$; $r = 1{,}496\cdot10^{11}$ m ja $d = 1{,}5\cdot10^9$ m.
2. Normaalikiihtyvyys (2 p.): ratasäde on $r + d$, joten $a = \omega^2(r+d)$.
3. Kulmanopeus (2 p.): $T = 365{,}2\ \mathrm{d} = 3{,}156\cdot10^7$ s, $\omega = 2\pi/T = 1{,}991\cdot10^{-7}$ rad/s.
4. Lukuarvot (2 p.): $m$ supistuu. Vasen puoli $\omega^2(r+d) \approx 5{,}99\cdot10^{-3}\ \mathrm{m/s^2}$; oikea puoli $\gamma\left(\dfrac{m_{\rm A}}{(r+d)^2} + \dfrac{m_{\rm M}}{d^2}\right) \approx 5{,}99\cdot10^{-3}\ \mathrm{m/s^2}$.
5. Johtopäätös (1 p.): puolet ovat yhtä suuret, joten laki toteutuu etäisyydellä $1{,}5\cdot10^6$ km.

Yleinen virhe: Maan vetovoima unohdetaan tai ratasäteenä käytetään pelkkää $r$:ää.