Physics, autumn 2025 – matriculation exam tasks and solutions

Oikea vastaus on b: noin $1000 {\rm W}$ eli $1 {\rm kW}$.

Suuruusluokka-arvio nojaa kotitalouden pistorasian rajoihin. Suomessa jännite on $230 {\rm V}$ ja tavallinen sulake $10 {\rm A}$, joten pistorasiasta saatava enimmäisteho on

$P=UI=230 {\rm V}\cdot 10 {\rm A}\approx 2{,}3 {\rm kW}$.

Siksi c ($10 {\rm kW}$) ja d ($100 {\rm kW}$) ovat mahdottomia: sulake palaisi. Vaihtoehto a ($100 {\rm W}$) on liian pieni, sillä litran vesimäärän lämmittäminen vaatii energian $Q=cm\Delta T\approx 3\cdot 10^5 {\rm J}$, mikä kestäisi $100 {\rm W}$:n teholla lähes tunnin; todellisuudessa keitin kiehauttaa veden muutamassa minuutissa.

Täysien pisteiden vastaus: $1000 {\rm W}$ (2 p.).

Oikea vastaus on c: noin $1 {\rm A}$.

Arvion voi tehdä laturin tehosta. Tavallinen puhelinlaturi antaa noin $5 {\rm W}$ teholla jännitteen $5 {\rm V}$, jolloin

$I=\dfrac{P}{U}=\dfrac{5 {\rm W}}{5 {\rm V}}=1 {\rm A}$.

Saman voi päätellä akusta: puhelimen akun kapasiteetti on luokkaa $3000 {\rm mAh}$, ja lataus kestää muutaman tunnin, joten virta on suuruusluokkaa yksi ampeeri.

Vaihtoehdot a ja b ovat satoja kertoja liian pieniä: $10 {\rm mA}$:n virralla lataus kestäisi satoja tunteja. Vaihtoehto d ($100 {\rm A}$) vastaisi kilowattien tehoa, mikä sulattaisi laturin johdon.

Ansa on yksikköetuliite: $1 {\rm mA}=10^{-3} {\rm A}$.

Täysien pisteiden vastaus: noin $1 {\rm A}$ (2 p.).

Oikea vastaus on b: noin $1 {\rm s}$.

Radioaallot ovat sähkömagneettista säteilyä, joka etenee tyhjiössä valonnopeudella $c=3{,}0\cdot 10^{8} {\rm m/s}$. Maan ja Kuun keskietäisyys on noin $384\,000 {\rm km}=3{,}84\cdot 10^{8} {\rm m}$, joten kulkuaika on

$t=\dfrac{s}{c}=\dfrac{3{,}84\cdot 10^{8} {\rm m}}{3{,}0\cdot 10^{8} {\rm m/s}}\approx 1{,}3 {\rm s}$.

Lähin annetuista vaihtoehdoista on $1 {\rm s}$. Sama kokemus tunnetaan Apollo-lähetysten radiopuheluista, joissa vastausta joutui odottamaan runsaat kaksi sekuntia edestakaisen matkan takia.

Ansa on kilometrien muuntaminen metreiksi: $384\,000 {\rm km}$ on $3{,}84\cdot 10^{8} {\rm m}$, ei $3{,}84\cdot 10^{5} {\rm m}$.

Täysien pisteiden vastaus: noin $1 {\rm s}$ (2 p.).

Oikea vastaus on c: noin $100 \mu{\rm m}$ eli $0{,}1 {\rm mm}$.

Suuruusluokka kannattaa ankkuroida tuttuun mittaan: ihmisen hius erottuu paljaalla silmällä, ja silmän erotuskyky on noin $0{,}1 {\rm mm}$. Hius on siis juuri havaitsemisen rajalla, mikä vastaa sataa mikrometriä. Ihmissolun halkaisija on tyypillisesti $10\dots 30 \mu{\rm m}$, joten hius on muutaman solun levyinen — tämä sulkee pois vaihtoehdot a ja b, jotka olisivat solua ohuempia. Vaihtoehto d, $1 {\rm mm}$, olisi selvästi paljain silmin paksuna näkyvä lanka.

Muista etuliitteet: $1 \mu{\rm m}=10^{-6} {\rm m}$ ja $1 {\rm mm}=10^{-3} {\rm m}$, eli $100 \mu{\rm m}=0{,}1 {\rm mm}$.

Täysien pisteiden vastaus: noin $100 \mu{\rm m}$ (2 p.).

Ratkaisun avain on tunnistaa, mikä suure pysyy vakiona: kondensaattori on koko ajan kytkettynä jännitelähteeseen, joten jännite $U$ pysyy samana ja varaus muuttuu.

Eristelevy kasvattaa kapasitanssin $\varepsilon_r$-kertaiseksi: $C'=\varepsilon_r C$. Energia lasketaan muodossa $E=\tfrac12 CU^2$, joten

$\Delta E=\tfrac12 C'U^2-\tfrac12 CU^2=\tfrac12(\varepsilon_r-1)CU^2$

$\Delta E=\tfrac12\cdot 3{,}5\cdot 0{,}95\cdot 10^{-6} {\rm F}\cdot(24 {\rm V})^2=9{,}58\cdot 10^{-4} {\rm J}\approx 0{,}96 {\rm mJ}$.

Energia siis kasvaa; lisäenergian tuo jännitelähde. Ansana on mikrofaradin muuntaminen faradeiksi ja energiakaavan valinta: koska $U$ on vakio, käytetään muotoa $\tfrac12 CU^2$, ei muotoa $Q^2/2C$.

Pisteytys: vakiojännite ja kapasitanssin muutos (2 p.), suureyhtälö (1 p.), vastaus (2 p.).

Ratkaisun avain on, että kondensaattori on irrotettu lähteestä: nyt varaus säilyy ja jännite muuttuu.

Varaus on $Q=CU=1{,}9\cdot 10^{-6} {\rm F}\cdot 12 {\rm V}=22{,}8 \mu{\rm C}$. Levykondensaattorin kapasitanssi $C=\varepsilon_0 A/d$ on kääntäen verrannollinen levyväliin, joten etäisyyden nelinkertaistuessa kapasitanssi pienenee arvoon $C/4$. Vakiovarauksella energia lasketaan muodossa $E=Q^2/(2C)$:

$\Delta E=\dfrac{Q^2}{2(C/4)}-\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{3Q^2}{2C}=\dfrac{3(22{,}8\cdot 10^{-6} {\rm C})^2}{2\cdot 1{,}9\cdot 10^{-6} {\rm F}}\approx 4{,}1\cdot 10^{-4} {\rm J}=0{,}41 {\rm mJ}$.

Pisteytysohjeen nimeämä ansa: jos jännite oletetaan virheellisesti vakioksi, saadaan $0{,}10 {\rm mJ}$.

Pisteytys: varaus säilyy (2 p.), kapasitanssi neljäsosaan (2 p.), oikea vastaus (2 p.).

Ydinajatus: energian muutos selittyy työllä, jonka ulkoinen voima tekee levyjä erotettaessa.

Kondensaattorin levyillä on vastakkaismerkkiset varaukset, joten ne vetävät toisiaan puoleensa sähköstaattisella voimalla. Jotta levyjä voi siirtää kauemmas toisistaan, niihin on kohdistettava ulospäin suuntautuvat voimat, jotka kumoavat vetovoiman. Nämä voimat vaikuttavat siirtymän suuntaan, joten ne tekevät positiivisen työn $W=Fs$.

Energian säilymisen mukaan tämän työn on siirryttävä johonkin. Se varastoituu kondensaattorin sähkökentän energiaksi: levyjen välinen kenttävoimakkuus pysyy samana, mutta kentän täyttämä tilavuus kasvaa, joten varastoitunut energia kasvaa.

Pisteytysohjeen ansa: pelkkä toteamus kapasitanssin pienenemisestä ei ole selitys. Täysissä pisteissä mainitaan levyjen vetovoima, ulkoisen voiman työ ja energian varastoituminen kenttään (yhteensä 4 p.).

Ydinajatus: kyse on sähkömagneettisesta induktiosta ja energian säilymisestä.

Kun magneetti lähestyy käämiä, käämin läpäisevä magneettivuo $\Phi$ kasvaa. Faradayn induktiolain mukaan muuttuva vuo indusoi käämiin jännitteen $U=-N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$, ja koska käämi on oikosuljettu, siinä kulkee virta $I=U/R$.

Virta lämmittää käämiä teholla $P=RI^2$, eli piiriin siirtyy jatkuvasti energiaa. Tämä energia ei synny tyhjästä: ainoa energialähde on liikkuva magneetti, joten sen liike-energia pienenee. Sama näkyy myös Lenzin lain kautta: indusoitunut virta synnyttää magneettikentän, joka vastustaa vuon muutosta ja jarruttaa magneetin liikettä.

Pisteytys: ilmiön kytkeminen induktioon (2 p.); ehjä päättelyketju induktiojännitteestä ja virrasta liike-energian pienenemiseen (2 p.).

Ydinajatus: induktiojännite saadaan Faradayn laista ja teho Ohmin lain kautta.

Tehtävän oletuksen mukaan vuon muutosnopeus on verrannollinen magneetin nopeuteen, $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t=kv$. Faradayn induktiolaki antaa jännitteen itseisarvoksi

$U=N\left|\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\right|=Nkv$.

Oikosuljetussa käämissä koko jännite vaikuttaa resistanssin $R$ yli, joten $I=U/R$ ja teho on

$P=UI=\dfrac{U^2}{R}=\dfrac{(Nkv)^2}{R}=\dfrac{N^2k^2v^2}{R}$.

Teho on siis kääntäen verrannollinen resistanssiin: kun $R$ pienenee, teho kasvaa, ja kun $R$ kasvaa, teho pienenee. Ansa on käyttää muotoa $P=RI^2$ vakiovirralla; tässä jännite on kiinnitetty, joten oikea muoto on $U^2/R$.

Pisteytys: $U=Nkv$ (2 p.), teho (2 p.), sanallinen johtopäätös resistanssista (2 p.).

Ydinajatus: koska magneetti ei koskaan tule ulos putkesta, se pysähtyy, ja koko alkuperäinen liike-energia on siirtynyt putkeen.

Liikkuva magneetti muuttaa putken seinämän läpäisevää magneettivuota, joten seinämään indusoituu pyörrevirtoja. Lenzin lain mukaan ne vastustavat liikettä ja jarruttavat magneettia; virrat lämmittävät putkea. Kitkaa ja ilmanvastusta ei ole, joten pyörrevirrat ovat ainoa energian siirtymistie.

Energian säilymisestä siirtyvä energia on siis magneetin alkuperäinen liike-energia:

$E=\tfrac12 mv^2=\tfrac12\cdot 0{,}052 {\rm kg}\cdot(0{,}30 {\rm m/s})^2=2{,}34\cdot 10^{-3} {\rm J}\approx 2{,}3 {\rm mJ}$.

Kaksi ansaa: grammat on muunnettava kilogrammoiksi, ja nopeus on korotettava toiseen potenssiin — ilman neliötä saisi virheellisesti $7{,}8 {\rm mJ}$.

Pisteytys: perustelu koko liike-energian siirtymisestä (2 p.), suureyhtälö (1 p.), vastaus (2 p.).

Tehtävässä pyydetään kaksi koetta tai tilannetta, ei pelkkiä ilmiöiden nimiä, ja kummallekin selitys aaltoluonteen avulla. Kelpaavat ilmiöt, joita hiukkasmallilla ei saa selitettyä: interferenssi, diffraktio ja polarisaatio.

Esimerkki 1: valo ohjataan kaksoisraon tai hilan läpi varjostimelle, jolle syntyy vuorottelevia kirkkaita ja pimeitä juovia. Selitys: eri raoista tulleiden aaltojen kulkuero on eri kohdissa erilainen, ja superpositioperiaatteen mukaan aallot vahvistavat toisiaan, kun kulkuero on $n\lambda$, ja kumoavat toisensa, kun se on $(n+\tfrac12)\lambda$.

Esimerkki 2: valo kulkee kahden peräkkäisen polarisaatiosuodattimen läpi, ja jälkimmäistä kierretään. Läpäisevä intensiteetti vaihtelee maksimista lähes nollaan, mikä osoittaa, että kyseessä on poikittainen aaltoliike.

Pisteytys: kumpikin koe (1 p.) ja selitys (2 p.), yhteensä 6 p.

Tehtävässä pitää nimetä yksi koe tai tilanne, jossa säteily käyttäytyy erillisinä osumina, ja selittää havainto fotonimallilla.

Esimerkki: hyvin heikko valonlähde ja herkkä ilmaisin, esimerkiksi valomonistinputki tai kameran kenno. Ilmaisin ei rekisteröi tasaisesti heikkenevää signaalia vaan yksittäisiä, satunnaisina ajanhetkinä tulevia pulsseja, ja pitkän valotuksen kuva rakentuu erillisistä pisteistä. Selitys: energia siirtyy säteilystä aineeseen kvantteina, joiden energia on $E=hf$. Yksi fotoni absorboituu kerrallaan yhteen paikkaan, jolloin syntyy juuri yksi osuma. Intensiteetin pienentäminen vähentää fotonien lukumäärää, ei yksittäisen osuman suuruutta.

Yhtä hyvin käy valosähköinen ilmiö tai Comptonin sironta. Pisteytysohjeen ansa: pelkkä ilmiön nimeäminen ilman koeasetelmaa ei riitä.

Pisteytys: koe (1 p.), selitys (2 p.).

Kysytään kahta koetta tai tilannetta, joissa näkyy, että energiaa siirtyy vain annoksina $E=hf$, sekä selitys kummallekin.

Esimerkki 1: valosähköinen ilmiö. Metallipintaa valaistaan ja mitataan irtoavia elektroneja. Elektroneja irtoaa vain, jos valon taajuus ylittää rajataajuuden; sitä matalammalla taajuudella mikään intensiteetti ei irrota elektroneja. Selitys: yksi fotoni luovuttaa energiansa $hf$ kokonaan yhdelle elektronille, ja irtoaminen vaatii $hf\ge W_0$, missä $W_0$ on irrotustyö. Ylimäärä jää liike-energiaksi: $E_k=hf-W_0$.

Esimerkki 2: kaasun viivaspektri tai luminesenssi. Atomi absorboi ja emittoi vain tiettyjä aallonpituuksia. Selitys: atomin energiatilat ovat kvantittuneet, ja siirtymässä siirtyvä energia on täsmälleen tilojen energiaero, $hf=E_2-E_1$.

Pisteytys: kumpikin koe (1 p.) ja selitys (2 p.), yhteensä 6 p.