Physics, spring 2025 – matriculation exam tasks and solutions

Kysymys koskee momenttitasapainoa eli sitä, milloin nosturi kaatuu tukipisteensä ympäri.

Kaatumista tarkastellaan telaketjujen etureunan ympäri: kuorman paino ja puomin oma paino synnyttävät tämän akselin suhteen kaatavan momentin $M=Fr$, jossa voimavarsi $r$ on vaakasuora etäisyys tukilinjasta. Kun puomia pidennetään, voimavarsi kasvaa ja kaatava momentti kasvaa suoraan verrannollisesti, vaikka kuorma pysyisi samana. Nosturi kaatuu, kun kaatava momentti ylittää nosturin oman painon tasapainottavan momentin eli kun systeemin massakeskipiste siirtyy tukipinnan ulkopuolelle.

Kaatumisen estäminen: nosturin runkoon kiinnitetään tukijalat, jotka laajentavat tukipintaa, tai riittävän suuri vastapaino puomin vastakkaiselle puolelle.

Pisteytys: momentti- tai massakeskipisteperustelu (2 p.); tukijalat tai vastapaino nosturiin, ei puomiin tai kuormaan (2 p.).

Ydinajatus: virtamittari kytketään sarjaan sen vastuksen kanssa, jonka virtaa mitataan.

Perustelu Kirchhoffin virtalailla: solmupisteeseen tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähtevien virtojen summa, koska varaus säilyy. Sarjaankytkennässä mittarin ja vastuksen välillä ei ole haarautumiskohtaa, joten sama virta $I$ kulkee molempien läpi ja mittari näyttää juuri vastuksen virran.

Jos mittari kytkettäisiin rinnan vastuksen kanssa, syntyisi solmupiste, jossa virta jakautuisi kahteen haaraan, $I=I_{\rm mittari}+I_{\rm vastus}$. Mittari näyttäisi vain oman haaransa virran, ja koska sen resistanssi on hyvin pieni, se myös oikosulkisi vastuksen.

Täysien pisteiden vastaus: sarjaankytkentä sanoin tai piirroksena (2 p.) ja Kirchhoffin virtalakiin nojaava perustelu samasta virrasta (2 p.).

Alfahajoamisessa ydin emittoi alfahiukkasen eli He-4-ytimen, joten hajoamisyhtälö kirjoitetaan nukleoni- ja varausluvun säilymisen avulla.

Radonin järjestysluku on $Z=86$ ja massaluku $A=222$. Alfahiukkanen vie mukanaan kaksi protonia ja kaksi neutronia, joten tytärytimen massaluku on $222-4=218$ ja järjestysluku $86-2=84$. Järjestysluku 84 vastaa poloniumia. Yhtälö on siis

$^{222}_{\ 86}{\rm Rn}\to\ ^{218}_{\ 84}{\rm Po}+\ ^{4}_{2}{\rm He}$.

Alfahiukkasesta saa käyttää myös merkintää $\alpha$. Tarkista aina kaksi säilymisehtoa: ylärivien summa $218+4=222$ ja alarivien summa $84+2=86$ täsmäävät lähtöytimen lukuihin.

Täysien pisteiden vastaus on tämä yhtälö oikein merkittynä (3 p.). Puoliintumisaikaa ei tässä kohdassa tarvita.

Ydinajatus: alfasäteilyn vaarallisuus riippuu siitä, onko lähde kehon ulko- vai sisäpuolella.

Alfahiukkasen kantama on lyhyt, koska se ionisoi ainetta voimakkaasti ja luovuttaa energiansa nopeasti. Ulkoisena lähteenä alfasäteily pysähtyy paperiin tai ihon uloimpaan kuolleeseen sarveiskerrokseen eikä siksi ole vaarallista.

Radon on kuitenkin jalokaasu, joka kulkeutuu sisäilmasta hengityksen mukana keuhkoihin. Siellä hajoaminen tapahtuu suoraan elävän kudoksen vieressä, eikä suojaavaa kerrosta ole. Juuri lyhyt kantama tekee annoksesta suuren: koko hiukkasen energia luovutetaan pienelle kudostilavuudelle, mikä ionisoi soluja ja voi vaurioittaa perimää.

Täysien pisteiden vastaus: radonkaasu kulkeutuu hengityksen mukana keuhkoihin (2 p.) ja alfahiukkaset luovuttavat energiansa eli ionisoivat suoraan keuhkokudosta (2 p.).

Ydinajatus: reaktiossa vapautuva energia on massakato kerrottuna valonnopeuden neliöllä.

Massakato on lähtöytimen ja tuotteiden massojen erotus:

$\Delta m=222{,}017576 {\rm u}-(218{,}008971 {\rm u}+4{,}002603 {\rm u})=0{,}006002 {\rm u}$.

Muunnetaan kilogrammoiksi kertoimella $1 {\rm u}=1{,}66054\cdot 10^{-27} {\rm kg}$, jolloin $\Delta m=9{,}967\cdot 10^{-30} {\rm kg}$, ja edelleen

$Q=\Delta mc^2\approx 8{,}96\cdot 10^{-13} {\rm J}=5{,}59 {\rm MeV}$.

Tässä on olennaista käyttää atomimassoja, sillä elektronien lukumäärä säilyy reaktiossa ja niiden massat kumoutuvat. Vapautuva energia ilmenee heti hajoamisen jälkeen hajoamistuotteiden eli alfahiukkasen ja tytärytimen liike-energiana.

Pisteytys: massakato (3 p.), energia välillä 5,550–5,620 MeV (3 p.), liike-energia (2 p.).

Ydinajatus: ennuste ja havainto eroavat, koska liikemäärätasetta ei saa rajata pelkkiin luotaimeen ja kuuhun.

Täysin kimmottoman törmäyksen ennusteessa oletetaan, että luotain jää kiinni kuuhun eikä muuta ainetta liiku: $m_{\rm l}v_{\rm l}=(m_{\rm l}+m_{\rm k})\Delta v$. Todellisuudessa törmäys sinkosi kuun pinnalta suuren määrän ainesta avaruuteen, pääosin luotaimen tulosuuntaa kohti takaisin.

Liikemäärän säilymislain mukaan tämä sinkoutunut aines vie mukanaan liikemäärää, ja kuun on saatava vastaavasti lisää liikemäärää vastakkaiseen suuntaan. Poissinkoava aines toimii siis rakettityönnön tapaan, ja ratanopeuden muutos kasvaa moninkertaiseksi kimmottoman törmäyksen ennusteeseen verrattuna.

Täysien pisteiden vastaus: selitetään sinkoutuvan aineksen liikemäärä ja sen vaikutus liikemäärän säilymislain kautta (3 p.).