Physics, autumn 2024 – matriculation exam tasks and solutions

Oikea vastaus on a: veden pinnan korkeus ei muutu.

Kelluva kappale syrjäyttää Arkhimedeen lain mukaan painonsa verran vettä: noste $F_n=\rho_v g V_{\rm syrj}$ on yhtä suuri kuin jääpalan paino $mg$, joten $V_{\rm syrj}=m/\rho_v$. Kun jääpala sulaa, syntyvän veden massa on sama $m$ ja sen tilavuus $V_{\rm sula}=m/\rho_v$ eli täsmälleen sama kuin syrjäytetty tilavuus. Sulanut vesi täyttää siis juuri sen kolon, jonka jää oli tehnyt, eikä pinta liiku.

Tavallinen ansa on päätellä tiheyserosta, että pinta laskisi; tiheysero näkyy jo siinä, että osa jäästä on pinnan yläpuolella. Jääpalan koko ei vaikuta päättelyyn, joten d on väärin.

Täysien pisteiden vastaus: pinta ei muutu, perusteluna syrjäytetyn ja sulaneen veden yhtä suuri tilavuus (2 p.).

Oikea vastaus on a: sulava jäätikkö sitoo lämpöä ilmakehästä ja laskee ympäröivän ilman lämpötilaa.

Olomuodon muutos vaatii energiaa. Jään sulattamiseen tarvitaan sulamislämpö $Q=ms$, missä veden ominaissulamislämpö on noin $3{,}3\cdot 10^{5} {\rm J/kg}$. Tämä energia otetaan ympäristöstä, käytännössä ilmasta ja auringonsäteilystä, joten ilma viilenee. Vaihtoehto b kääntää energiavirran väärinpäin ja d väittää sulamisen olevan energiavapaata.

Vaihtoehto c on väärä siksi, että olomuodon muutoksen aikana lämpötila pysyy vakiona $0 {\rm ^\circ C}$:ssa: kaikki sitoutuva energia kuluu sidosten purkamiseen eikä lämpötilan nostoon.

Täysien pisteiden vastaus: jäätikkö sitoo sulamislämmön ilmakehästä ja laskee ilman lämpötilaa (2 p.).

Oikea vastaus on a: kielen molemmissa päissä on solmu.

Kitaran kieli on kiinnitetty molemmista päistään, joten päät eivät pääse liikkumaan. Seisovassa aallossa kohta, jossa poikkeama on aina nolla, on solmu, ja suurimman poikkeaman kohta on kupu. Reunaehto pakottaa siis solmun molempiin päihin ja perusvärähtelyssä kuvun kielen keskelle. Tästä seuraa myös taajuusehto $L=n\lambda/2$ eli $f_n=nv/(2L)$, missä $n=1,2,3,\dots$

Vaihtoehto d on väärä juuri perusvärähtelyn takia: keskellä on kupu, ja solmu osuu keskelle vasta toisessa moodissa. Kupu päähän syntyy vain vapaaseen päähän, kuten avoimen putken suulle.

Täysien pisteiden vastaus: molemmissa päissä on solmu, koska kiinnitetyt päät eivät voi värähdellä (2 p.).

Oikea vastaus on a: äänen nopeus ilmassa ei muutu.

Aaltoliikkeen perusyhtälö on $v=f\lambda$. Etenemisnopeuden määrää yksin väliaine, ilmassa lämpötila ja koostumus, ei lähde. Kun kielen värähtelytaajuus kaksinkertaistetaan, ilmaan syntyvän äänen taajuus kaksinkertaistuu, mutta $v$ pysyy samana, joten aallonpituuden on puolituttava: $\lambda=v/f$. Siksi myös d on väärin.

Kielellä itsellään aallon nopeus riippuu kielen jännityksestä ja pituusyksikön massasta, ei sekään taajuudesta.

Yleinen ansa on lukea yhtälöä $v=f\lambda$ niin, että taajuuden kasvaessa nopeuskin kasvaisi. Muistisääntö: väliaine kiinnittää nopeuden ja lähde taajuuden, jolloin aallonpituus määräytyy näistä.

Täysien pisteiden vastaus: nopeus ei muutu, aallonpituus puolittuu (2 p.).

Oikea vastaus on a: virran suunta ja elektronien kulkusuunta ovat vastakkaiset, ja elektronit kulkevat pariston negatiiviselta navalta positiiviselle.

Sähkövirran suunta on sovittu positiivisen varauksen kulkusuunnaksi eli ulkoisessa piirissä plusnavalta miinusnavalle. Metallijohteessa varauksenkuljettajia ovat kuitenkin vapaat elektronit, joiden varaus on $-e$. Sähkökenttä työntää niitä kohti korkeampaa potentiaalia, siis miinusnavalta plusnavalle, vastakkaiseen suuntaan kuin sovittu virta. Siksi b ja c ovat väärin.

Vaihtoehto d on väärä: elektronit todella liikkuvat, vaikka niiden kulkeutumisnopeus on hyvin hidas, kun taas energia siirtyy piirissä kentän välityksellä lähes valon nopeudella.

Täysien pisteiden vastaus: suunnat ovat vastakkaiset, koska virran suunta on sovittu positiivisen varauksen suunnaksi (2 p.).

Oikea vastaus on a: kitkavoima on vektorisuure ja kitkakerroin skalaarisuure.

Vektorisuureella on suuruus ja suunta, skalaarilla vain suuruus. Kitkavoima $\bar F_\mu$ on voima, ja sillä on selvä suunta: liukukitka vaikuttaa pintaa pitkin liikettä vastaan, ja sen yksikkö on newton. Kitkakerroin $\mu$ taas on kahden voiman suuruuden suhde, $\mu=F_\mu/N$, joten se on pelkkä luku: dimensioton ja yksikötön skalaari, arkitilanteissa tyypillisesti välillä $0\dots 1$.

Muistisääntö: jos suure piirretään voimakuvioon nuolena ja sillä on yksikkö newton, se on vektori; verrannollisuuskertoimet ja materiaalivakiot ovat skalaareja.

Täysien pisteiden vastaus: kitkavoima on vektori ja kitkakerroin skalaari, koska se on voimien suhde (2 p.).

Oikea vastaus on a: liike-energia on skalaarisuure ja liikemäärä vektorisuure.

Liike-energia $E_k=\tfrac12 mv^2$ riippuu vain vauhdin neliöstä eikä liikkeen suunnasta: nopeuden merkin vaihtaminen ei muuta arvoa, joten suuretta ei voi varustaa suunnalla. Yksikkö on joule. Liikemäärä $\bar p=m\bar v$ on taas massan ja nopeusvektorin tulo, joten se osoittaa aina nopeuden suuntaan; yksikkö on ${\rm kg\,m/s}$.

Ero on olennainen törmäystehtävissä: liikemäärät lasketaan yhteen komponenteittain, jolloin vastakkaiset liikemäärät voivat kumota toisensa, kun taas liike-energiat summataan aina positiivisina lukuina.

Täysien pisteiden vastaus: liike-energia on skalaari ja liikemäärä vektori, perusteluna nopeuden neliö vastaan nopeusvektori (2 p.).

Oikea vastaus on a: heliumytimen.

Alfahajoamisessa raskas ydin sinkoaa ulos alfahiukkasen, joka koostuu kahdesta protonista ja kahdesta neutronista. Se on siis He-4-ydin, merkinnältään $^4_2{\rm He}$. Hajoamisyhtälö on yleisesti $^A_Z{\rm X}\to\ ^{A-4}_{Z-2}{\rm Y}+\ ^4_2{\rm He}$: massaluku pienenee neljällä ja järjestysluku kahdella, jolloin sekä nukleoniluku että varaus säilyvät.

Muut vaihtoehdot ovat muita hajoamistapoja: elektroni syntyy beeta-miinus-hajoamisessa (b), positroni beeta-plus-hajoamisessa (c) ja suurienergiainen fotoni gammahajoamisessa (d), jossa ytimen viritystila purkautuu ilman koostumuksen muutosta.

Täysien pisteiden vastaus: heliumydin eli kaksi protonia ja kaksi neutronia (2 p.).

Oikea vastaus on a: fotoni vuorovaikuttaa atomiytimen kanssa ja syntyy elektroni ja positroni.

Parinmuodostuksessa suurienergiaisen fotonin energia muuttuu massaksi yhtälön $E=mc^2$ mukaisesti. Koska syntyvien hiukkasten lepomassat ovat yhtä suuret, fotonin energian on oltava vähintään $2m_ec^2\approx 1{,}02 {\rm MeV}$. Lähellä oleva ydin tarvitaan siksi, että sekä energia että liikemäärä voivat säilyä samanaikaisesti; tyhjässä avaruudessa ilmiö ei ole mahdollinen.

Muut vaihtoehdot kuvaavat eri ilmiöitä: b on annihilaatio eli parinmuodostuksen käänteisilmiö, c valosähköinen ilmiö ja d Comptonin sironta.

Täysien pisteiden vastaus: fotoni synnyttää ytimen läheisyydessä elektronin ja positronin (2 p.).

Tehtävässä sovelletaan suoraan suorituskyvyn määritelmää: jäähdytyksessä $\varepsilon$ on talosta pois siirretyn lämmön suhde pumpun kuluttamaan sähköenergiaan.

Määritelmästä $\varepsilon=Q_0/W$ ratkaistaan lämpö:

$Q_0=\varepsilon W=3{,}2\cdot 1{,}6 {\rm kWh}=5{,}12 {\rm kWh}\approx 5{,}1 {\rm kWh}$.

Lämpötilat $21 {\rm ^\circ C}$ ja $25 {\rm ^\circ C}$ ovat tässä kohdassa ylimääräistä tietoa: annettu suorituskyky riittää, eikä Carnot-tarkastelua tarvita.

Ansana on yksikkö. Kilowattitunti on energian eikä tehon yksikkö, joten sitä ei tarvitse muuntaa jouleiksi, kun vastauskin pyydetään kilowattitunteina. Vastaus annetaan 2–3 merkitsevällä numerolla.

Pisteytys: lämmölle ratkaistu suureyhtälö (2 p.) ja oikea lukuarvo (3 p.).

Ydinajatus: lämpöpumppu luovuttaa ulkoilmaan sekä talosta ottamansa lämmön että sähköverkosta ottamansa työn.

Lämpöopin ensimmäisen pääsäännön mukaan pumppuun tulee energiaa määrä $Q_0+W$, ja saman verran on siirryttävä ulos:

$Q_1=W+Q_0=1{,}6 {\rm kWh}+5{,}12 {\rm kWh}=6{,}72 {\rm kWh}\approx 6{,}7 {\rm kWh}$,

missä $Q_0=\varepsilon W=5{,}12 {\rm kWh}$ on edellisen kohdan tulos.

Pisteytysohje nimeää tyypillisen virheen: ei eroteta talosta pois siirtyvää lämpöä ja ulkoilmaan siirtyvää lämpöä toisistaan. Ulos siirtyy aina enemmän kuin sisältä otetaan.

Täysien pisteiden vastaus: perustelu energian säilymisellä tai ensimmäisellä pääsäännöllä (2 p.), ratkaistu suureyhtälö (2 p.) ja oikea vastaus (1 p.).

Ydinajatus: pumpun on siirrettävä pois täsmälleen se lämpöteho, joka johtuu taloon sisään, ja tämä teho on verrannollinen lämpötilaeroon.

Johtumisen teho on $P_{\rm joht}=UA\,\Delta T$. Alkutilanteessa $\Delta T_1=25 {\rm ^\circ C}-21 {\rm ^\circ C}=4 {\rm ^\circ C}$ ja pumppu käyttää sähkötehon $P_1=1{,}6 {\rm kWh}/1{,}0 {\rm h}=1{,}6 {\rm kW}$. Uudessa tilanteessa $\Delta T_2=32 {\rm ^\circ C}-21 {\rm ^\circ C}=11 {\rm ^\circ C}$. Koska suorituskyky oletetaan vakioksi, tarvittava sähköteho kasvaa samassa suhteessa kuin siirrettävä lämpöteho:

$P_2=P_1\cdot\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}=1{,}6 {\rm kW}\cdot\dfrac{11}{4}=4{,}4 {\rm kW}$.

Ansa: lämpötilaeroon kelpaa celsiusaste, koska erot ovat samat kelvineinä, mutta itse lämpötiloja ei saa jakaa keskenään.

Pisteytys: teholle ratkaistu suureyhtälö, josta lämpötilaerojen suhde näkyy (2 p.); oikea vastaus (3 p.).

Ydinajatus: rinteessä liukuvaan lohkareeseen vaikuttaa vain kolme voimaa, ja kiihtyvyys saadaan Newtonin II laista rinteen suunnassa.

Voimakuvioon piirretään kappaleen keskelle kolme nuolta: painovoima $\bar G$ suoraan alas, tukivoima $\bar N$ kohtisuoraan rinnettä vastaan ja liukukitka $\bar F_\mu$ rinnettä pitkin ylös eli liikettä vastaan. Nopeus- tai kiihtyvyysnuolta ei piirretä.

Rinteen suunnassa $ma=mg\sin\alpha-F_\mu$ ja kohtisuorassa suunnassa $N=mg\cos\alpha$. Kitkamallilla $F_\mu=\mu N$ saadaan massasta riippumaton tulos:

$a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)=9{,}81 {\rm m/s^2}\,(\sin 28^\circ-0{,}40\cos 28^\circ)=1{,}14 {\rm m/s^2}\approx 1{,}1 {\rm m/s^2}$.

Tavallisin virhe on sekoittaa sini ja kosini komponenteissa.

Pisteytys: voimakuvio (2 p.), rinteen suuntainen liikeyhtälö (2 p.), kohtisuora yhtälö ja kitkamalli (2 p.), ratkaistu suureyhtälö ja arvo (2 p.).

Ydinajatus: kiihtyvyys on vakio ja alkunopeus nolla, joten nopeus kasvaa lineaarisesti ja liike-energia ajan neliön mukaan.

Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä $v(t)=at$. Sijoitetaan tämä liike-energiaan:

$E_k(t)=\tfrac12 mv^2=\tfrac12 m(at)^2=\tfrac12 ma^2t^2$.

Lukuarvoilla $m=2200 {\rm kg}$ ja $a=1{,}14 {\rm m/s^2}$ kerroin on $\tfrac12 ma^2\approx 1{,}43 {\rm kJ/s^2}$, joten $E_k(t)=(1{,}43 {\rm kJ/s^2})\,t^2$. Hetkellä $t=10 {\rm s}$ energia on noin $143 {\rm kJ}$.

Kuvaajaksi piirretään origosta alkava paraabeli välille $0\dots 10 {\rm s}$, yhtenäisenä viivana, akseleina aika (s) ja liike-energia (kJ) lukuarvoineen.

Pisteytys: suureyhtälö (2 p.) ja kuvaaja (5 p.). Suora viiva tai $t^2$-akseli pudottaa kolme pistettä, puuttuvat lukuarvot kaksi.