Lyhyt matematiikka, syksy 2024 – yo-kokeen tehtävät ja ratkaisut

Toisen asteen yhtälö on ensin saatettava normaalimuotoon, jotta kertoimet voi lukea suoraan ratkaisukaavaan.

1. Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle: $x^2-9x+14=0$ (1 p.).
2. Sijoita ratkaisukaavaan kertoimet $a=1$, $b=-9$ ja $c=14$: $x=\frac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot 1\cdot 14}}{2\cdot 1}$ (2 p.).
3. Laske diskriminantti: $81-56=25$, joten $\sqrt{25}=5$.
4. Saadaan $x=\frac{9\pm 5}{2}$, eli $x=7$ tai $x=2$ (1 p.).

Vastaus: $x=2$ ja $x=7$.

Tarkistus: juurten summa on $9$ ja tulo $14$, mikä täsmää kertoimien kanssa. Ansa: merkki. Kun termi $9x$ siirretään vasemmalle, siitä tulee $-9x$, joten ratkaisukaavassa $-b=9$.

Kolmion kateetit ovat suoran ja akseleiden väliset janat, joten ne saadaan sijoittamalla $x=0$ ja $y=0$.

1. Kateetti $y$-akselilla: sijoita $x=0$, jolloin $y=6$; tämä on suoran vakiotermi (2 p.).
2. Kateetti $x$-akselilla: sijoita $y=0$, jolloin $-2x+6=0$ eli $x=3$ (2 p.).
3. Pinta-ala on puolet kateettien tulosta: $A=\frac{6\cdot 3}{2}=9$ (2 p.).
4. Hypotenuusa Pythagoraan lauseella: $\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\approx 6{,}7$ (2 p.).

Vastaus: pinta-ala on $9$ ja hypotenuusan pituus $\sqrt{45}\approx 6{,}7$.

Ansa: kateetteina ovat akseleilla olevat janat $6$ ja $3$; hypotenuusa on kolmion pisin sivu, joten tuloksen on oltava suurempi kuin $6$ — jos saat pienemmän, tarkista lasku.

Rivien lasimäärät $1,2,3,\ldots,10$ muodostavat aritmeettisen jonon, jonka summa saadaan summakaavalla.

1. Käytä kaavaa $S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$, missä $a_1=1$ ja $a_{10}=10$ (2 p.).
2. Sijoita: $S_{10}=10\cdot\frac{1+10}{2}=\frac{10\cdot 11}{2}$.
3. Laske: $\frac{110}{2}=55$.

Vastaus: kymmenellä ensimmäisellä rivillä on yhteensä $55$ lasia (1 p.).

Saman voi laskea suoraan yhteenlaskuna $1+2+3+\cdots+10=55$ tai perustella hyvällä kuvalla. Ansa: rivien lukumäärä ja viimeisen rivin lasimäärä ovat tässä sama luku $10$, mutta kokonaismäärä on aivan eri luku — älä sekoita näitä keskenään.

Kyseessä on aritmeettinen jono, jonka ensimmäinen jäsen on $1$ ja jossa jokaisella rivillä on yksi lasi edellistä enemmän.

1. Mainitse aritmeettinen summa ja kaava $S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$ (1 p.).
2. Havaitse jonon päät: ensimmäisellä rivillä on $a_1=1$ lasi ja $n$:nnellä rivillä $a_n=n$ lasia (1 p.).
3. Sijoita kaavaan: $S_n=n\cdot\frac{1+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$ (1 p.).
4. Perustele tilanteeseen kohdistaen: summa laskee yhteen kaikkien $n$ rivin lasit, joten se on koko muodostelman lasimäärä (1 p.).

Vastaus: lasien kokonaismäärä on $\frac{n(n+1)}{2}$.

Tarkistus: kun $n=10$, saadaan $\frac{10\cdot 11}{2}=55$ kuten edellisessä osatehtävässä. Ansa: pelkkä lauseke ilman perustelua antaa 0 p.

Edellisen osatehtävän lauseke asetetaan yhtä suureksi kuin annettu lasimäärä, jolloin syntyy toisen asteen yhtälö.

1. Muodosta yhtälö: $\frac{n(n+1)}{2}=3916$ (1 p.).
2. Kerro puolittain kahdella ja järjestä: $n^2+n=7832$, eli $n^2+n-7832=0$ (1 p.).
3. Ratkaisukaava: $n=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\cdot 7832}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{31\,329}}{2}=\frac{-1\pm 177}{2}$, joten $n=88$ tai $n=-89$ (2 p.).
4. Rivien lukumäärä on positiivinen, joten negatiivinen juuri hylätään (1 p.).

Vastaus: muodostelmassa on $88$ lasiriviä.

Ansa: sanallisen tehtävän juuret on aina suhteutettava tilanteeseen. Jos ratkaiset kokeilemalla, perustele lisäksi, ettei muita ratkaisuja ole, koska lasien määrä kasvaa rivien määrän mukana.

Alaspäin aukeavan paraabelin suurin arvo on derivaatan nollakohdassa, ja tehtävässä vaaditaan nimenomaan derivaatan käyttöä.

1. Derivoi: $f'(x)=-0{,}0252x+1{,}07$ (4 p.).
2. Ratkaise nollakohta: $-0{,}0252x+1{,}07=0$, joten $x=\frac{1{,}07}{0{,}0252}\approx 42{,}46$ astetta (2 p.).
3. Perustele maksimi: derivaatta on positiivinen ennen nollakohtaa ja negatiivinen sen jälkeen, eli paraabeli aukeaa alaspäin ja kyseessä on suurin arvo (2 p.).
4. Totea, että $42{,}46$ kuuluu välille $[0,60]$, ja laske $f(42{,}46)\approx 23{,}35$ m (4 p.).

Vastaus: paras työntökulma on noin $42{,}46^\circ$ ja sitä vastaava tulos noin $23{,}35$ m.

Ansa: suurimman arvon määrittäminen ilman derivaattaa, esimerkiksi pelkästä kuvaajasta lukemalla, antaa 0 p.

Annuiteettilainassa kaikki erät ovat yhtä suuria, kun taas tasalyhennyslainassa viimeinen erä on pienin, koska korkoa maksetaan enää pienimmästä velasta.

1. Korkokerroin on $q=1{,}05$ (1 p.).
2. Silmun annuiteetti: $A=9000\cdot 1{,}05^3\cdot\frac{1-1{,}05}{1-1{,}05^3}=3304{,}88$ euroa, ja tämä on myös hänen viimeinen eränsä (4 p.).
3. Naavan tasalyhennys: lyhennysosa on joka vuosi $\frac{9000}{3}=3000$ euroa (3 p.).
4. Ennen viimeistä erää velkaa on jäljellä $3000$ euroa, joten korko-osa on $3000\cdot 0{,}05=150$ euroa ja erä $3000+150=3150$ euroa (2 p.).
5. Vertaa: $3304{,}88>3150{,}00$ (2 p.).

Vastaus: Silmun annuiteettilainan viimeinen maksuerä on suurempi.

Ansa: viimeisen erän korko lasketaan vain jäljellä olevasta $3000$ eurosta, ei koko lainasta.

Ympärysmitasta saadaan säde, ja rasiat ovat ympyrälieriöitä, joiden tilavuus on $V=\pi r^2h$.

1. Muodosta yhtälö $78{,}5=2\pi r$, josta suurimman rasian säde on $r\approx 12{,}49$ cm (2 p.).
2. Muut säteet: $12{,}49-1{,}5=10{,}99$ cm ja $10{,}99-2{,}5=8{,}49$ cm (2 p.); korkeudet ovat $10{,}0$ cm, $9{,}0$ cm ja $8{,}0$ cm (1 p.).
3. Sijoita tilavuuskaavaan yksiköt merkiten (2 p.): $V_1=\pi\cdot 12{,}49^2\cdot 10{,}0\approx 4903{,}76\ \mathrm{cm}^3$, $V_2\approx 3417{,}25\ \mathrm{cm}^3$ ja $V_3\approx 1813{,}13\ \mathrm{cm}^3$.
4. Laske summa ja muunna: $10\,134{,}15\ \mathrm{cm}^3$, ja koska $1$ dl $=100\ \mathrm{cm}^3$, tämä on $101{,}34$ dl (4 p.).

Vastaus: rasioiden yhteistilavuus on noin $101$ dl eli $10{,}1$ litraa (1 p.).

Ansa: kaavaan sijoitetaan säde, ei halkaisija; halkaisijan käyttö pudottaa tuloksen enintään 8 pisteeseen.

Binomikaava rakentuu kahdesta osasta: yhden suotuisan heittojonon todennäköisyydestä ja tällaisten jonojen lukumäärästä.

1. Yhdellä heitolla kuutosen todennäköisyys on $\frac16$, joten neljän kuutosen todennäköisyys on $\left(\frac16\right)^4$ (3 p.).
2. Muun silmäluvun todennäköisyys on $\frac56$, joten kahden ei-kuutosen todennäköisyys on $\left(\frac56\right)^2$ (3 p.).
3. Heitot ovat riippumattomia ja kaikkien osatapahtumien halutaan toteutuvan yhtä aikaa, joten osatodennäköisyydet kerrotaan: yhden tietyn jonon todennäköisyys on $\left(\frac16\right)^4\left(\frac56\right)^2$ (1 p.).
4. Kerroin $\binom64$ kertoo, monellako tavalla kuudesta heitosta valitaan ne neljä, joissa kuutonen tulee (3 p.).
5. Kaikki nämä jonot ovat yhtä todennäköisiä, joten yhden jonon todennäköisyys kerrotaan niiden lukumäärällä (2 p.).

Vastaus: $\binom64\left(\frac16\right)^4\left(\frac56\right)^2=\frac{125}{15552}\approx 0{,}00804$.

Ansa: pelkkä laskun vaiheiden kuvailu ilman perusteluja ei tuota pisteitä.