Matematik, kort lärokurs, våren 2023 – studentprovets uppgifter och lösningar

Ensimmäisen asteen yhtälö ratkeaa kumoamalla laskutoimitukset päinvastaisessa järjestyksessä.

1. Lisää molemmille puolille $2$: $5x = 15$.
2. Jaa molemmat puolet luvulla $5$: $x = 3$.
3. Tarkista sijoittamalla: $5\cdot 3-2 = 15-2 = 13$, mikä täsmää yhtälön oikean puolen kanssa.

Vastaus: $3$ (2 p.).

A-osan osatehtävässä vastauskenttään kirjoitetaan pelkkä kokonaisluku ilman välivaiheita, eli tähän riittää luku $3$.

Ansa: vakiotermi siirtyy yhtälön toiselle puolelle merkki vaihtaen, eli $-2$ muuttuu $+2$:ksi. Jos vähennät kakkosen lisäämisen sijaan, saat virheellisesti $x=\frac{11}{5}$.

Suora leikkaa $x$-akselin siinä kohdassa, jossa $y$-koordinaatti on nolla.

1. Aseta $y=0$: $-2x+14=0$.
2. Siirrä vakiotermi toiselle puolelle: $-2x=-14$.
3. Jaa puolittain luvulla $-2$: $x=7$.
4. Tarkista: $-2\cdot 7+14=0$, joten leikkauspiste on $(7,0)$.

Vastaus: $7$ (2 p.).

Ansa: tehtävässä kysytään nimenomaan $x$:n arvoa, joten vastauskenttään kirjoitetaan pelkkä luku $7$ — ei $(7,0)$ eikä $y=7$. Toinen tyypillinen virhe on vastata $14$, joka on suoran $y$-akselin leikkauskohta eli funktion arvo kohdassa $x=0$.

Toisen asteen yhtälö $x^2=8x$ ratkaistaan siirtämällä kaikki termit samalle puolelle ja jakamalla tekijöihin.

1. Siirrä: $x^2-8x=0$.
2. Ota yhteinen tekijä $x$: $x(x-8)=0$.
3. Tulon nollasäännön mukaan $x=0$ tai $x-8=0$, joten juuret ovat $0$ ja $8$.
4. Kysytty suurempi juuri on $8$.

Vastaus: $8$ (2 p.).

Ansa: älä jaa yhtälöä puolittain $x$:llä. Silloin oletat vaieten, että $x\neq 0$, ja juuri $x=0$ katoaa. Tässä tehtävässä kysytty suurempi juuri säilyy oikeana, mutta samalla tavalla tehtynä toisessa tehtävässä menetät ratkaisun.

Potenssiyhtälö $x^n=a$ ratkeaa ottamalla puolittain $n$:s juuri, ja parittomalla eksponentilla ratkaisuja on täsmälleen yksi.

1. Eksponentti $3$ on pariton, joten kuutiojuuri on yksikäsitteinen ja määritelty kaikilla reaaliluvuilla.
2. Ota kuutiojuuri puolittain: $x=\sqrt[3]{64}$.
3. Koska $4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$, saadaan $x=4$.

Vastaus: $4$ (2 p.).

Ansa: älä lisää vastaukseen $\pm$-merkkiä. Kaksi ratkaisua kuuluu vain parilliseen eksponenttiin, kuten yhtälöön $x^2=64$. Parittomalla eksponentilla negatiivinen vaihtoehto ei kelpaa, sillä $(-4)^3=-64$, ei $64$.

Eksponenttiyhtälö ratkeaa helpoimmin kirjoittamalla yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina.

1. Siirrä vakio oikealle puolelle: $2^x=128$.
2. Kirjoita oikea puoli kakkosen potenssina: $128=2^7$, sillä $2^7=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=128$.
3. Kun kantaluvut ovat samat, myös eksponenttien on oltava samat: $x=7$.

Vastaus: $7$ (2 p.).

Saman tuloksen saa logaritmilla: $x=\log_2 128=\frac{\lg 128}{\lg 2}=7$.

Ansa: älä jaa yhtälöä puolittain kantaluvulla, sillä $2^x$ ei tarkoita tuloa $2\cdot x$. Muotoa $x=\frac{128}{2}$ oleva päättely on siis virheellinen.

Yhtälöpari ratkeaa suoraan yhteenlaskumenetelmällä, koska muuttujan $y$ kertoimet ovat vastaluvut.

1. Laske yhtälöt puolittain yhteen, jolloin $y$ supistuu pois: $(x+y)+(2x-y)=8+1$ (1 p.).
2. Saadaan $3x=9$, joten $x=3$ (1 p.).
3. Sijoita $x=3$ ensimmäiseen yhtälöön: $3+y=8$, joten $y=5$ (2 p.).
4. Tarkista molemmat yhtälöt: $3+5=8$ ja $2\cdot 3-5=1$; kumpikin toteutuu.

Vastaus: $x=3$ ja $y=5$.

Vaihtoehtoisesti ratkaise ensimmäisestä yhtälöstä $y=8-x$ ja sijoita se toiseen. Ansa: pelkkä $x=3$ ei riitä vastaukseksi — ratkaistu muuttuja on aina sijoitettava takaisin toisen muuttujan selvittämiseksi.

Yhtälö kannattaa ensin siistiä kokonaislukukertoimiseksi, jotta ratkaisukaavaan sijoittaminen sujuu virheettömästi.

1. Kerro yhtälö puolittain neljällä: $8x^2-10x+1=0$ (1 p.).
2. Sijoita ratkaisukaavaan kertoimet $a=8$, $b=-10$ ja $c=1$: $x=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 8\cdot 1}}{2\cdot 8}=\frac{10\pm\sqrt{68}}{16}$ (3 p.).
3. Sievennä: $\sqrt{68}=2\sqrt{17}$, joten $x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{8}$.
4. Suurempi juuri tarkkana sievennettynä arvona on $\frac{5+\sqrt{17}}{8}$ (2 p.).
5. Pienempi juuri likiarvona: $\frac{5-\sqrt{17}}{8}\approx 0{,}11$ (2 p.).

Vastaus: $\frac{5+\sqrt{17}}{8}$ ja $0{,}11$.

Ansa: jos pyöristät likiarvoiksi jo ennen ratkaisukaavaan sijoittamista, tarkkaa arvoa ei enää synny ja pisteitä saa enintään 5.

Prosenttiosuus lasketaan aina siitä kokonaisuudesta, jota osuus koskee — tässä sairaanhoitajan omasta bruttopalkasta.

1. Palkka on $6\ \%$ keskiarvoa parempi, joten kerroin on $1{,}06$ (1 p.) ja bruttopalkka $1{,}06\cdot 2\,535=2\,687{,}10$ euroa (1 p.).
2. Pidätykset ovat brutto- ja nettopalkan erotus: $2\,687{,}10-1\,777{,}25=909{,}85$ euroa (1 p.).
3. Jaa erotus bruttopalkalla (1 p.): $\frac{2\,687{,}10-1\,777{,}25}{2\,687{,}10}=0{,}33859\ldots$ (1 p.).
4. Muunna prosenteiksi ja pyöristä: noin $34\ \%$ (1 p.).

Vastaus: palkasta meni veroihin ja muihin pidätyksiin noin $34\ \%$.

Ansa: prosentin perusarvo on tämän hoitajan bruttopalkka, ei keskipalkka $2\,535$ euroa; keskipalkalla laskeminen antaa enintään 2 p.

Arvonlisävero lasketaan verottomasta hinnasta, joten myyntihinta on ensin purettava verottomaksi ja koottava sitten uudella verokannalla.

1. Verokantaa $24\ \%$ vastaa kerroin $1{,}24$ (1 p.), joten veroton hinta $x$ toteuttaa yhtälön $1{,}24x=5{,}60$ (1 p.).
2. Ratkaise: $x=\frac{5{,}60}{1{,}24}\approx 4{,}5161$ euroa (1 p.).
3. Uutta verokantaa $10\ \%$ vastaa kerroin $1{,}1$ (1 p.).
4. Uusi myyntihinta on $\frac{5{,}60}{1{,}24}\cdot 1{,}1\approx 4{,}9677$ euroa (1 p.), eli sentin tarkkuuteen pyöristettynä $4{,}97$ euroa (1 p.).

Vastaus: noin $4{,}97$ euroa; vain tämä tarkkuus hyväksytään.

Ansa: älä laske $5{,}60\cdot 1{,}1$, sillä hinta $5{,}60$ sisältää jo vanhan veron. Tuo virhevastaus $6{,}16$ euroa antaa enintään 1 p.

Kolmio $ACD$ on suorakulmainen, ja kolmioilla $ACD$ ja $BCD$ on yhteinen korkeus $CD$, joten niiden pinta-alat suhtautuvat kuten kannat $AD$ ja $DB$.

1. Kun $\alpha=30^\circ$, hypotenuusa on $|AC|=6$, joten $\sin 30^\circ=\frac{|CD|}{6}$ ja $|CD|=6\cdot 0{,}5=3$ cm (4 p.).
2. Pinta-ala puolittuu täsmälleen silloin, kun $D$ puolittaa sivun $AB$, eli $|AD|=3$. Tällöin $\cos\alpha=\frac{3}{6}$, joten $\alpha=60^\circ$ (4 p.).
3. Jos $\frac{|BD|}{|AB|}=\frac13$, niin $|BD|=2$ ja $|AD|=4$. Pythagoraan lauseella $|CD|=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\approx 4{,}47$ cm (4 p.).

Vastaus: $3$ cm, $\alpha=60^\circ$ ja $2\sqrt5\approx 4{,}47$ cm.

Ansa: pelkät vastaukset ilman perusteluja antavat 0 p.

Kolikonheitto ja nopanheitto ovat toisistaan riippumattomia, joten yhtaikaisen tapahtuman todennäköisyys saadaan tulosäännöllä.

1. Kolikossa on kaksi yhtä todennäköistä tulosta, joten $P(\text{klaava})=\frac12$ (1 p.).
2. Nopassa on kuusi yhtä todennäköistä silmälukua, joten $P(5)=\frac16$ (1 p.).
3. Kolikon tulos ei vaikuta nopan tulokseen, joten tapahtumat ovat riippumattomia ja todennäköisyydet kerrotaan: $\frac12\cdot\frac16=\frac{1}{12}$ (2 p.).
4. Desimaalilukuna $\frac{1}{12}=0{,}0833\ldots$

Vastaus: $\frac{1}{12}\approx 8{,}3\ \%$.

Ansa: riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksiä ei lasketa yhteen; summa $\frac12+\frac16=\frac23$ olisi väärin. Muista myös perustella riippumattomuus sanallisesti, sillä pelkät lukuarvot ilman selitystä maksavat pisteen.

Väite ratkeaa vasta, kun molemmat todennäköisyydet on laskettu erikseen ja niitä on verrattu keskenään.

1. Kaksi klaavaa peräkkäin: heitot ovat riippumattomia, joten $P=\frac12\cdot\frac12=\frac14=25\ \%$ (2 p.).
2. Kahden nopan heitossa alkeistapauksia on kaikkiaan $6\cdot 6=36$ (1 p.).
3. Suotuisat parit, joiden summa on vähintään $9$, ovat $(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)$, siis 10 kappaletta (2 p.), joten $P=\frac{10}{36}\approx 27{,}8\ \%$ (1 p.).
4. Vertaa osuuksia: $\frac{10}{36}>\frac14$ (2 p.).

Vastaus: pelaaja C on väärässä.

Ansa: parit on lueteltava tai taulukoitava, sillä pelkkä väite lukumäärästä 10 antaa enintään 6 p. Muista, että $(3,6)$ ja $(6,3)$ ovat eri tapauksia.

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kyseisessä kohdassa; tuntemattomia on kaksi, joten tarvitaan kaksi yhtälöä.

1. Piste $(9,5)$ on paraabelilla, joten sen koordinaatit toteuttavat yhtälön: $9^2+9b+c=5$ eli $81+9b+c=5$ (2 p.).
2. Derivoi: $y'=2x+b$ (3 p.).
3. Tangentin kulmakerroin kohdassa $x=9$ on $2$, joten $y'(9)=2$ (1 p.).
4. Ratkaise: $2\cdot 9+b=2$, joten $b=2-18=-16$ (3 p.).
5. Sijoita ensimmäiseen yhtälöön: $81+9\cdot(-16)+c=5$, eli $81-144+c=5$, joten $c=68$ (3 p.).

Vastaus: $b=-16$ ja $c=68$.

Ansa: tehtävässä vaaditaan derivaatan käyttöä, joten GeoGebran liukusäätimillä kokeilu ei tuota pisteitä.

Normaalijakaumatehtävässä yksiköt on ensin yhtenäistettävä ja kysytty väli rajattava.

1. Kolme vuotta on $3\cdot 12=36$ kuukautta (1 p.), joten kysytty tapahtuma on $X\ge 36$ (1 p.).
2. Käyttöikä noudattaa jakaumaa, jonka odotusarvo on $23$ ja keskihajonta $2{,}55$ kuukautta, joten laskimella $\mathrm{normCdf}(36,\infty,23,2{,}55)$ (1 p.).
3. Tulokseksi saadaan $\approx 0{,}00000017$ eli $1{,}7\cdot 10^{-7}$ (1 p.).

Vastaus: noin $1{,}7\cdot 10^{-7}$.

Ansa: yksikkömuunnos on tehtävän ydin — jos vertaat lukua $3$ suoraan odotusarvoon $23$ kuukautta, tulos menee täysin pieleen. Vastaukseksi ei myöskään kelpaa pyöristys $0$, vaikka todennäköisyys on hyvin pieni.

Geometrisessa lukujonossa jokainen jäsen saadaan edellisestä kertomalla suhdeluvulla $q$, ja koska painuminen hidastuu vuosi vuodelta, on $0<q<1$.

1. Käsittele jonoa muodossa $a_i=a\cdot q^{i-1}$ (1 p.).
2. Valitse ensimmäinen jäsen väliltä $[2{,}0\ \mathrm{cm};3{,}0\ \mathrm{cm}]$ ja suhdeluku, esimerkiksi $a=2{,}5$ cm ja $q=0{,}55$ (3 p.).
3. Käytä geometrisen summan kaavaa ja sijoita omat luvut (2 p.): $S_8=a\cdot\frac{1-q^8}{1-q}=2{,}5\cdot\frac{1-0{,}55^8}{1-0{,}55}$.
4. Laske: $0{,}55^8\approx 0{,}0084$, joten $S_8\approx 2{,}5\cdot\frac{0{,}9916}{0{,}45}\approx 5{,}5$ cm, joka kuuluu välille $[5{,}0\ \mathrm{cm};6{,}0\ \mathrm{cm}]$ (2 p.).

Vastaus: esimerkiksi $a=2{,}5$ cm ja $q=0{,}55$, jolloin $S\approx 5{,}5$ cm.

Ansa: summa on laskettava näkyviin. Valinnalla $a=2{,}5$ kelpaavat vain suhdeluvut $0{,}502\ldots\le q\le 0{,}589\ldots$

Arviointitehtävässä pisteet tulevat oletusten kirjaamisesta ja niiden järkevyyden perustelusta, ei yhdestä ainoasta oikeasta luvusta.

1. Oletetaan, että palat ovat suorakulmioita ja muodostavat säännöllisen ruudukon (2 p.).
2. Valitaan palajako: luvun $1000$ tekijähajotelmista $40\times 25$ on tekijöiltään lähinnä toisiaan (4 p.).
3. Perustellaan valinta: palapelin sivujen suhde on $\frac{70}{50}=1{,}4$ ja palamäärien suhde $\frac{40}{25}=1{,}6$, joten palat ovat lähes neliöitä eli järkevän muotoisia (2 p.).
4. Reunapaloja on $2\cdot 40+2\cdot 25-4=126$; neljä vähennetään, koska kulmapalat tulisivat muuten lasketuksi kahteen kertaan (2 p.).
5. Osuus on $\frac{126}{1000}=0{,}126$ (2 p.).

Vastaus: noin $13\ \%$ paloista on reunapaloja.

Ansa: kulmapalojen huomiotta jättäminen maksaa pisteen.

Suoran kulmakerroin on sama kuin sen derivaatta, joten derivaatalle annetut rajat rajaavat suoraan kulmakertoimen.

1. Totea eksplisiittisesti, että suoran kulmakerroin $k$ on vakio ja $k=f'(x)$ (1 p.).
2. Koska $f(0)=0$, suora kulkee origon kautta: $f(x)=kx$, missä $2\le k\le 3$. Siis $f(2)=2k$, ja kertomalla epäyhtälö $2\le k\le 3$ puolittain kahdella saadaan $4\le f(2)\le 6$ (3 p.).
3. Koska $g(0)=5$, vakiotermi on $5$: $g(x)=kx+5$, missä $1\le k\le 2$. Siis $g(2)=2k+5$, ja koska $2\le 2k\le 4$, saadaan $7\le g(2)\le 9$ (2 p.).

Vastaus: molemmat väitetyt rajat pätevät.

Graafinen perustelu kelpaa: piirrä rajasuorat $y=2x$, $y=3x$, $y=x+5$ ja $y=2x+5$ ja lue arvot kohdassa $x=2$.

Vaikka kuvaajat eivät nyt ole suoria, derivaatan rajat lukitsevat funktioiden arvot samojen rajasuorien väliin kuin edellisessä osatehtävässä.

1. Annetun tiedon nojalla suurempi derivaatta koko välillä $[0,2]$ tuottaa suuremman arvon kohdassa $2$. Koska $f(0)=0$ ja $2\le f'(x)\le 3$, ovat $f$:n arvot suorien $y=2x$ ja $y=3x$ välissä; vastaavasti $g$:n arvot ovat suorien $y=x+5$ ja $y=2x+5$ välissä (3 p.).
2. Näin ollen $f(2)\in[4,6]$ ja $g(2)\in[7,9]$.
3. Koska $f(2)\le 6<7\le g(2)$, tapaus $f(2)=g(2)$ on mahdoton (1 p.), ja samasta syystä myös $f(2)>g(2)$ on mahdoton (1 p.).

Vastaus: vain $f(2)<g(2)$ on mahdollinen, ja se toteutuu aina (1 p.).

Ansa: pelkät oikeat vastaukset ilman perustelua antavat 0 p.