Matematik, kort lärokurs, hösten 2023 – studentprovets uppgifter och lösningar

Alennus lasketaan alkuperäisestä hinnasta, ja $30\ \%$:n alennuksen jälkeen hinnasta jää jäljelle $70\ \%$.

1. Muodosta kerroin: $100\ \%-30\ \%=70\ \%$, eli kerroin $0{,}7$. Vaihtoehtoisesti laske alennuksen suuruus: $0{,}3\cdot 56{,}00=16{,}80$ euroa (2 p.).
2. Laske alennettu hinta: $0{,}7\cdot 56{,}00=39{,}20$ euroa tai $56{,}00-16{,}80=39{,}20$ euroa (2 p.).

Vastaus: alennettu hinta on $39{,}20$ euroa, ja tämä sentin tarkkuus vaaditaan.

Ansa: älä kirjoita muotoa $56-30\ \%=39{,}20$, sillä eurosta ei voi vähentää prosenttia; merkintä on matemaattisesti virheellinen ja johtaa yleisvähennykseen. Kirjoita näkyviin joko kerroin $0{,}7$ tai euromääräinen alennus $16{,}80$ euroa.

Alennusprosentti kertoo, kuinka suuri osuus alkuperäisestä hinnasta on jätetty pois, joten perusarvona on $79{,}00$ euroa.

1. Laske uuden hinnan osuus alkuperäisestä: $\frac{55{,}30}{79{,}00}=0{,}70$ eli $70\ \%$. Vaihtoehtoisesti laske hintojen erotus: $79{,}00-55{,}30=23{,}70$ euroa (2 p.).
2. Päättele alennus: jos jäljellä on $70\ \%$, alennus on $100\ \%-70\ \%=30\ \%$. Erotuksesta laskien $\frac{23{,}70}{79{,}00}=0{,}30=30\ \%$ (2 p.).

Vastaus: alennusprosentti on $30\ \%$.

Ansa: perusarvo on alkuperäinen hinta, ei alennettu hinta; jakaminen luvulla $55{,}30$ antaa väärän tuloksen. Pelkkä vastaus ilman laskua antaa 0 p., vastaus ja tarkistuslasku 2 p.

Arvonlisävero lasketaan verottomasta hinnasta, joten myyntihinta $45{,}00$ euroa vastaa jo $124$ prosenttia verottomasta hinnasta.

1. Totea, että $24\ \%$ lasketaan verottomasta hinnasta, ja merkitse veroton hinta $x$: yhtälöksi tulee $1{,}24x=45$ (2 p.).
2. Ratkaise veroton hinta: $x=\frac{45}{1{,}24}\approx 36{,}29$ euroa (1 p.).
3. Vero on myyntihinnan ja verottoman hinnan erotus: $45{,}00-36{,}29\approx 8{,}71$ euroa (1 p.). Saman tuloksen saa suoraan laskusta $\frac{45}{1{,}24}\cdot 0{,}24\approx 8{,}71$ euroa.

Vastaus: arvonlisäveroa on noin $8{,}71$ euroa; sentin tarkkuus vaaditaan.

Ansa: prosentin perusarvo on veroton hinta, ei myyntihinta. Lasku $0{,}24\cdot 45$ antaa 0 p.

Sulkulauseke kannattaa laskea ensin yhteen, jolloin jäljelle jää tavallinen kertolaskuyhtälö.

1. Lavenna yhteiseen nimittäjään $20$: $\frac35+\frac34=\frac{12}{20}+\frac{15}{20}=\frac{27}{20}$.
2. Yhtälö sievenee muotoon $\frac{27}{20}p=\frac{12}{20}$ (1 p.).
3. Kerro puolittain luvulla $20$: $27p=12$.
4. Jaa ja supista kolmella: $p=\frac{12}{27}=\frac49$ (1 p.).

Vastaus: $p=\frac49$.

Ansa: vastaus vaaditaan murtolukuna ja supistetussa muodossa. Jos käytät välivaiheissa likiarvoja tai jätät vastauksen muotoon $\frac{12}{27}$, menetät pisteen.

Tuntematon on tässä jakajana, joten sulut lasketaan ensin ja vasta sitten ratkaistaan $q$.

1. Lavenna sulut yhteiseen nimittäjään: $\frac13-\frac12=\frac26-\frac36=-\frac16$.
2. Yhtälö sievenee muotoon $-\frac16 : q=\frac12$ (1 p.).
3. Ratkaise jakaja: $q=-\frac16 : \frac12=-\frac16\cdot 2=-\frac13$ (1 p.).
4. Tarkista: $-\frac16 : \left(-\frac13\right)=-\frac16\cdot(-3)=\frac12$, mikä täsmää.

Vastaus: $q=-\frac13$.

Ansa: merkki. Erotus $\frac13-\frac12$ on negatiivinen, koska $\frac13<\frac12$, joten myös $q$ on negatiivinen. Vastaus on annettava murtolukuna.

Potenssit puretaan sisältä ulos: eksponenttitorni $n^{2^3}$ tarkoittaa potenssia $n^{8}$, ei potenssia $n^{6}$.

1. Sievennä osoittaja: $2^3=8$, joten $4n^{2^3}=4n^{8}$, ja $(n^2)^3=n^{6}$. Osoittaja on siis $4n^{8}\cdot n^{6}=4n^{14}$ (1 p.).
2. Supista nimittäjällä: $\frac{4n^{14}}{2n}=2n^{13}$, joten yhtälö on $2n^{13}x=8n^{10}$ (1 p.).
3. Ratkaise: $x=\frac{8n^{10}}{2n^{13}}$ (1 p.).
4. Sievennä osamäärä potenssisäännöllä: $x=4n^{10-13}=4n^{-3}=\frac{4}{n^{3}}$ (1 p.).

Vastaus: $x=\frac{4}{n^{3}}$.

Ansa: jos tulkitset $n^{2^3}$ muodoksi $(n^2)^3=n^6$, saat enintään 3 p.

Tehtävässä vaaditaan nimenomaan annetun menetelmän käyttöä, joten laskut on esitettävä luvuista $m$ ja $n$ lähtien.

1. Valitse konkreettiset positiiviset kokonaisluvut, joille $m>n$, esimerkiksi $m=3$ ja $n=2$ (1 p.).
2. Laske lausekkeiden arvot (1 p.): $a=m^2-n^2=3^2-2^2=9-4=5$, $b=2mn=2\cdot 3\cdot 2=12$ ja $c=m^2+n^2=9+4=13$.
3. Kirjoita kaikkien viiden luvun arvot näkyviin ja tarkista: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ (1 p.).

Vastaus: esimerkiksi valinnalla $m=3$ ja $n=2$ saadaan Pythagoraan kolmikko $a=5$, $b=12$ ja $c=13$.

Ansa: valmiiksi ulkoa muistetun kolmikon, kuten $3$, $4$ ja $5$, kirjoittaminen menetelmää käyttämättä ei tuota pisteitä.

Tässä riittää yksi vastaesimerkki, mutta väite on todennettava sijoittamalla ja laskemalla.

1. Valitse kolme positiivista kokonaislukua, esimerkiksi $a=2$, $b=3$ ja $c=4$ (1 p.).
2. Tee sijoitukset molempiin lausekkeisiin (1 p.): $a^2+b^2=2^2+3^2=4+9=13$ ja $c^2=4^2=16$.
3. Totea, että $13\neq 16$, joten $a^2+b^2\neq c^2$ eivätkä luvut muodosta Pythagoraan kolmikkoa (1 p.).

Vastaus: esimerkiksi luvut $2$, $3$ ja $4$ eivät muodosta Pythagoraan kolmikkoa.

Jos luvut valitaan niin, että epäyhtälö on ilmeinen, riittää todeta se ilman laskuja. Ansa: pelkkä lukukolmikko ilman sijoituksia jättää kaksi pistettä saamatta.

Kolmikon on synnyttävä samoilla luvuilla $m$ ja $n$ kaikissa kolmessa lausekkeessa, ja lisäksi on perusteltava, ettei muita pareja ole.

1. Kokeile: $m=4$ ja $n=1$ antavat $a=4^2-1^2=15$, $b=2\cdot 4\cdot 1=8$ ja $c=4^2+1^2=17$, eli juuri kysytyt luvut (1 p.).
2. Perustele yksikäsitteisyys eliminoimalla: laskemalla $a$ ja $c$ yhteen saadaan $a+c=2m^2=15+17=32$, joten $m^2=16$ ja $m=4$; vähentämällä saadaan $c-a=2n^2=17-15=2$, joten $n^2=1$ ja $n=1$ (yritys 1 p., valmis perustelu 1 p.).
3. Vaihtoehtoisesti taulukoi kaikki parit, joille $4\ge m>n\ge 1$.

Vastaus: $m=4$ ja $n=1$, eikä muita ratkaisuja ole.

Ansa: pelkkä vastaus $m=4$ ja $n=1$ ilman perustelua antaa 0 p.

Perustelu on suora lasku: sijoita lausekkeet ja sievennä molemmat puolet samaan muotoon.

1. Sijoita: $a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2$ ja $c^2=(m^2+n^2)^2$ (1 p.).
2. Kerro sulut auki binomikaavoilla: $(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$ ja $(2mn)^2=4m^2n^2$, joten $a^2+b^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2$ (1 p.).
3. Sievennä: $-2m^2n^2+4m^2n^2=2m^2n^2$, joten $a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2$ (1 p.).

Vastaus: yhtälö $a^2+b^2=c^2$ pätee kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $m>n$.

Ansa: kyseessä on yleinen perustelu, joten kokeilut yksittäisillä lukuarvoilla eivät tuota pisteitä.

Linja-auton kokonaishinta ei muutu, joten sama summa jaetaan ensin 32:lle ja lopulta 28:lle osallistujalle.

1. Esittele muuttujat: olkoon $x$ alkuperäinen hinta osallistujalta (1 p.).
2. Muodosta yhtälö tilanteesta (1 p.): kokonaiskustannus on sekä $32x$ että $28(x+15)$, joten $32x=28(x+15)$ (luvut 32 ja 28 kertoimina 4 p., luku 15 hinnankorotuksena 3 p.).
3. Ratkaise: $32x=28x+420$, joten $4x=420$ ja $x=105$ (1 p.).
4. Lopullinen hinta on $x+15=105+15=120$ euroa (2 p.).

Vastaus: yksi osallistuja maksoi lopulta $120$ euroa.

Päättelyratkaisu: jäljelle jääneiden maksama lisä $28\cdot 15=420$ euroa vastaa neljän perujan osuutta, joten $x=\frac{420}{4}=105$ euroa. Ansa: yksikkö euro vaaditaan vastaukseen.

Klassinen todennäköisyys on suotuisien alkeistapausten osuus kaikista yhtä todennäköisistä tapauksista.

1. Korissa on kaikkiaan kuusi sukkaa, ja jokainen niistä on yhtä todennäköinen ensimmäiseksi nostoksi.
2. Suotuisia tapauksia ovat kolme L-merkkistä sukkaa.
3. Siis $P(\text{ensimmäisessä on L})=\frac36=\frac12$ (2 p.).

Vastaus: $\frac12$ eli $50\ \%$.

Ansa: kirjoita perustelu näkyviin — pelkkä vastaus $\frac12$ ilman mainintaa siitä, että suotuisia on kolme kuudesta, antaa vain 1 p. Huomaa myös, ettei toisella nostolla ole tässä osatehtävässä merkitystä, sillä kysytään vain ensimmäistä sukkaa.

Sukkia ei palauteta koriin, joten toinen nosto tehdään pienemmästä joukosta: kyse on ehdollisesta todennäköisyydestä.

1. Ensimmäinen sukka on L todennäköisyydellä $\frac36=\frac12$.
2. Kun ensimmäinen oli L, korissa on jäljellä viisi sukkaa, joista kaksi on L-sukkia, joten toisen noston ehdollinen todennäköisyys on $\frac25$ (2 p.).
3. Kerro todennäköisyydet: $\frac12\cdot\frac25$ (1 p.).
4. Sievennä: $\frac{2}{10}=\frac15$ (1 p.).

Vastaus: $\frac15$ eli $20\ \%$.

Ansa: ilman takaisinpanoa tehdyssä nostossa toisen noston todennäköisyys ei ole enää $\frac12$; lasku $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ olisi virheellinen. Pelkät laskut ja vastaus ilman selityksiä antavat 3 p.

Eri merkit voidaan saada kahdessa järjestyksessä, L ja R tai R ja L, joten molemmat tapaukset on huomioitava.

1. Ensimmäinen sukka on L todennäköisyydellä $\frac12$. Kun se on L, jäljellä on viisi sukkaa, joista kolme on R-sukkia, joten toisen noston ehdollinen todennäköisyys on $\frac35$ (1 p.).
2. Yhdistelmän L, R todennäköisyys on siis $\frac12\cdot\frac35=\frac{3}{10}$ (2 p.).
3. Järjestys R, L on yhtä todennäköinen (1 p.).
4. Laske tapaukset yhteen: $2\cdot\frac{3}{10}=\frac35$ (2 p.).

Vastaus: $\frac35=0{,}6$ eli $60\ \%$.

Vaihtoehtoisesti vastatapahtuman kautta: $1-\left(\frac15+\frac15\right)=\frac35$. Ansa: jos unohdat kertoa kahdella, vastaus jää puoleen oikeasta.

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä, jonka mukaan termin $x^n$ derivaatta on $nx^{n-1}$; nollakohdat löytyvät jakamalla derivaatta tekijöihin.

1. Derivoi termeittäin: $p'(x)=4x^3-12x^2-16x+48$ (1+1 p.).
2. Ota yhteinen tekijä: $p'(x)=4(x^3-3x^2-4x+12)$.
3. Ryhmittele: $x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4)$.
4. Ratkaise nollakohdat: $x-3=0$ tai $x^2=4$, joten $x=3$, $x=2$ tai $x=-2$ (1+1 p.).

Vastaus: $p'(x)=4x^3-12x^2-16x+48$, ja derivaatan nollakohdat ovat $x=-2$, $x=2$ ja $x=3$.

Nollakohdat saa myös laskimen Ratkaise-komennolla. Ansa: termin $48x$ derivaatta on $48$, ei $0$ — nollaksi derivoituu vain vakiotermi.

Funktio on kasvava niillä väleillä, joilla sen derivaatta on positiivinen, ja välien rajoina ovat derivaatan nollakohdat $-2$, $2$ ja $3$.

1. Merkitse nollakohdat lukusuoralle ja laske derivaatan arvo yhdessä testipisteessä kultakin väliltä (2 p.): esimerkiksi $p'(-3)=-120<0$, $p'(0)=48>0$, $p'(2{,}5)=-4{,}5<0$ ja $p'(4)=48>0$.
2. Kulkukaavion merkkijonoksi tulee siis $-,+,-,+$.
3. Derivaatta on positiivinen väleillä $-2<x<2$ ja $x>3$.

Vastaus: $p$ on kasvava, kun $-2\le x\le 2$ tai $x\ge 3$ (2 p.); myös avoimet välit hyväksytään.

Ansa: kulkukaavio on perusteltava laskemalla derivaatan arvot testipisteissä ja ottamalla kaikki nollakohdat mukaan; merkkien arvaaminen ei riitä.

Pienin arvo voi olla vain lokaalissa minimikohdassa, eli siellä missä derivaatan merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi.

1. Kulkukaavion $-,+,-,+$ perusteella minimikohtia ovat $x=-2$ ja $x=3$ (1 p.).
2. Sijoita nämä funktioon (1 p.): $p(-2)=16+32-32-96=-80$ ja $p(3)=81-108-72+144=45$.
3. Vertaa arvoja: $-80<45$. Neljännen asteen termi $x^4$ kasvaa rajatta molempiin suuntiin, joten pienempiä arvoja ei ole.

Vastaus: funktion pienin arvo on $-80$ (1 p.), ja se saavutetaan kohdassa $x=-2$ (1 p.).

Ansa: kysyttiin sekä arvoa että kohtaa, joten vastaa molempiin äläkä sekoita minimikohtaa $x=-2$ ja minimiarvoa $-80$ keskenään.

Normaalijakaumatehtävä ratkeaa, kun jakauman tunnusluvut sijoitetaan oikein ja kysytty alue rajataan oikein.

1. Paino noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on $509$ g ja keskihajonta $6{,}0$ g (2 p.).
2. Rajaa kysytty alue: korkeintaan $500$ grammaa tarkoittaa tapahtumaa $P(X\le 500)$ (1 p.).
3. Laske laskimella, esimerkiksi komennolla $\mathrm{normCDF}(-\infty,500,509,6)$: tulokseksi saadaan $0{,}0668\ldots$ (1 p.).

Vastaus: noin $0{,}067$ eli noin $6{,}7\ \%$.

Ansa: prosenteiksi muuntaminen. Luku $0{,}0668$ on noin $6{,}7\ \%$, ei $66{,}8\ \%$, ja tämä muunnosvirhe maksaa pisteen. Huomaa myös, että jakauman keskiarvo $509$ g on tavoitepainoa $500$ g suurempi, joten vastauksen kuuluukin olla selvästi alle puolet.

Keskiarvon keskivirhe kertoo, kuinka tarkasti otoskeskiarvo arvioi todellista keskiarvoa, ja se pienenee otoskoon neliöjuuren suhteessa.

1. Keskivirhe on keskihajonta jaettuna otoskoon neliöjuurella: $\frac{s}{\sqrt n}=\frac{6{,}0}{\sqrt{100}}=\frac{6{,}0}{10}=0{,}6$ grammaa (2 p.).
2. Luottamustasoa $95\ \%$ vastaa kriittinen arvo $1{,}96$ (2 p.).
3. Sijoita luottamusvälin kaavaan $\bar x\pm 1{,}96\cdot\frac{s}{\sqrt n}$ (3 p.): $509\pm 1{,}96\cdot 0{,}6=509\pm 1{,}176$.
4. Laske molemmat rajat: $507{,}824\ldots$ ja $510{,}176\ldots$ (1 p.).

Vastaus: keskivirhe on $0{,}6$ g ja luottamusväli noin $[507{,}8;\ 510{,}2]$ grammaa.

Ansa: älä jaa keskihajontaa otoskoolla $100$ vaan sen neliöjuurella $10$. Vain toinen raja laskettuna antaa enintään 6 p., eikä pelkkä välin pituus kelpaa vastaukseksi.

Kuutiojuuri on kolmas juuri, ja juuren indeksi kirjoitetaan juurimerkin vasempaan yläkulmaan.

1. Indeksi jätetään pois vain neliöjuuresta, joten kolmannen juuren tapauksessa se on merkittävä näkyviin.
2. Luvun $6$ kuutiojuuri on siis $\sqrt[3]{6}$, eli se luku, jonka kolmas potenssi on $6$.
3. Sama luku voidaan kirjoittaa murtopotenssina $6^{1/3}$, sillä $\left(6^{1/3}\right)^3=6$.

Vastaus: $\sqrt[3]{6}$ (1 p.); myös merkintä $6^{1/3}$ kelpaa.

Ansa: merkintä $\sqrt{6}$ tarkoittaa neliöjuurta, joten indeksin unohtaminen muuttaa luvun arvon kokonaan. Huomaa myös, että tehtävässä kysytään merkintää, ei desimaalista likiarvoa.

Parillinen kokonaisluku on määritelmän mukaan kahdella jaollinen kokonaisluku, eli luku, joka voidaan kirjoittaa kahden ja kokonaisluvun tulona.

1. Merkitse mielivaltaista kokonaislukua kirjaimella $k$.
2. Parilliset kokonaisluvut ovat tällöin muotoa $2k$.
3. Kirjoita ehto $k\in\mathbf{Z}$ näkyviin, sillä ilman sitä lauseke $2k$ voisi tarkoittaa mitä tahansa reaalilukua.

Vastaus: $2k$, missä $k\in\mathbf{Z}$ (1 p.).

Merkintä kattaa myös nollan ja negatiiviset parilliset luvut, kuten $k=-3$ antaa luvun $-6$. Ansa: parittomat luvut merkitään vastaavasti muodossa $2k+1$, ja pelkkä $2k$ ilman mainintaa kokonaisluvusta jää puutteelliseksi.

Sanallinen kuvaus puretaan osiin sisältä ulos: ensin käänteisluku ja vastaluku, sitten niiden summa ja lopuksi itseisarvo.

1. Luvun $\frac75$ käänteisluku on $\frac57$, sillä $\frac75\cdot\frac57=1$.
2. Luvun $\frac75$ vastaluku on $-\frac75$, sillä $\frac75+\left(-\frac75\right)=0$.
3. Näiden summa suljetaan itseisarvomerkkien sisään.

Vastaus: $\left|\frac57+\left(-\frac75\right)\right|$ eli $\left|\frac57-\frac75\right|$ (2 p.), jonka arvo on $\frac{24}{35}$.

Ansa: käänteisluku ja vastaluku menevät helposti sekaisin. Käänteisluvussa osoittaja ja nimittäjä vaihtavat paikkaa, vastaluvussa vaihtuu vain merkki.

Suureet ovat suoraan verrannolliset, kun toisen kasvaessa toinen kasvaa samassa suhteessa, eli kun niiden osamäärä pysyy vakiona.

1. Suoran verrannollisuuden määritelmä on $A=kB$, mikä voidaan kirjoittaa yhtä hyvin muotoon $\frac{A}{B}=k$ eli $A:B=k$.
2. Vakio $k$ on juuri verrannollisuuskerroin: kun $B$ kaksinkertaistuu, myös $A$ kaksinkertaistuu ja suhde säilyy.

Vastaus: vaihtoehto $A:B=k$ (1 p.).

Ansa: tulo $A\cdot B=k$ kuvaa kääntäen verrannollisia suureita, joilla toisen kasvaessa toinen pienenee. Summa $A+B=k$ ja erotus $A-B=k$ eivät kuvaa verrannollisuutta lainkaan, vaan kiinteää summaa tai eroa.

Samakantaisten potenssien tulossa kantaluku säilyy ennallaan ja eksponentit lasketaan yhteen.

1. Sääntö seuraa suoraan potenssin määritelmästä: lausekkeessa $x^nx^m$ kantalukua $x$ kerrotaan itsellään ensin $n$ kertaa ja sitten $m$ kertaa, siis kaikkiaan $n+m$ kertaa.
2. Tarkista lukuesimerkillä: $2^3\cdot 2^2=8\cdot 4=32=2^5=2^{3+2}$.

Vastaus: vaihtoehto $x^nx^m=x^{n+m}$ (1 p.).

Ansa: eksponentit kerrotaan keskenään vain potenssin potenssissa, siis säännössä $\left(x^n\right)^m=x^{nm}$. Muista myös, ettei summaa $x^n+x^m$ voi sieventää tällä säännöllä, sillä sääntö koskee vain tuloa.

Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan kertomalla muutoskertoimet keskenään, ei laskemalla prosentteja yhteen.

1. Ensimmäistä alennusta $10\ \%$ vastaa kerroin $1-0{,}10=0{,}9$.
2. Toinen alennus $20\ \%$ lasketaan jo alennetusta hinnasta, ja sitä vastaa kerroin $1-0{,}20=0{,}8$.
3. Lopullinen hinta saadaan kertomalla alkuperäinen hinta molemmilla kertoimilla.

Vastaus: $0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129$ € (1 p.), mikä on noin $92{,}88$ €.

Ansa: prosentteja ei lasketa yhteen. Merkintä $0{,}7\cdot 129$, joka vastaisi yhtä $30\ \%$:n alennusta, on väärin, koska toisen alennuksen perusarvona on jo alennettu hinta eikä alkuperäinen $129$ €.

Kahden lukusuoran pisteen etäisyys on niiden erotuksen itseisarvo, jolloin etäisyys on aina epänegatiivinen riippumatta pisteiden järjestyksestä.

1. Pisteiden $x$ ja $-2$ etäisyys on $|x-(-2)|$.
2. Sievennä miinusmerkit: $x-(-2)=x+2$, joten etäisyys on $|x+2|$.
3. Ehto, jonka mukaan etäisyys on $3$, antaa yhtälön $|x+2|=3$.

Vastaus: $|x-(-2)|=3$ eli $|x+2|=3$ (1 p.).

Yhtälön ratkaisut olisivat $x=1$ ja $x=-5$, jotka molemmat ovat kolmen etäisyydellä pisteestä $-2$. Ansa: itseisarvomerkit ovat välttämättömät, sillä pelkkä $x+2=3$ antaisi vain toisen ratkaisun.

Tason kahden pisteen etäisyys lasketaan Pythagoraan lauseesta johdetulla etäisyyskaavalla.

1. Pisteiden $(x,y)$ ja $(1,-3)$ vaakasuora ero on $x-1$ ja pystysuora ero $y-(-3)=y+3$.
2. Etäisyys on erotusten neliöiden summan neliöjuuri: $\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}$.
3. Ehto, jonka mukaan etäisyys on $4$, antaa yhtälön.

Vastaus: $\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4$ (2 p.); yhtä hyvin kelpaa neliöity muoto $(x-1)^2+(y+3)^2=16$.

Kyseessä on ympyrän yhtälö: keskipisteenä $(1,-3)$ ja säteenä $4$. Ansa: merkki. Koska toisen pisteen $y$-koordinaatti on negatiivinen, kaavaan tulee $y-(-3)=y+3$, ei $y-3$.

Leikkauspiste on se piste, joka on molemmilla suorilla, eli sen koordinaatit toteuttavat kummankin yhtälön yhtä aikaa.

1. Ehto ensimmäisellä suoralla olemisesta on $2x-3y=1$.
2. Ehto toisella suoralla olemisesta on $-x+4y=-2$.
3. Yhdistä ehdot yhtälöpariksi, jonka ratkaisu antaa leikkauspisteen koordinaatit.

Vastaus: yhtälöpari $\begin{cases} 2x-3y=1\\ -x+4y=-2 \end{cases}$ (1 p.).

Ansa: tehtävässä kysytään symbolista merkintää, joten kysymykseen vastaa yhtälöpari, ei valmis koordinaattipari. Yhtälöitä ei myöskään lasketa yhteen yhdeksi yhtälöksi: molempien on toteuduttava samanaikaisesti.

Merkinnässä $f(2)$ sulkeissa on aina muuttujan arvo eli kohta, ei funktion arvo.

1. Funktion $f$ arvo kohdassa $2$ kirjoitetaan muodossa $f(2)$.
2. Funktion $g$ arvo kohdassa $-3$ kirjoitetaan muodossa $g(-3)$.
3. Sana ''suurempi'' vastaa epäyhtälömerkkiä $>$, jonka kärki osoittaa pienempään lukuun.

Vastaus: vaihtoehto $f(2)>g(-3)$ (1 p.).

Ansa: funktion nimi ja kohta menevät helposti ristiin. Vaihtoehdoissa $g(2)>f(-3)$ ja $f(-3)>g(2)$ ne on vaihdettu keskenään, ja vaihtoehdossa $f(2)<g(-3)$ epäyhtälö osoittaa väärään suuntaan.

Tehtävässä sijoitetaan valmiiseen epäyhtälöön, joten olennaisinta on pitää prosenttiluvut sadasosina.

1. Ota käyttöön ehto $H\ge\frac{1-\frac{1}{R_0}}{E}$ (1 p.).
2. Sijoita $R_0=3$ ja $E=0{,}80$ (1 p.).
3. Laske osoittaja: $1-\frac13=\frac23$.
4. Jaa: $\frac{2/3}{0{,}80}=0{,}8333\ldots$ (1 p.).
5. Pyöristä: $0{,}83$ eli noin $83\ \%$ (1 p.).

Vastaus: pienin mahdollinen $H$ on noin $0{,}83$, eli väestöstä on rokotettava noin $83\ \%$.

Ansa: yksikkö. Tehtävässä sanotaan, että $E$ ja $H$ ovat prosenttilukuja sadasosina, joten tehokkuus sijoitetaan muodossa $E=0{,}80$; sijoitus $E=80$ antaa enintään 2 p.

Nyt tuntematon on nimittäjässä, joten epäyhtälö on ensin ratkaistava muuttujan $E$ suhteen.

1. Kerro epäyhtälö puolittain positiivisella luvulla $E$ ja jaa positiivisella luvulla $H$, jolloin epäyhtälön suunta säilyy: $E\ge\frac{1-\frac{1}{R_0}}{H}$ (1 p.).
2. Sijoita $R_0=4{,}5$ ja $H=0{,}80$ (1 p.).
3. Laske osoittaja: $1-\frac{1}{4{,}5}=1-0{,}2222\ldots=0{,}7777\ldots$
4. Jaa: $\frac{0{,}7777\ldots}{0{,}80}=0{,}97222\ldots$ (1 p.).
5. Pyöristä kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen: $0{,}97$ (1 p.).

Vastaus: rokotteen tehokkuuden on oltava vähintään noin $0{,}97$ eli $97\ \%$.

Ansa: pyöristäminen ylöspäin arvoon $1{,}0$ maksaa pisteen, sillä se väittäisi rokotteelta täydellistä tehoa.

Malli menee mahdottomaksi, jos vaadittu rokotekattavuus nousee yli sadan prosentin: koko väestöä enempää ei voi rokottaa.

1. Valitse muuttujille sallitut arvot: $R_0>0$, $0<E\le 1$ ja $0\le H\le 1$ (1+1 p.). Otetaan esimerkiksi hyvin tarttuva virus $R_0=16$ ja rokote, jonka tehokkuus on $E=0{,}80$.
2. Laske vaadittu alaraja: $H\ge\frac{1-\frac{1}{16}}{0{,}80}=\frac{0{,}9375}{0{,}80}\approx 1{,}17$.
3. Totea mahdottomuus: koska aina $H\le 1$, epäyhtälö ei toteudu millään sallitulla $H$:n arvolla (2 p.).

Vastaus: esimerkiksi arvoilla $R_0=16$, $E=0{,}80$ ja $H=1$ pandemiaa ei saada mallin mukaan hallintaan.