Matematik, kort lärokurs, våren 2025 – studentprovets uppgifter och lösningar

Ensimmäisen asteen yhtälö ratkeaa kahdella toimenpiteellä: vakiotermi siirretään ja kertoimella jaetaan.

1. Lisää molemmille puolille $17$: $5x=43+17=60$.
2. Jaa puolittain viidellä: $x=\frac{60}{5}=12$.
3. Tarkista sijoittamalla: $5\cdot 12-17=60-17=43$, mikä täsmää.

Vastaus: $12$ (2 p.).

Ansa: vakiotermi vaihtaa merkkinsä siirtyessään yhtälön toiselle puolelle, joten oikealle tulee $43+17=60$ eikä $43-17=26$. A-osan vastauskenttään kirjoitetaan pelkkä kokonaisluku ilman välivaiheita.

Lauseke kannattaa sieventää ennen sijoitusta, jolloin laskuvirheiden mahdollisuus pienenee.

1. Kerro sulut auki: $2x(4x-1)=8x^2-2x$.
2. Yhdistä samanmuotoiset termit: $-7x^2+8x^2-2x=x^2-2x$.
3. Sijoita $x=2$: $2^2-2\cdot 2=4-4=0$.

Vastaus: $0$ (2 p.).

Sijoituksen voi tehdä myös suoraan alkuperäiseen lausekkeeseen: $-7\cdot 2^2+2\cdot 2\cdot(4\cdot 2-1)=-28+28=0$.

Ansa: sulkujen edessä oleva kerroin kerrotaan jokaiseen sulkeissa olevaan termiin, myös miinusmerkkiseen. Jos termi $-2x$ jää pois, tulokseksi tulee virheellisesti $4$.

Kulmakerroin kertoo, kuinka paljon $y$ muuttuu, kun $x$ kasvaa yhdellä, ja se lasketaan koordinaattien erotusten osamääränä.

1. Käytä kaavaa $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
2. Sijoita pisteet $(-2,-2)$ ja $(1,4)$: $k=\frac{4-(-2)}{1-(-2)}$.
3. Laske: $\frac{4+2}{1+2}=\frac63=2$.

Vastaus: $2$ (2 p.).

Ansa: miinusmerkit. Negatiivisen luvun vähentäminen kasvattaa erotusta, joten osoittajaan tulee $4+2=6$ ja nimittäjään $1+2=3$. Pisteet voi ottaa kumpaan järjestykseen tahansa, kunhan sekä osoittajassa että nimittäjässä käytetään samaa järjestystä.

Vakiotermi on suoran $y$-akselin leikkauskohta, ja se saadaan sijoittamalla tunnettu piste suoran yhtälöön.

1. Laske ensin kulmakerroin: $k=\frac{4-(-2)}{1-(-2)}=\frac63=2$, joten suora on muotoa $y=2x+b$.
2. Sijoita piste $(1,4)$: $4=2\cdot 1+b$.
3. Ratkaise: $b=4-2=2$.
4. Tarkista toisella pisteellä: $2\cdot(-2)+2=-2$, mikä täsmää pisteen $(-2,-2)$ kanssa.

Vastaus: vakiotermi on $2$, ja suoran yhtälö on $y=2x+2$ (2 p.).

Ansa: tässä tehtävässä kulmakerroin ja vakiotermi ovat sattumalta sama luku $2$, joten lue tarkasti, kumpaa kysytään.

Tasakylkisen kolmion huippu on kannan keskinormaalilla, joten sen $x$-koordinaatti on kantapisteiden puolivälissä.

1. Kantakulmien pisteet ovat $(1,1)$ ja $(5,1)$, joten kanta on vaakasuora jana.
2. Kyljet ovat yhtä pitkät täsmälleen silloin, kun huippu on kannan keskinormaalilla.
3. Keskikohta: $x=\frac{1+5}{2}=3$.

Vastaus: $3$ (2 p.).

Huipun $y$-koordinaattia ei voi päätellä annetuista tiedoista, eikä sitä kysytäkään: kolmio voi olla matala tai korkea. Ansa: keskikohta lasketaan keskiarvona, ei erotuksena — luku $5-1=4$ olisi kannan pituus, ei huipun sijainti.

Peräkkäiset parittomat luvut muodostavat aritmeettisen jonon, jonka peräkkäisten jäsenten erotus on $2$.

1. Ensimmäinen jäsen on $a_1=1$ ja viideskymmenes $a_{50}=99$, sillä $1+49\cdot 2=99$.
2. Käytä aritmeettisen summan kaavaa: $S_{50}=50\cdot\frac{a_1+a_{50}}{2}=50\cdot\frac{1+99}{2}$.
3. Laske: $50\cdot 50=2500$.

Vastaus: $2500$ (2 p.).

Tuloksen voi myös muistaa sääntönä: ensimmäisten $n$ parittoman luvun summa on aina $n^2$, tässä $50^2=2500$. Ansa: viimeinen yhteenlaskettava on $99$, ei $50$ eikä $100$; parittomia lukuja väliltä $1$–$99$ on täsmälleen $50$ kappaletta.

Tulomuotoista yhtälöä ei saa ratkaista tulon nollasäännöllä, koska oikea puoli ei ole nolla; sulut on kerrottava auki.

1. Kerro sulut: $(x+3)(2x-1)=2x^2-x+6x-3$ (1 p.).
2. Siirrä normaalimuotoon: $2x^2+5x-3-4=0$, eli $2x^2+5x-7=0$ (1 p.).
3. Sijoita ratkaisukaavaan $a=2$, $b=5$ ja $c=-7$: $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot(-7)}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm\sqrt{81}}{4}=\frac{-5\pm 9}{4}$ (3 p.).
4. Juuret: $x=\frac44=1$ ja $x=\frac{-14}{4}=-\frac72$ (1 p.).

Vastaus: $x=1$ ja $x=-\frac72$.

Ansa: yleisin virhe on päätellä suluista suoraan $x+3=4$ tai $2x-1=4$; tulon nollasääntö pätee vain, kun tulo on nolla.

Aritmeettisessa jonossa peräkkäisten jäsenten erotus $d$ on vakio, joten viidenteen jäseneen mennessä erotus on lisätty neljä kertaa.

1. Laske jäsenten erotus: $a_5-a_1=1973-2025=-52$ (1 p.).
2. Ensimmäisestä viidenteen otetaan neljä askelta, joten $4d=-52$ ja $d=-13$ (2 p.).
3. Sadanteen jäseneen otetaan $99$ askelta: $a_{100}=a_1+99d=2025+99\cdot(-13)$ (3 p.).
4. Laske: $99\cdot 13=1287$, joten $a_{100}=2025-1287=738$.

Vastaus: lukujonon sadas jäsen on $738$.

Ansa: askelten määrä on aina yksi vähemmän kuin jäsenen järjestysluku — viidenteen jäseneen neljä ja sadanteen $99$ askelta. Luvun $13$ käyttö perustelematta pudottaa enintään 3 pisteeseen.

Indeksi kertoo yleisen ansiotason muutoksen, ja palkkion kehitystä verrataan siihen muutoskertoimien avulla.

1. Ansiotasoindeksin muutoskerroin: $\frac{3667}{2717}\approx 1{,}3497$, eli yleinen ansiotaso nousi noin $35\ \%$ (4 p.).
2. Palkkion muutoskerroin: $\frac{40}{30}\approx 1{,}33$, eli nousu on noin $33\ \%$ (2 p.).
3. Vertaa kertoimia: $1{,}33<1{,}35$ (2 p.).
4. Yleistä ansiokehitystä vastaava palkkio saadaan verrannosta $\frac{30}{x}=\frac{2717}{3667}$ eli laskusta $30\cdot\frac{3667}{2717}$ (2 p.), josta $x\approx 40{,}49$ euroa (2 p.).

Vastaus: luottamushenkilöiden ansiokehitys ei ylitä yleistä ansiokehitystä, ja uuden palkkion pitäisi olla noin $40{,}49$ euroa.

Ansa: vertaa nimenomaan kertoimia tai prosentteja keskenään, älä euroja indeksipisteisiin. Pelkkä vastaus ilman laskuja antaa 0 p.

Potenssiyhtälöllä $x^n=t$ on täsmälleen yksi reaaliratkaisu silloin, kun eksponentti $n$ on pariton.

1. Valitse yhtälö muotoa $x^n=t$, jossa $n\ge 2$ ja $t\neq 0$ (1 p.), esimerkiksi $x^3=8$.
2. Perustele yksikäsitteisyys: koska $3$ on pariton, kuutiojuuri on määritelty ja yksikäsitteinen kaikilla reaaliluvuilla (1 p.).
3. Ratkaise toimivalla menetelmällä ottamalla kuutiojuuri puolittain: $x=\sqrt[3]{8}$ (2 p.).
4. Laske ja tarkista: $x=2$, sillä $2^3=8$ (2 p.).

Vastaus: esimerkiksi yhtälöllä $x^3=8$ on vain yksi ratkaisu, $x=2$.

Ansa: parillinen eksponentti antaa kaksi ratkaisua, joten tyypillinen virhe-esimerkki $x^2=4$ ei kelpaa ja pudottaa enintään 1 pisteeseen.

Eksponenttiyhtälössä tuntematon on eksponentissa, joten se ratkaistaan logaritmilla tai kirjoittamalla molemmat puolet saman kantaluvun potensseina.

1. Valitse yhtälö muotoa $a^x=b$ omilla luvuilla (1 p.), esimerkiksi $2^x=8$.
2. Tarkista ehdot: $a=2>1$ ja $b=8>0$ (1 p.).
3. Ratkaise toimivalla menetelmällä (2 p.): koska $8=2^3$, kantaluvut ovat samat ja eksponenttienkin on oltava samat. Vaihtoehtoisesti $x=\log_2 8=\frac{\lg 8}{\lg 2}$.
4. Saadaan $x=3$, ja tarkistus $2^3=8$ täsmää (2 p.).

Vastaus: esimerkiksi yhtälön $2^x=8$ ratkaisu on $x=3$.

Ansa: pelkkä oikea vastaus ilman ratkaisumenetelmää pudottaa enintään 4 pisteeseen, joten kirjoita logaritmi tai kantalukupäättely näkyviin.

Suljetulla välillä ääriarvot ovat joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä, joten nollakohdat on selvitettävä ensin.

1. Derivoi: $p'(x)=3x^2-2x+1$ (3 p.).
2. Etsi nollakohtia ratkaisukaavalla: $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\frac{2\pm\sqrt{-8}}{6}$ (3 p.).
3. Diskriminantti $-8$ on negatiivinen, joten derivaatalla ei ole nollakohtia (1 p.).
4. Derivaatta ei siis vaihda merkkiä, ja koska $p'(1)=3-2+1=2>0$, funktio on kasvava koko välillä; riittää tutkia päätepisteet (3 p.).
5. Laske: $p(1)=1-1+1=1$ ja $p(2)=8-4+2=6$ (2 p.).

Vastaus: suurin arvo on $p(2)=6$ ja pienin arvo $p(1)=1$.

Ansa: pelkkä toteamus nollakohtien puuttumisesta ei riitä — kerro myös derivaatan merkki.

Näkökulma mallinnetaan suorakulmaisella kolmiolla, jonka hypotenuusa on etäisyys Kuun keskipisteeseen ja vastainen kateetti Kuun säde.

1. Kuvaile malli kuvalla tai sanallisesti: puolikas näkökulma $x$ toteuttaa yhtälön $\sin x=\frac{1737}{d}$ (4 p.).
2. Superkuu: $\sin x=\frac{1737}{350\,000}$, josta $x\approx 0{,}28435^\circ$ (3 p.).
3. Kauimmainen kohta: $\sin x=\frac{1737}{401\,000}$, josta $x\approx 0{,}24819^\circ$ (3 p.).
4. Koko halkaisija näkyy kaksinkertaisessa kulmassa molemmissa tapauksissa, joten tekijä $2$ supistuu pois suhteesta (1 p.).
5. Suhteellinen ero: $\frac{0{,}28435-0{,}24819}{0{,}24819}\approx 0{,}146$ (1 p.).

Vastaus: Kuu näkyy noin $14{,}6\ \%$ suuremmassa kulmassa.

Ansa: prosentin perusarvona on pienin kulma, ei superkuun kulma.