Matematik, kort lärokurs, hösten 2025 – studentprovets uppgifter och lösningar

Kysymys ''kuinka monta prosenttia luku on toisesta luvusta'' tarkoittaa osamäärää, jossa perusarvo on jakajana.

1. Perusarvo on $45$, sillä siitä osuutta kysytään.
2. Laske osamäärä: $\frac{36}{45}=0{,}8$.
3. Muunna prosenteiksi kertomalla sadalla: $0{,}8=80\ \%$.

Vastaus: $80$ (2 p.).

Ansa: perusarvon valinta. Toisin päin jaettuna $\frac{45}{36}=1{,}25$ eli $125\ \%$, mikä vastaisi kysymykseen ''kuinka monta prosenttia $45$ on luvusta $36$''. Jakajaksi tulee aina se luku, joka seuraa sanaa ''luvusta''.

Koron lisääminen tarkoittaa kertomista korkokertoimella, joten alkuperäinen summa saadaan jakolaskulla.

1. Kolmen prosentin korkoa vastaa kerroin $1+0{,}03=1{,}03$.
2. Merkitse alkuperäistä summaa $x$: yhtälöksi tulee $1{,}03x=675{,}68$.
3. Ratkaise: $x=\frac{675{,}68}{1{,}03}=656$ euroa.
4. Tarkista: $656\cdot 1{,}03=675{,}68$.

Vastaus: tilillä oli $656$ euroa (2 p.).

Ansa: prosentin perusarvo on tilin summa ennen korkoa, joten korkoa ei lasketa loppusummasta. Lasku $675{,}68\cdot 0{,}97=655{,}41$ antaisi väärän tuloksen, sillä prosenttilisäystä ei kumota yhtä suurella vähennyksellä vaan jakamalla.

Funktion arvo saadaan sijoittamalla annettu luku muuttujan paikalle ja laskemalla lauseke loppuun asti.

1. Sijoita: $f(16)=\sqrt{16}-2$.
2. Laske neliöjuuri: $\sqrt{16}=4$, sillä $4^2=16$.
3. Vähennä: $4-2=2$.

Vastaus: $f(16)=2$ (2 p.).

Ansa: lauseke on laskettava loppuun asti. Yleisin virhevastaus on $4$, jolloin vähennyslasku on jäänyt tekemättä; se antaa vain 1 p. Huomaa myös, ettei luku $2$ ole juurimerkin alla: $\sqrt{16-2}=\sqrt{14}$ olisi aivan eri lauseke.

Erisuurten nollakohtien lukumäärä selviää jakamalla polynomi tekijöihin tai laskemalla diskriminantti.

1. Tunnista binomin neliö: $x^2+6x+9=(x+3)^2$.
2. Ratkaise nollakohta: $(x+3)^2=0$, joten $x=-3$.
3. Sama nähdään diskriminantista: $6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$, ja nolla tarkoittaa kaksoisjuurta eli yhtä nollakohtaa.

Vastaus: $1$ (2 p.).

Ansa: kaksoisjuuri lasketaan yhdeksi erisuureksi nollakohdaksi, joten vastaus ei ole $2$. Kuvaajana paraabeli sivuaa $x$-akselia kohdassa $x=-3$ mutta ei leikkaa sitä.

Kolikonheitot ovat toisistaan riippumattomia, joten todennäköisyydet kerrotaan.

1. Yhden kolikon klaavan todennäköisyys on $\frac12$.
2. Kahden klaavan todennäköisyys on $\frac12\cdot\frac12=\frac14$.
3. Muunna prosenteiksi: $\frac14=0{,}25=25\ \%$.

Saman näkee luettelemalla: mahdollisia tuloksia ovat kruuna-kruuna, kruuna-klaava, klaava-kruuna ja klaava-klaava, joista vain yksi neljästä on kaksi klaavaa.

Vastaus: $25$ (2 p.).

Ansa: todennäköisyyksiä ei lasketa yhteen; summa $\frac12+\frac12=1$ väittäisi, että kaksi klaavaa tulee varmasti. Muista myös vastata prosentteina, kuten tehtävässä pyydetään.

Nopat ovat erikokoiset, joten ne voidaan erottaa toisistaan ja parit $(1,5)$ ja $(5,1)$ ovat eri tapauksia.

1. Luettele parit muodossa (pieni noppa, suuri noppa), joissa summa on $6$: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$ ja $(5,1)$.
2. Tarkista, ettei muita ole: kummankin nopan silmäluku on väliltä $1$–$6$, joten esimerkiksi $(0,6)$ ei kelpaa.
3. Laske tapaukset: niitä on $5$.

Vastaus: $5$ (2 p.).

Ansa: pari $(3,3)$ esiintyy vain kerran, koska molemmissa nopissa on sama silmäluku, mutta $(1,5)$ ja $(5,1)$ on laskettava erikseen. Jos noppia ei erotettaisi, vastaus olisi virheellisesti $3$.

Ennakko- ja vaalipäivän äänet ovat erikokoisia joukkoja, joten ehdokkaan äänet lasketaan erikseen ja suhteutetaan vasta lopuksi kaikkiin ääniin.

1. Ennakkoääniä oli $0{,}32\cdot 2\,500\,000=800\,000$ (2 p.).
2. Vaalipäivänä annettiin loput: $2\,500\,000-800\,000=1\,700\,000$ ääntä (2 p.).
3. Vaalipäivän äänet ehdokkaalle: $0{,}127\cdot 1\,700\,000=215\,900$ (2 p.).
4. Ennakkoäänet ehdokkaalle: $0{,}073\cdot 800\,000=58\,400$ (2 p.).
5. Osuus kaikista äänistä: $\frac{215\,900+58\,400}{2\,500\,000}=\frac{274\,300}{2\,500\,000}=0{,}10972$ (2 p.).

Vastaus: noin $11\ \%$ kaikista hyväksytyistä äänistä (2 p.).

Ansa: prosenttilukuja $7{,}3$ ja $12{,}7$ ei saa laskea yhteen eikä keskiarvoistaa, koska ne on laskettu erikokoisista perusjoukoista.

Jalkakäytävä on hyvin pitkä suorakulmainen särmiö, jonka tilavuus on pituus kertaa leveys kertaa korkeus.

1. Muunna säde metreiksi: $6\,378$ km $=6\,378\,000$ m (1 p.).
2. Käytävän pituus on päiväntasaajan piiri: $2\pi r=2\pi\cdot 6\,378\,000\approx 40\,074\,156$ m (3 p.).
3. Muodosta yhtälö tilavuudelle: $V=\text{pituus}\cdot\text{leveys}\cdot h$ (2 p.).
4. Ratkaise korkeus: $h=\frac{3\,000\,000}{40\,074\,156\cdot 2{,}0}$ (3 p.).
5. Laske: $h\approx 0{,}0374$ m.

Vastaus: jalkakäytävä olisi noin $0{,}037$ m eli noin $3{,}7$ cm korkea, ja yksikkö on merkittävä näkyviin (3 p.).

Ansa: yksiköt on yhtenäistettävä ennen laskua, sillä kilometrit ja kuutiometrit eivät sovi samaan yhtälöön. Maan kaarevuutta ei tarvitse huomioida.

Kolmion sivu jakautuu kolmeen osaan: kulmapallojen väliseen keskiosaan ja kummassakin päässä kulmaan jäävään pätkään.

1. Hahmottele tilanne ja yhdistä kulmapallojen keskipisteet kohtisuorasti kehyksen sivuun (3+2 p.).
2. Alarivillä on viisi palloa, joten kohtisuorien leikkauspisteiden väliin jää neljä pallon halkaisijaa: $4\cdot 52{,}4=209{,}6$ mm (2 p.).
3. Kulmaan jää suorakulmainen kolmio, jonka terävä kulma on $\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$ ja lyhyempi kateetti pallon säde $26{,}2$ mm; pidempi kateetti on $\frac{26{,}2}{\tan 30^\circ}\approx 45{,}4$ mm (4 p.).
4. Laske sivun pituus: $209{,}6+2\cdot 45{,}4\approx 300$ mm (1 p.).

Vastaus: kehyskolmion sisäosan sivu on noin $300$ mm eli noin $30$ cm.

Ansa: kulmakolmiossa käytetään pallon sädettä $26{,}2$ mm, ei halkaisijaa $52{,}4$ mm.

Keskiarvo tunnissa saadaan jakamalla turhien puhelujen kokonaismäärä vuoden tuntien määrällä.

1. Vuodessa on $365\cdot 24=8\,760$ tuntia (1 p.).
2. Turhia puheluita oli yhteensä $694\,600+37\,600=732\,200$ (1 p.).
3. Jaa: $\frac{732\,200}{8\,760}\approx 83{,}6$ (1 p.).

Vastaus: turhia hätäpuheluita tuli keskimäärin noin $84$ tunnissa.

Ansa: molemmat puhelutyypit on laskettava mukaan, sillä vain toisen käyttäminen pudottaa enintään 2 pisteeseen. Huomaa myös, ettei kokonaismäärää $2\,920\,000$ tarvita tässä osatehtävässä lainkaan; se on kaikkien puhelujen määrä, ei turhien.

Kymmenen puhelun otos on binomikoe: jokainen puhelu on turha samalla todennäköisyydellä ja muista riippumatta.

1. Yksittäinen puhelu on turha todennäköisyydellä $p=\frac{732\,200}{2\,920\,000}\approx 0{,}25075$ (2 p.).
2. Vastatodennäköisyys on $1-p\approx 0{,}74925$ (1 p.).
3. Ehto ''korkeintaan yksi turha'' tarkoittaa tapauksia nolla turhaa tai tasan yksi turha (1 p.).
4. Muodosta summa binomikaavalla: $(1-p)^{10}+\binom{10}{1}(1-p)^{9}p$ (4 p.).
5. Laske: $0{,}74925^{10}+10\cdot 0{,}74925^{9}\cdot 0{,}25075\approx 0{,}2423$ (1 p.).

Vastaus: noin $0{,}242$ eli noin $24{,}2\ \%$.

Ansa: binomikerroin $\binom{10}{1}=10$ on muistettava, sillä yksi turha puhelu voi osua mihin tahansa kymmenestä; sen puuttuminen pudottaa enintään 6 pisteeseen.

Suoraan verrannollisilla suureilla osamäärä on vakio, joten teho kasvaa samassa suhteessa kuin pinta-ala.

1. Muodosta pinta-alojen suhde: $\frac{32\ \mathrm{m}^2}{20\ \mathrm{m}^2}=1{,}6$ (2 p.). Vaihtoehtoisesti kirjoita verranto $\frac{x}{2{,}7}=\frac{32}{20}$.
2. Kerro teho tällä suhteella: $\frac{32}{20}\cdot 2{,}7=4{,}32$ (1 p.).
3. Pyöristä ja merkitse yksikkö näkyviin (1 p.).

Vastaus: rekka-auton paneeli tuottaa noin $4{,}3$ kW.

Ansa: pinta-aloja ei neliöidä. Verrannollisuus on suoraan pinta-alaan, joten kerroin on $1{,}6$ eikä $1{,}6^2$; neliöinti pudottaa enintään 2 pisteeseen. Muista myös kirjoittaa yksikkö kilowatti vastaukseen.

Kääntäen verrannollisilla suureilla tulo on vakio; tässä valaistusvoimakkuuden ja etäisyyden neliön tulo pysyy samana.

1. Muunna etäisyydet samaan yksikköön: $1{,}0$ m $=100$ cm (1 p.).
2. Neliöi etäisyydet: $45^2=2025$ ja $100^2=10\,000$ (2 p.).
3. Muodosta yhtälö: $2500\cdot 45^2=x\cdot 100^2$ (3 p.).
4. Ratkaise: $x=\frac{2500\cdot 2025}{10\,000}=506{,}25$ (2 p.).

Vastaus: valaistusvoimakkuus on noin $510$ luksia.

Ansa: etäisyyden neliö. Ilman neliöintiä saisi noin $1125$ luksia, mikä pudottaa enintään 4 pisteeseen, ja puuttuva yksikkö maksaa pisteen. Tarkista järkevyys: kauempana valo on heikompi, joten tuloksen on oltava selvästi alle $2500$ luksia.

Matka on vauhti kertaa aika, joten kummastakin lenkistä saadaan yksi yhtälö ja tuntemattomia on kaksi.

1. Esittele muuttujat: $j$ on juoksuvauhti ja $k$ kävelyvauhti yksikössä km/min (1 p.).
2. Ensimmäinen lenkki: kävelyä oli $31{,}7-25{,}0=6{,}7$ min, joten $4{,}05=25j+6{,}7k$ (4 p.).
3. Toinen lenkki: vauhdit ovat $\frac78$ edellisistä ja kävelyä oli $39{,}5-28{,}0=11{,}5$ min, joten $4{,}30=28\cdot\frac78 j+11{,}5\cdot\frac78 k$ (3 p.).
4. Ratkaise yhtälöpari dokumentoiden välivaiheet: $j\approx 0{,}137$ km/min ja $k\approx 0{,}095$ km/min (1 p.).
5. Muunna tunneiksi kertomalla luvulla $60$ (1 p.).

Vastaus: juoksuvauhti oli noin $8{,}2$ km/h ja kävelyvauhti noin $5{,}7$ km/h (2 p.).

Ansa: kerroin $\frac78$ kuuluu jälkimmäisen lenkin vauhteihin, ei aikoihin, jotka on annettu tehtävässä.

Jokainen kuukausitalletus ehtii kerryttää korkoa eri ajan, ja vuoden lopussa maksettu korko kasvaa seuraavina vuosina korkoa itselleen.

1. Vuosikorkoa $2{,}5\ \%$ vastaa kerroin $1{,}025$, ja yhden kuukauden korko on $\frac{0{,}025}{12}$ (2 p.).
2. Merkitse kuukausitalletusta $x$: ensimmäinen talletus on tilillä 12 kuukautta, toinen 11 ja niin edelleen (2 p.).
3. Vuoden lopussa tilillä on $12x+\frac{0{,}025}{12}(1+2+\cdots+12)x$, missä $1+2+\cdots+12=78$ (3 p.).
4. Kolmen vuoden koron korko huomioidaan kertoimella $1{,}025^2+1{,}025+1$ (3 p.).
5. Muodosta yhtälö $\left(12x+\frac{0{,}025}{12}\cdot 78x\right)\left(1{,}025^2+1{,}025+1\right)=7\,500$ ja ratkaise se (1 p.).

Vastaus: Aurin on talletettava $200{,}50$ euroa kuukaudessa (1 p.).

Ansa: koron korkoa ei saa unohtaa; pelkkä yhtälö $36x=7\,500$ antaisi liian suuren kuukausitalletuksen.

Funktio $f(t)=6\,000t+200\,000$ on lineaarinen: $200\,000$ on alkuarvo ja $6\,000$ muutos yhtä aikayksikköä kohti.

1. Anna konkreettinen esimerkki ja selitä luvut yksiköineen: esimerkiksi kaupungin väkiluku on nyt $200\,000$ asukasta ja kasvaa $6\,000$ asukkaalla vuodessa, kun $t$ on aika vuosina (1+1 p.).
2. Arvioi mallia perustellusti: kasvu ei todellisuudessa ole täysin tasaista eikä lineaarinen kasvu voi jatkua rajatta, joten malli sopii vain lyhyelle aikavälille (2 p.).
3. Ratkaise yhtälö: $6\,000t+200\,000=300\,000$, joten $6\,000t=100\,000$ ja $t=\frac{100\,000}{6\,000}\approx 17$ (1 p.).
4. Tulkitse tulos omassa esimerkissä: kaupungissa olisi $300\,000$ asukasta noin $17$ vuoden kuluttua (1 p.).

Vastaus: $t\approx 17$.

Ansa: luvut ja muuttuja on selitettävä yksiköineen, muuten esimerkkipisteet jäävät saamatta.

Funktio $g(t)=50\,000\cdot 0{,}8^t$ on eksponentiaalisesti vähenevä: $50\,000$ on alkuarvo ja kerroin $0{,}8$ tarkoittaa $20\ \%$:n vähenemistä aikayksikköä kohti.

1. Anna konkreettinen esimerkki ja selitä luvut yksiköineen: esimerkiksi koneen arvo on uutena $50\,000$ euroa ja alenee $20\ \%$ vuodessa, kun $t$ on aika vuosina (1+1 p.).
2. Arvioi mallia: vähenemisprosentti tuskin pysyy täsmälleen samana, ja malli antaa aina nollaa suuremman arvon, mikä on pitkällä aikavälillä epärealistista (2 p.).
3. Ratkaise yhtälö: $50\,000\cdot 0{,}8^t=5\,000$, joten $0{,}8^t=0{,}1$ ja logaritmoimalla $t=\frac{\lg 0{,}1}{\lg 0{,}8}\approx 10$ (1 p.).
4. Tulkitse: arvo on pudonnut kymmenesosaan noin $10$ vuodessa (1 p.).

Vastaus: $t\approx 10$.

Ansa: kerroin $0{,}8$ ei tarkoita $80\ \%$:n vähennystä vaan sitä, että jäljelle jää $80\ \%$.

Funktio $h(t)=2^{0{,}5t}$ kasvaa eksponentiaalisesti: kantaluku $2$ tarkoittaa kaksinkertaistumista, ja eksponentin kerroin $0{,}5$ venyttää kaksinkertaistumisajan kahdeksi aikayksiköksi.

1. Anna konkreettinen esimerkki ja selitä luvut: esimerkiksi bakteeriviljelmä kaksinkertaistuu kahden tunnin välein, jolloin $t$ on aika tunteina ja $h(t)$ solujen määrä suhteessa alkuhetkeen (1+1 p.).
2. Arvioi mallia: kasvu on aluksi uskottavaa, mutta ravinnon loppuessa se hidastuu, joten eksponentiaalinen malli pätee vain rajallisen ajan (2 p.).
3. Ratkaise yhtälö: koska $1\,048\,576=2^{20}$, saadaan $2^{0{,}5t}=2^{20}$, joten $0{,}5t=20$ ja $t=40$ (1 p.).
4. Tulkitse: viljelmä on kasvanut yli miljoonakertaiseksi noin $40$ tunnissa (1 p.).

Vastaus: $t=40$.

Ansa: eksponenttien vertailu vaatii saman kantaluvun, joten luku $1\,048\,576$ on kirjoitettava kakkosen potenssina.

Väite pätee vain erikoistapauksissa, joten yksi vastaesimerkki riittää kumoamaan sen.

1. Suljetulla välillä suurin arvo voidaan saavuttaa myös välin päätepisteessä, jossa derivaatta ei ole nolla: esimerkiksi funktion $p(x)=x$ suurin arvo välillä $[0,1]$ on kohdassa $x=1$.
2. Koko reaalilukujen joukossa polynomilla ei välttämättä ole suurinta arvoa lainkaan, sillä $p(x)=x$ kasvaa rajatta.

Vastaus: väittämä on epätosi (1 p.).

Ansa: derivaatan nollakohta on vain ehdokas ääriarvokohdaksi, ei tae. Kun etsit suljetulta väliltä suurinta arvoa, tutki aina sekä derivaatan nollakohdat että välin päätepisteet.