Matematik, kort lärokurs, våren 2026 – studentprovets uppgifter och lösningar

Ensimmäisen asteen yhtälö ratkeaa siirtämällä vakiotermi ja jakamalla sitten kertoimella.

1. Lisää molemmille puolille $12$: $4x=48+12=60$.
2. Jaa puolittain neljällä: $x=\frac{60}{4}=15$.
3. Tarkista sijoittamalla: $4\cdot 15-12=60-12=48$, mikä täsmää.

Vastaus: $15$ (2 p.).

Ansa: vakiotermi vaihtaa merkkinsä siirtyessään yhtälön toiselle puolelle, joten oikealle tulee $48+12=60$ eikä $48-12=36$, mikä antaisi virheellisen vastauksen $9$. A-osan vastauskenttään kirjoitetaan pelkkä kokonaisluku.

Potenssiyhtälö $x^n=t$ ratkaistaan ottamalla puolittain $n$:s juuri, ja parittomalla eksponentilla ratkaisu on yksikäsitteinen.

1. Eksponentti $3$ on pariton, joten kuutiojuuri on määritelty ja yksikäsitteinen.
2. Ota kuutiojuuri puolittain: $x=\sqrt[3]{125}$.
3. Koska $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$, saadaan $x=5$.

Vastaus: $5$ (2 p.).

Ansa: älä merkitse vastausta $\pm$-merkillä. Kaksi ratkaisua tulee vain parillisella eksponentilla, kuten yhtälössä $x^2=25$; tässä negatiivinen vaihtoehto ei kelpaa, sillä $(-5)^3=-125$. Älä myöskään jaa yhtälöä kolmella, sillä $x^3$ ei tarkoita tuloa $3x$.

Eksponenttiyhtälö ratkeaa helpoimmin kirjoittamalla molemmat puolet saman kantaluvun potensseina.

1. Kirjoita oikea puoli kolmen potenssina: $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$ ja $3^5=243$.
2. Yhtälö on siis $3^x=3^5$.
3. Kun kantaluvut ovat samat, myös eksponenttien on oltava samat: $x=5$.

Vastaus: $5$ (2 p.).

Saman tuloksen saa logaritmilla: $x=\log_3 243=\frac{\lg 243}{\lg 3}=5$.

Ansa: älä jaa yhtälöä puolittain kolmella, sillä $3^x$ ei tarkoita tuloa $3\cdot x$; lasku $x=\frac{243}{3}=81$ on virheellinen.

Alennusprosentti lasketaan alkuperäisestä hinnasta, joka on tässä $180$ euroa.

1. Laske uuden hinnan osuus alkuperäisestä: $\frac{126}{180}=0{,}7$ eli $70\ \%$.
2. Alennus on loppuosa: $100\ \%-70\ \%=30\ \%$.
3. Tarkista erotuksen kautta: $180-126=54$ euroa, ja $\frac{54}{180}=0{,}30$.

Vastaus: $30$ (2 p.); myös $-30$ hyväksytään.

Ansa: kysyttiin alennusprosenttia, ei jäljelle jäävää osuutta. Vastaus $70$ tarkoittaisi, että hinnasta jäi jäljelle $70\ \%$, ja se antaa vain 1 p. Perusarvona on aina alennusta edeltävä hinta.

Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan kertomalla muutoskertoimet, sillä toinen korotus lasketaan jo korotetusta hinnasta.

1. Korotusta $20\ \%$ vastaa kerroin $1+0{,}20=1{,}2$.
2. Kaksi korotusta peräkkäin antaa kertoimen $1{,}2\cdot 1{,}2=1{,}44$.
3. Laske lopullinen hinta: $1{,}44\cdot 150=216$ euroa. Välivaiheittain: $1{,}2\cdot 150=180$ ja $1{,}2\cdot 180=216$.

Vastaus: $216$ euroa (2 p.).

Ansa: prosentteja ei lasketa yhteen, joten yhtenä $40\ \%$:n korotuksena laskettu $1{,}4\cdot 150=210$ olisi väärin. Toinen tyypillinen virhe on käyttää kerrointa $0{,}8$ eli laskea hintaa; se antaisi $96$ euroa ja vain 1 p.

Neliön pinta-ala on sivun neliö, joten sivu saadaan neliöjuurella ja piiri neljällä kertomalla.

1. Merkitse sivua $a$: $a^2=144\ \mathrm{cm}^2$.
2. Ota neliöjuuri: $a=\sqrt{144}=12$ cm, sillä pituus on positiivinen.
3. Piiri koostuu neljästä sivusta: $P=4\cdot 12=48$ cm.

Vastaus: $48$ cm (2 p.).

Ansa: tehtävässä kysytään piiriä, ei sivua; pelkkä $12$ on tehtävän puolittainen ratkaisu ja antaa 1 p. Huomaa myös yksiköt: pinta-ala mitataan neliösenttimetreinä mutta piiri senttimetreinä.

Murtolukujen vähennyslasku vaatii yhteisen nimittäjän, ja tehtävässä se on annettu valmiiksi: $60$.

1. Lavenna ensimmäinen murtoluku: $\frac34=\frac{3\cdot 15}{4\cdot 15}=\frac{45}{60}$.
2. Lavenna toinen: $\frac25=\frac{2\cdot 12}{5\cdot 12}=\frac{24}{60}$.
3. Vähennä osoittajat nimittäjän pysyessä samana: $\frac{45}{60}-\frac{24}{60}=\frac{21}{60}$.

Vastaus: $21$ (2 p.).

Ansa: nimittäjää ei vähennetä, vaan vain osoittajat. Yleinen virhevastaus $7$ syntyy, jos nimittäjäksi ajatellaan $20$ eikä laventamista viedä lukuun $60$ asti; se antaa 1 p.

Keskiarvo on lukujen summa jaettuna lukujen määrällä, joten summa on ensin selvitettävä.

1. Lukuja on neljä ja keskiarvo $5$, joten summan on oltava $4\cdot 5=20$.
2. Laske tunnettujen lukujen summa: $-5+4+13=12$.
3. Puuttuva luku on erotus: $20-12=8$.
4. Tarkista: $\frac{-5+4+13+8}{4}=\frac{20}{4}=5$.

Vastaus: $8$ (2 p.).

Ansa: negatiivinen luku on otettava summassa huomioon. Jos laskisit $5+4+13=22$, saisit virheellisen vastauksen $-2$. Kertolasku $4\cdot 5$ tehdään ennen vähennystä, koska keskiarvon määritelmä koskee koko summaa.

Binomin neliön kaava on $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, jossa keskimmäinen termi on kaksi kertaa osien tulo.

1. Tunnista osat: $a=2x$ ja $b=3$.
2. Laske termit: $a^2=(2x)^2=4x^2$, $2ab=2\cdot 2x\cdot 3=12x$ ja $b^2=3^2=9$.
3. Kokoa: $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$.

Vastaus: $12$ (2 p.).

Ansa: keskitermi unohtuu helposti tai jää puoleen. Sulkulauseketta ei saa neliöidä termeittäin, sillä $(2x+3)^2$ ei ole $4x^2+9$. Voit tarkistaa sijoittamalla $x=1$: $(2+3)^2=25$ ja $4+12+9=25$.

Ratkaisu on annettu valmiiksi, joten se sijoitetaan yhtälöön ja puuttuva luku ratkaistaan.

1. Sijoita $x=2$ molemmille puolille: $7\cdot 2+\square=19-2\cdot 2$.
2. Laske puolet erikseen: vasen on $14+\square$ ja oikea $19-4=15$.
3. Ratkaise: $\square=15-14=1$.
4. Tarkista: yhtälöstä $7x+1=19-2x$ saadaan $9x=18$, joten $x=2$.

Vastaus: $1$ (2 p.).

Ansa: laskujärjestys ja merkit. Oikealla puolella $2x$ vähennetään luvusta $19$, joten arvo on $15$, ei $23$. Muista sijoittaa $x=2$ myös oikean puolen termiin eikä vain vasemmalle.

Yhtälöparin molempien yhtälöiden on toteuduttava samoilla arvoilla, joten aloita siitä yhtälöstä, jossa ei ole puuttuvaa lukua.

1. Sijoita $x=3$ alempaan yhtälöön: $3-2y=9$.
2. Ratkaise: $-2y=6$, joten $y=-3$.
3. Sijoita $x=3$ ja $y=-3$ ylempään yhtälöön: $2\cdot 3+(-3)=6-3=3$.

Vastaus: $3$ (2 p.).

Ansa: merkki. Kun yhtälö $-2y=6$ jaetaan luvulla $-2$, tulos on negatiivinen $y=-3$; positiivinen $y=3$ antaisi puuttuvaksi luvuksi virheellisesti $9$.

Suorakulmaisessa kolmiossa Pythagoraan lause sitoo sivut toisiinsa: kateettien neliöiden summa on hypotenuusan neliö.

1. Kirjoita lause: $c^2=20^2+21^2$.
2. Laske neliöt ja summa: $400+441=841$.
3. Ota neliöjuuri: $c=\sqrt{841}=29$, sillä $29^2=841$.

Vastaus: $29$ (2 p.).

Ansa: kateetteja ei lasketa yhteen sellaisenaan, joten summa $20+21=41$ on väärin. Tarkista järkevyys: hypotenuusa on kolmion pisin sivu mutta kateettien summaa lyhyempi, ja tulos $29$ on juuri lukujen $21$ ja $41$ välissä.

Ratkaisujen lukumäärän ratkaisee diskriminantti eli ratkaisukaavan juurrettava.

1. Muodosta diskriminantti: $D=b^2-4\cdot 2\cdot 5=b^2-40$ (2 p.).
2. Kaksi ratkaisua, kun $D>0$: esimerkiksi $b=10$, jolloin $D=100-40=60>0$ (3 p.).
3. Ei yhtään ratkaisua, kun $D<0$: esimerkiksi $b=0$, jolloin $D=0-40=-40<0$ (3 p.).
4. Tasan yksi ratkaisu, kun $D=0$: tämä vaatii $b^2=40$, eli $b=\sqrt{40}$ tai $b=-\sqrt{40}$ (4 p.).

Vastaus: esimerkiksi $b=10$ antaa kaksi ratkaisua, $b=0$ ei yhtään ja $b=\sqrt{40}$ tasan yhden.

Ansa: yhden ratkaisun tapauksessa $b$ on annettava tarkkana arvona $\pm\sqrt{40}$; pelkkä likiarvo $6{,}32$ antaa kyseiseltä riviltä 0 p., koska silloin diskriminantti ei ole täsmälleen nolla.

Kaikki mitat on ensin muunnettava samaan yksikköön, minkä jälkeen arkkien lukumäärä saadaan jakolaskulla.

1. Pinon korkeus: $17{,}4\cdot 72=1252{,}8$ metriä (2 p.).
2. Arkin paksuus metreinä on $0{,}10$ mm $=0{,}0001$ m, joten arkkeja on $\frac{1252{,}8}{0{,}0001}=12\,528\,000$ kappaletta (3 p.).
3. Massa: yksi arkki on $0{,}005$ kg, joten yhteensä $12\,528\,000\cdot 0{,}005=62\,640$ kg (3 p.).
4. Tilavuus: sivut metreinä ovat $0{,}21$ m ja $0{,}297$ m, joten $V=0{,}21\cdot 0{,}297\cdot 1252{,}8\approx 78{,}14\ \mathrm{m}^3$ (2+2 p.).

Vastaus: pinon massa on noin $63$ tonnia ja tilavuus noin $78$ kuutiometriä.

Ansa: yksikkömuunnokset ratkaisevat tämän tehtävän — millimetrit, senttimetrit ja metrit on saatettava samaan yksikköön ennen jako- ja kertolaskuja.

Keskivirheen kaavassa $\frac{s}{\sqrt n}$ esiintyy otoskoko, joten siitä voidaan ratkaista $n$.

1. Muodosta yhtälö: $\frac{4{,}1}{\sqrt n}=0{,}10$ (3 p.).
2. Ratkaise: $\sqrt n=\frac{4{,}1}{0{,}10}=41$, joten $n=41^2=1\,681$ (3 p.).
3. Luottamustasoa $95\ \%$ vastaa kerroin $1{,}96$ (1 p.).
4. Sijoita luottamusvälin kaavaan: $503{,}2\pm 1{,}96\cdot 0{,}10=503{,}2\pm 0{,}196$ (4 p.).
5. Laske molemmat rajat: $503{,}004$ ja $503{,}396$ (1 p.).

Vastaus: otoskoko on $1\,681$ ja luottamusväli noin $[503{,}00;\ 503{,}40]$ grammaa.

Ansa: muista neliöidä lopuksi, sillä $\frac{4{,}1}{0{,}10}=41$ on otoskoon neliöjuuri eikä otoskoko. Vain toinen raja laskettuna pudottaa enintään 9 pisteeseen.

Huovutus lyhensi lapasia $30\ \%$, joten jäljelle jäi $70\ \%$ alkuperäisestä pituudesta; perusarvona on huovuttamaton pituus.

1. Merkitse alkuperäistä pituutta $h$: huovutuksen jälkeen pituus on $0{,}7h$ (2 p.).
2. Punaiset lapaset: $0{,}7h=17{,}6$, joten $h=\frac{17{,}6}{0{,}7}\approx 25{,}1$ cm (2 p.).
3. Siniset lapaset: $0{,}7h=19{,}8$, joten $h=\frac{19{,}8}{0{,}7}\approx 28{,}3$ cm (2 p.).

Vastaus: punaiset lapaset olivat noin $25{,}1$ cm ja siniset noin $28{,}3$ cm pitkiä.

Ansa: prosenttivähennystä ei kumota lisäämällä $30\ \%$ lopputulokseen, sillä perusarvo on alkuperäinen pituus. Lasku $1{,}3\cdot 17{,}6=22{,}9$ cm olisi väärin; jaa siis kertoimella $0{,}7$. Yksiköt vaaditaan vastaukseen.

Suoraan verrannollisilla suureilla osamäärä on vakio, joten silmukoita tarvitaan samassa suhteessa kuin pituutta on.

1. Havainnollista verrannollisuus taulukolla tai selityksellä: $19{,}8$ cm vastaa $36$ silmukkaa ja $17{,}6$ cm tuntematonta määrää $x$ (1 p.).
2. Muodosta verranto: $\frac{36}{19{,}8}=\frac{x}{17{,}6}$ (3 p.).
3. Ratkaise ristiin kertomalla: $x=\frac{36\cdot 17{,}6}{19{,}8}=32$ (2 p.).

Vastaus: punaiseen lapaseen tarvittiin $32$ silmukkaa.

Ansa: silmukoiden määrä on kokonaisluku, joten tulos on pyöristettävä; pyöristämättä jättäminen maksaa pisteen. Tarkista myös suunta: punainen lapanen on lyhyempi, joten silmukoita on oltava vähemmän kuin $36$.

Tulkinnat eroavat siinä, kertyykö korkoa vain täysistä minoista vai myös osittaisista; jälkimmäinen on tavallinen koronkorkolasku.

1. Tapa 1: kuukausikorko on yksi sekeli täyttä minaa kohti, joten aluksi $30$ sekeliä kuukaudessa (2 p.).
2. Velan kasvaessa täysien minojen määrä kasvaa, sillä $60$ sekeliä on yksi mina: kahden kuukauden korko $60$ sekeliä nostaa velan $31$ minaan (2 p.).
3. Vuoden korko on siis $2(30+31+32+33+34+35)=390$ sekeliä eli $6$ minaa ja $30$ sekeliä (2 p.).
4. Tapa 2: kuukauden korkokerroin on $1+\frac{1}{60}=\frac{61}{60}$ (2 p.).
5. Vuoden päästä velkaa on $\left(\frac{61}{60}\right)^{12}\cdot 30$ minaa (2 p.), josta korko saadaan vähentämällä alkuperäiset $30$ minaa: noin $395$ sekeliä eli $6$ minaa ja $35$ sekeliä (2 p.).

Vastaus: tavalla 1 korkoa kertyy $390$ sekeliä ja tavalla 2 noin $395$ sekeliä.

Riittää valita yksi polynomi ja osoittaa laskemalla, että sen derivaatta saa molemmat vaaditut arvot.

1. Valitse vähintään toisen asteen polynomifunktio, esimerkiksi $p(x)=x^2$ (1 p.); ensimmäisen asteen polynomi ei kelpaa, koska sen derivaatta on vakio.
2. Derivoi: $p'(x)=2x$ (1 p.).
3. Ratkaise ehto $p'(x)=1$: yhtälöstä $2x=1$ saadaan $x=\frac12$, ja tarkistus antaa $p'\left(\frac12\right)=1$ (2 p.).
4. Ratkaise ehto $p'(x)=-1$: yhtälöstä $2x=-1$ saadaan $x=-\frac12$, ja $p'\left(-\frac12\right)=-1$ (2 p.).

Vastaus: esimerkiksi $p(x)=x^2$ kelpaa: derivaatta saa arvon $1$ kohdassa $x=\frac12$ ja arvon $-1$ kohdassa $x=-\frac12$.

Ansa: pelkkä derivaatan kuvaaja ei tuota pisteitä, joten kirjoita yhtälöt ja niiden ratkaisut näkyviin.

Vastaus selviää rakentamalla ehdot täyttävä funktio: nollakohdat ja derivaattaehto kiinnittävät kertoimet.

1. Kirjoita yleinen kolmannen asteen polynomi ja derivoi se: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ja $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ (1 p.).
2. Ehdosta $f'(0)=100$ seuraa suoraan $c=100$ (2 p.).
3. Nollakohtaehdot: $f(1)=a+b+c+d=0$ ja $f(-1)=-a+b-c+d=0$ (1 p.).
4. Laske yhtälöt yhteen ja vähennä toisistaan: saadaan $b+d=0$ ja $a+c=0$, joten $a=-100$; valitse yksinkertaisin vaihtoehto $b=d=0$ (1 p.).
5. Tarkista: $f(x)=-100x^3+100x$ toteuttaa $f(\pm 1)=0$, ja $f'(x)=-300x^2+100$ antaa $f'(0)=100$.

Vastaus: kyllä, tämä on mahdollista, esimerkiksi funktiolla $f(x)=-100x^3+100x$ (1 p.).