Mathematics, advanced syllabus autumn 2024: exam tasks and solutions

2.13 p

Määritä luvun $p'(1)$ tarkka arvo, kun $p(x)=-2x^5+x^4-2.$ Valitse oikea vaihtoehto.

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.1). The wrong answer options are not from the original exam. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Answer guidelines

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Explanation

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(ax^n)=anx^{n-1}$ , ja vakiotermin derivaatta on nolla.

1. Derivoi: $p'(x)=-10x^4+4x^3$ .
2. Sijoita $x=1$ : $p'(1)=-10+4=-6$ .

Vastaus: $-6$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. Luku $-3$ on $p(1)=-2+1-2$ eli funktion arvo, ei derivaatan. Luku $-8$ saadaan, jos vakiotermi $-2$ jätetään derivaattaan. Luku $6$ syntyy merkkivirheestä.

Ansa: derivoi ensin ja sijoita vasta sitten. Vakiotermi häviää derivoinnissa, joten se ei vaikuta tulokseen.

Adapted from a YTL task (source material removed) · original

2.23 p

Määritä derivaatta $f'(x),$ kun $f(x)=xe^{x}.$ Valitse oikea vaihtoehto.

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.2). The wrong answer options are not from the original exam. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Answer guidelines

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Explanation

Kyseessä on tulo, joka derivoidaan säännöllä $D(uv)=u'v+uv'$ , missä $u(x)=x$ ja $v(x)=e^{x}$ .

1. Tekijöiden derivaatat ovat $u'(x)=1$ ja $v'(x)=e^{x}$ .
2. Tulon derivointisääntö: $f'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}$ .
3. Ota $e^{x}$ yhteiseksi tekijäksi: $f'(x)=(x+1)e^{x}$ .

Vastaus: $(x+1)e^x$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. $e^x$ saadaan, jos tekijöiden derivaatat kerrotaan keskenään, $1\cdot e^x$ . $xe^x$ syntyy, jos $x$ käsitellään vakiona. $(x-1)e^x$ syntyy merkkivirheestä tulosäännössä.

Ansa: tulon derivaatta ei ole tekijöiden derivaattojen tulo. Eksponenttifunktion $e^{x}$ derivaatta on funktio itse.

Adapted from a YTL task (source material removed) · original

2.33 p

Määritä luvun $g'(-1)$ tarkka arvo, kun $g(x)=\ln(2x+3).$ Valitse oikea vaihtoehto.

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.3). The wrong answer options are not from the original exam. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Answer guidelines

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Explanation

Logaritmi derivoidaan yhdistetyn funktion säännöllä $D\ln u=\frac{u'}{u}$ .

1. Sisäfunktio on $u(x)=2x+3$ , ja sen derivaatta on $u'(x)=2$ .
2. Derivaatta on $g'(x)=\frac{2}{2x+3}$ .
3. Sijoita $x=-1$ : $g'(-1)=\frac{2}{2\cdot(-1)+3}=2$ .

Vastaus: $2$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. Arvo $1$ saadaan, jos sisäfunktion derivaatta $2$ unohtuu. Arvo $0$ on $g(-1)=\ln 1$ eli funktion arvo, ei derivaatan. Arvo $\frac25$ saadaan, jos derivaatta lasketaan kohdassa $x=1$ .

Huomaa, että kohdassa $x=-1$ on $2x+3=1>0$ , joten logaritmi ja sen derivaatta ovat siinä määriteltyjä.

Adapted from a YTL task (source material removed) · original

2.43 p

Määritä derivaatta $h'(x),$ kun $h(x)=\sin x+\cos(3x).$ Valitse oikea vaihtoehto.

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.4). The wrong answer options are not from the original exam. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Answer guidelines

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Explanation

Summa derivoidaan termeittäin, ja jälkimmäisessä termissä tarvitaan yhdistetyn funktion sääntöä.

1. Ensimmäinen termi: $D\sin x=\cos x$ .
2. Toinen termi: $D\cos(3x)=-\sin(3x)\cdot D(3x)=-3\sin(3x)$ .
3. Yhdistä termit: $h'(x)=\cos x-3\sin(3x)$ .

Vastaus: $\cos(x) - 3\sin(3x)$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. $\cos(x)-\sin(3x)$ saadaan, jos sisäfunktion derivaatta $3$ unohtuu. $\cos(x)+3\sin(3x)$ syntyy, kun kosinin derivaatan miinusmerkki katoaa, ja $-\cos(x)-3\sin(3x)$ , kun sinin derivaattaan tulee väärä miinusmerkki.

Muistisääntö: sinin derivaatta on $\cos$ , kosinin derivaatta on $-\sin$ .

Adapted from a YTL task (source material removed) · original

3.14 p

Ratkaise muuttujan $x$ tarkka arvo yhtälöstä $4\cdot 8^x=\sqrt2.$

Answer guidelines

Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $2^2\cdot2^{3x}=2^{1/2}$ (1 p.), joka yksinkertaistuu muotoon $2^{2+3x}=2^{1/2}$ (1 p.); eksponenttien vertailu $3x+2=\frac12$ (1 p.), josta $x=-\frac12$ (1 p.). Vaihtoehtoisesti logaritmilla: $x=\log_8\frac{\sqrt2}{4}=-\frac32\log_82=-\frac12.$ Pelkkä vastaus: 0 p.

Explanation

Kaikki luvut kirjoitetaan kannassa $2$ , jolloin eksponentteja voi verrata suoraan: $4=2^2$ , $8=2^3$ ja $\sqrt2=2^{1/2}$ .

1. Kirjoita yhtälö muodossa $2^2\cdot 2^{3x}=2^{1/2}$ (1 p.).
2. Potenssien tulosääntö: $2^{2+3x}=2^{1/2}$ (1 p.).
3. Eksponenttifunktio saa jokaisen arvonsa vain kerran, joten eksponentit ovat yhtä suuret: $3x+2=\frac12$ (1 p.).
4. Ratkaise: $3x=-\frac32$ , siis $x=-\frac12$ (1 p.).

Vastaus: $x=-\frac12$ eli $-0{,}5$ .

Vaihtoehtoisesti logaritmilla: $x=\log_8\frac{\sqrt2}{4}=-\frac32\log_8 2=-\frac12$ .

Ansa: pelkkä vastaus ilman välivaiheita antaa 0 p., ja kysytty on tarkka arvo, ei likiarvo.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

3.28 p

Ratkaise muuttujan $y$ tarkat arvot yhtälöstä $\sin\left(6y-\frac{\pi}{2}\right)=\frac12,$ kun $y\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$

Answer guidelines

Koska $\sin x=\frac12,$ kun $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ tai $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ (1+1 p.). Sijoitetaan $x=6y-\frac{\pi}{2}$ (1 p.). Ensimmäisestä saadaan $y=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ ja toisesta $y=\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ (1 p.). Löydetty oikeat $k$ :n arvot ( $k\in\{0,1\}$ ensimmäisessä ja $k=0$ toisessa) (2 p.). Ratkaisut ovat $y=\frac{\pi}{9},$ $y=\frac{2\pi}{9}$ ja $y=\frac{4\pi}{9}$ (2 p.). Suplementtikulma puuttuu: max 5 p. Voi laskea myös asteilla.

Explanation

Palauta yhtälö perusmuotoon $\sin x=\frac12$ ja sijoita vasta lopuksi $x=6y-\frac{\pi}{2}$ .

1. $\sin x=\frac12$ , kun $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ tai $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ , missä $k\in\mathbf{Z}$ (1+1 p.).
2. Sijoita $x=6y-\frac{\pi}{2}$ (1 p.).
3. Ensimmäisestä: $6y=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2\pi k=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ , siis $y=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ ; toisesta vastaavasti $y=\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ (1 p.).
4. Rajaa välille $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ : ensimmäisestä kelpaavat $k=0$ ja $k=1$ , toisesta vain $k=0$ (2 p.).

Vastaus: $y=\frac{\pi}{9}$ , $y=\frac{2\pi}{9}$ ja $y=\frac{4\pi}{9}$ (2 p.).

Ansa: suplementtikulmaa $\frac{5\pi}{6}$ vastaava haara unohtuu helposti, jolloin pisteitä saa enintään 5.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

412 p

Funktion $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ arvo $f(x)$ on luvun $x$ kokonaislukuosa. Esimerkiksi $f(1)=1,$ $f\left(\frac{11}{5}\right)=2$ ja $f(\pi)=3.$ Laske $\int_0^{10}f(x)\,dx.$

Answer guidelines

Integraali mittaa funktion ja $x$ -akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa tai integraali jaettu järkeviin osaväleihin (2 p.). Kyseessä on porrasfunktio, jonka arvo välillä $[k,k+1)$ on $k$ (2 p.). Jokaisen välin pituus on $1$ (2 p.); funktion arvo puoliavoimen välin päätepisteissä ei vaikuta integraaliin (1 p.). Pinta-ala koostuu suorakulmioista, joiden ala on $1\cdot k=k,$ kun $k\in\{0,1,\ldots,9\}$ (2 p.). Yhteenlaskettu ala on $0+1+2+\cdots+9$ (2 p.) $=45$ (1 p.). Funktio siirtynyt yhdellä portaalla (vastaus 55): max 9 p. Laskettu $\int_0^{10}x\,dx=50$ : $+0$ p.

Explanation

Kokonaislukuosa on porrasfunktio, joten integraali lasketaan suorakulmioiden pinta-aloina.

1. Tulkitse integraali kuvaajan ja $x$ -akselin väliseksi pinta-alaksi tai jaa integrointiväli osaväleihin (2 p.).
2. Tunnista porrasfunktio: välillä $[k,k+1)$ arvo on vakio $k$ (2 p.).
3. Jokaisen osavälin pituus on $1$ , eikä arvo yksittäisissä päätepisteissä vaikuta integraaliin (2 p.).
4. Kunkin suorakulmion ala on $1\cdot k=k$ , kun $k=0,1,\ldots,9$ (2 p.).
5. Summaa: $0+1+2+\cdots+9=\frac{9\cdot 10}{2}$ (2 p.).

Vastaus: $\int_0^{10}f(x)\,dx=45$ (2 p.).

Ansa: portaat on helppo siirtää yhdellä, jolloin vastaukseksi tulee $55$ ja pisteitä saa enintään 9. Myöskään $\int_0^{10}x\,dx=50$ ei tuota pisteitä, sillä $f$ ei ole suora.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

512 p

a) Osoita, että $\displaystyle\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{1}{2^k}$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $k.$ (4 p.)

b) Osoita, että $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac12$ kaikilla kokonaisluvuilla $n\ge2.$ (8 p.)

Answer guidelines

a) Järkevä avaus (ristiinkertominen tai laventaminen), esimerkiksi $(k-1)2^k<k2^k+1$ (1 p.); sievennys muotoon, josta totuusarvon voi perustella, esimerkiksi $-2^k<1$ (1 p.); totuuden perustelu (2 p.). Vaihtoehtoisesti $\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k}=\frac{1}{2^k}$ (4 p.). b) Vasemman puolen arviointi geometrisella summalla (2 p.); alkutermin huomioiminen, summan alku $\frac14+\frac18+\cdots$ (1 p.); oikea suhdeluku $q=0{,}5$ (1 p.); sijoitus geometrisen summan kaavaan $\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac12}=\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ (2 p.); perusteltu, miksi summa on alle $\frac12$ (2 p.). Kokeilut: $+0$ p.

Explanation

Idea: arvioidaan jokainen termi ylöspäin geometrisen jonon termillä $\frac{1}{2^k}$ .

a)
1. Kasvata osoittajaa: $\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k+1}$ (1 p.).
2. Pienennä nimittäjää: $\frac{k}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k}=\frac{1}{2^k}$ (1 p.). Molemmat askeleet kasvattavat murtolukua, koska osoittajat ja nimittäjät ovat positiivisia (2 p.). Ristiin kertomalla sama näkyy muodossa $(k-1)2^k<k2^k+1$ eli $-2^k<1$ .

b)
3. Arvioi summa a-kohdan avulla: $\sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k2^k+1}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^k}$ (2 p.).
4. Oikea puoli on geometrinen summa, jonka ensimmäinen termi on $\frac14$ (1 p.) ja suhdeluku $q=\frac12$ (1 p.).
5. Kaavalla $\frac14\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{n-1}}{1-\frac12}=\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ (2 p.).
6. Koska $\frac{1}{2^{n-1}}>0$ , tämä on aidosti pienempi kuin $\frac12$ (2 p.).

Ansa: numeeriset kokeilut eivät ole todistus eivätkä tuota pisteitä.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

612 p

Mallinnetaan veteen pudonneen kiven aiheuttamia aaltoja funktiolla $f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R},$ missä $\displaystyle f(x,y)=\frac{\sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}},$ kun $(x,y)\ne(0,0),$ ja $f(0,0)=1.$

a) Etsi kaksi muuta pistettä, joissa funktion arvo on sama kuin pisteessä $(3,4).$ (6 p.)

b) Osoita, että jokaiselta $xy$ -tason suoralta löytyy funktion nollakohta. (6 p.)

Answer guidelines

a) $f(3,4)=\frac{\sin\sqrt{25}}{\sqrt{25}}=\frac{\sin5}{5}$ (1 p.); löydetty pisteet $(a,b)$ ja $(c,d),$ joilla $f(a,b)=f(c,d)=f(3,4)$ (1+1 p.); osoitettu laskemalla (2+1 p.). Laskettu ja vertailtu vain likiarvoja: max 4 p. b) Kun $\sqrt{x^2+y^2}=k\pi$ ja $k$ on positiivinen kokonaisluku, on $f(x,y)=0$ (2 p.); funktio saa arvon nolla kaikilla origokeskisillä ympyröillä, joiden säde on $\pi k$ (2 p.); mikä tahansa tason suora leikkaa jotakin tällaista ympyrää, joten suoralta löytyy nollakohta (2 p.).

Explanation

Funktion arvo riippuu vain etäisyydestä origosta, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , joten arvo on sama koko origokeskisellä ympyrällä.

a)
1. $f(3,4)=\frac{\sin\sqrt{25}}{\sqrt{25}}=\frac{\sin 5}{5}$ (1 p.).
2. Valitse muut pisteet samalta $5$ -säteiseltä ympyrältä, esimerkiksi $(5,0)$ ja $(-3,-4)$ (1+1 p.).
3. Osoita laskemalla: $\sqrt{5^2+0^2}=5$ ja $\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5$ , joten molemmissa $f=\frac{\sin 5}{5}$ (3 p.).

b)
4. $f(x,y)=0$ täsmälleen silloin, kun $\sin r=0$ ja $r\neq 0$ , eli $r=k\pi$ jollakin positiivisella kokonaisluvulla $k$ (2 p.).
5. Nollakohdat muodostavat siis origokeskiset ympyrät, joiden säteet ovat $\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ldots$ (2 p.).
6. Säteet kasvavat rajatta, joten mikä tahansa tason suora leikkaa jonkin näistä ympyröistä ja sisältää siten nollakohdan (2 p.).

Ansa: pelkkä likiarvojen vertailu a-kohdassa antaa enintään 4 p.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

712 p

Matematiikan opettaja testasi älykelloaan juoksulenkillä. Tuloksena oli 5,85 kilometrin pituinen reitti, joka on esitetty kuvassa 7.A. Opettaja haluaa arvioida reitin sisälle jäävien kaupunginosien pinta-alaa. Hän mallintaa reittiä kolmiona, jonka sivujen pituuksien suhteet ovat 6: 7: 9 ja jonka piiri on 5,85 km.

a) Määritä mallikolmion suurin kulma asteina neljän merkitsevän numeron tarkkuudella. (6 p.)

b) Määritä mallikolmion pinta-ala hehtaareina. (6 p.)

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 7). The source material has been replaced. The figure or table has been recreated. Karttakuva on korvattu omalla piirroksella.

Source material 7.AJuoksureitti

Piirros suljetusta, likimain kolmion muotoisesta juoksureitistä ilman karttapohjaa.

Kuva: Abipreppi

Answer guidelines

a) Valittu sivujen pituuksiksi 6, 7 ja 9 tai muut samassa suhteessa olevat (1 p.). Kosinilause: $9^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos\alpha$ (3 p.), josta $\alpha\approx87{,}27^\circ$ (vastaus 1 p. + oikea tarkkuus 1 p.). b) Sivujen pituuksien summa $6+7+9=22$ vastaa $5{,}85$ km:n lenkkiä, joten yksi yksikkö vastaa $\frac{5{,}85}{22}$ km (1 p.); sivujen pituudet $1{,}5955,$ $1{,}8614$ ja $2{,}3932$ km (1 p.). Ala $\frac12\cdot6\cdot7\cdot\sin(87{,}27^\circ)\cdot\left(\frac{5{,}85}{22}\right)^2\approx1{,}48318$ km $^2$ (2 p.) $\approx148$ hehtaaria (2 p.). Pinta-alan voi laskea myös Heronin kaavalla. Yksikkömuunnos väärin: max 4 p.

Explanation

Suhdeluvut kiinnittävät kolmion muodon, joten kulma lasketaan luvuista $6$ , $7$ ja $9$ ja pinta-ala skaalataan piirin avulla.

a)
1. Valitse sivuiksi $6$ , $7$ ja $9$ (1 p.); suurin kulma on pisimmän sivun vastainen.
2. Kosinilause: $9^2=6^2+7^2-2\cdot 6\cdot 7\cos\alpha$ (3 p.), josta $\cos\alpha=\frac{36+49-81}{84}=\frac{4}{84}$ .
3. Vastaus: $\alpha\approx 87{,}27^\circ$ neljän merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

b)
4. Piiri $6+7+9=22$ yksikköä vastaa $5{,}85$ km, joten yksi yksikkö on $\frac{5{,}85}{22}$ km (2 p.).
5. Ala: $\frac12\cdot 6\cdot 7\cdot\sin\alpha\cdot\left(\frac{5{,}85}{22}\right)^2\approx 1{,}48318$ km $^2$ (2 p.).
6. Vastaus: koska $1$ km $^2=100$ ha, ala on noin $148$ hehtaaria (2 p.).

Pinta-alan voi laskea myös Heronin kaavalla. Ansa: väärä yksikkömuunnos pudottaa pisteet enintään neljään.

Adapted from a YTL task · original

812 p

Ympyränmuotoisen tikkataulun keskellä on 8 pisteen arvoinen keskiympyrä, jonka säde on 2,5 cm. Sen ympärillä on 7 pisteen arvoinen rengas, jonka leveys on 2,5 cm. Tämän renkaan ympärillä on samanlevyinen 6 pisteen rengas, sen ympärillä samanlevyinen 5 pisteen rengas ja niin edelleen uloimpaan 1 pisteen renkaaseen saakka. Tikkataulussa on siis yhteensä 8 aluetta ja koko taulun säde on 20 cm, katso kuva 8.A.

a) Osoita laskemalla, että parillisten pistemäärien alueiden yhteenlaskettu pinta-ala on $175\pi\ \text{cm}^2.$ (4 p.)

b) Katri heittää tikkaa siten, että hän varmasti osuu tauluun, mutta voi osua mihin tahansa taulun kohtaan samalla todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä Katrin tulos on parillinen, kun hän heittää kolme tikkaa ja niiden pisteet lasketaan yhteen? (8 p.)

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 8). The values have been changed, and the figure or table has been recreated. Taulussa on 8 aluetta, ja renkaiden leveys on 2,5 cm.

Source material 8.ATikkataulu

Ympyränmuotoinen tikkataulu, jossa on kahdeksan samankeskistä aluetta. Keskellä on 8 pisteen keskiympyrä, ja sen ympärillä ovat ulospäin mentäessä renkaat 7, 6, 5, 4, 3, 2 ja 1 pistettä. Keskiympyrän säde ja jokaisen renkaan leveys on 2,5 cm, ja koko taulun säde on 20 cm.

Kuva: Abipreppi

Answer guidelines

a) Renkaan ala saadaan vähentämällä kahden ympyrän alat (1 p.). Parillisten alueiden alat neliösenttimetreinä: $8\!:\ \pi\cdot2{,}5^2=6{,}25\pi,$ $6\!:\ \pi(7{,}5^2-5^2)=31{,}25\pi,$ $4\!:\ \pi(12{,}5^2-10^2)=56{,}25\pi,$ $2\!:\ \pi(17{,}5^2-15^2)=81{,}25\pi$ (kaksi oikein 1 p., kaikki oikein 2 p.); yhteensä $175\pi$ (1 p.). Välivaiheet vain likiarvoina: max 2 p. b) Tulos on parillinen, jos tikat antavat kolme parillista tai kaksi paritonta ja yhden parillisen (1 p.). Koko taulun ala on $400\pi$ ja parittomien alueiden ala $225\pi$ (1 p.); osuudet $\frac{7}{16}$ ja $\frac{9}{16}$ (1 p.). $P(\text{kolme parillista})=\left(\frac{7}{16}\right)^3=\frac{343}{4096}$ (1 p.). $P(\text{yksi parillinen, kaksi paritonta})=\binom31\left(\frac{9}{16}\right)^2\cdot\frac{7}{16}=\frac{1701}{4096}$ (3 p.). Yhteensä $\frac{2044}{4096}=\frac{511}{1024}\approx0{,}499$ (1 p.).

Explanation

Renkaan ala on kahden ympyrän alojen erotus, ja b-kohdassa tarvitaan binomijakauman kaltainen kolmen heiton tarkastelu.

a)
1. Säteet ovat $2{,}5;\ 5;\ 7{,}5;\ldots;\ 20$ cm, ja renkaan ala saadaan erotuksena (1 p.).
2. Parillisten alueiden alat: $8$ : $\pi\cdot 2{,}5^2=6{,}25\pi$ , $6$ : $\pi(7{,}5^2-5^2)=31{,}25\pi$ , $4$ : $\pi(12{,}5^2-10^2)=56{,}25\pi$ ja $2$ : $\pi(17{,}5^2-15^2)=81{,}25\pi$ (2 p.).
3. Yhteensä $6{,}25\pi+31{,}25\pi+56{,}25\pi+81{,}25\pi=175\pi$ cm $^2$ (1 p.).

b)
4. Summa on parillinen, jos kaikki kolme tikkaa antavat parillisen tai täsmälleen yksi antaa parillisen (1 p.).
5. Koko ala on $\pi\cdot 20^2=400\pi$ , joten osuudet ovat $\frac{175\pi}{400\pi}=\frac{7}{16}$ ja $\frac{9}{16}$ (2 p.).
6. $P=\left(\frac{7}{16}\right)^3+\binom31\left(\frac{9}{16}\right)^2\cdot\frac{7}{16}=\frac{343}{4096}+\frac{1701}{4096}$ (1+3 p.).

Vastaus: $\frac{2044}{4096}=\frac{511}{1024}\approx 0{,}499$ (1 p.).

Ansa: kerroin $\binom31=3$ unohtuu helposti.

Adapted from a YTL task · original

912 p

Funktio $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ on jaksollinen, jos on olemassa sellainen $L>0,$ että sen kuvaaja pysyy samana, kun sitä siirretään $L$ yksikköä vaakasuorassa suunnassa. Tämä ominaisuus voidaan esittää myös ehdolla $f(x+L)=f(x)$ kaikilla $x\in\mathbf{R}.$ Pienin tällainen luku $L$ on funktion perusjakso. Piirrä jokaisessa osatehtävässä funktion kuvaaja omaan koordinaatistoonsa. Anna vastauksena funktion perusjakso sekä kuvaaja, johon on merkitty perusjakson mittainen osa $x$ -akselia.

a) $f(x)=\sin(2\pi x)$ (4 p.)

b) $g(x)=|\sin(\pi x)+\sin(2\pi x)|$ (4 p.)

c) Anna esimerkki jaksollisesta funktiosta $h:\mathbf{R}\to\mathbf{R},$ jonka perusjakso on 4. (4 p.)

Answer guidelines

a) Piirretty kuvaaja, josta on vähintään kahden perusjakson mittainen osa näkyvillä, ja merkitty perusjakson mittainen osa $x$ -akselia (1+1 p.); perusjakso on 1 (2 p.). b) Vastaavasti (1+1 p.); perusjakso on 2 (2 p.). Kuvaaja ilman itseisarvoja: max 3 p. c) Toimiva esimerkki, esimerkiksi $h(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right),$ sekä kuvaaja ja perusjakson merkintä (4 p.).

Explanation

Perusjakso on pienin siirto, joka jättää kuvaajan ennalleen; se perustellaan lausekkeesta ja merkitään kuvaajaan.

a)
1. Muodon $\sin(bx)$ jakso on $\frac{2\pi}{b}$ , joten $b=2\pi$ antaa jaksoksi $1$ . Piirrä kuvaaja vähintään kahden jakson matkalta ja merkitse yhden jakson mittainen osa $x$ -akselia (1+1 p.); perusjakso on $1$ (2 p.).

b)
2. Termien jaksot ovat $2$ ja $1$ , joten $2$ on jakso. Se on myös pienin, sillä $s(x+1)=-\sin(\pi x)+\sin(2\pi x)$ ei ole $\pm s(x)$ , joten itseisarvo ei puolita jaksoa. Piirrä kuvaaja ja merkitse jakso (1+1 p.); perusjakso on $2$ (2 p.).

c)
3. Esimerkiksi $h(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ , jonka jakso on $\frac{2\pi}{\pi/2}=4$ . Piirrä kuvaaja ja merkitse perusjakso (4 p.).

Ansa: b-kohdan kuvaaja ilman itseisarvon vaikutusta pudottaa pisteet enintään kolmeen.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

1112 p

Tarkastellaan tasojoukkoa $P_0,$ jonka alareuna on $x$ -akselin jana $[-1,1]$ ja yläreuna paraabelin kaari $y=1-x^2,$ $-1\le x\le1.$ Arvoilla $a>0$ määritellään uusi joukko $P_a$ siirtämällä joukkoa $P_0$ vaakasuorassa suunnassa oikealle etäisyyden $a$ verran. Olkoon $L_a=P_0\cap P_a$ joukkojen $P_0$ ja $P_a$ leikkaus eli yhteinen osa. Kuvassa 11.A on esimerkkinä tapaus $a=1{,}2.$

a) Määritä joukon $L_{1{,}2}$ pinta-ala. (4 p.)

b) Olkoon $a$ sellainen parametrin arvo, että joukon $L_a$ pinta-ala on kolmasosa joukon $P_0$ pinta-alasta. Tämä arvo $a$ on erään kolmannen asteen yhtälön ratkaisu. Määritä tämä yhtälö ja ratkaise siitä parametrin $a$ likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (8 p.)

Based on a matriculation exam task (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 11). The values have been changed, and the figure or table has been recreated. Esimerkkitapaus on a = 1,2, ja b-kohdan ehto on kolmasosa P₀:n alasta.

Source material 11.AJoukot P₀, Pₐ ja Lₐ, kun a = 1,2

Koordinaatisto, esimerkkinä tapaus a = 1,2. Joukko P0 on paraabelin y = 1 − x² ja x-akselin väliin jäävä alue välillä −1…1 (sininen). Joukko Pa on sama alue siirrettynä 1,2 yksikköä oikealle, välille 0,2…2,2 (oranssi). Niiden yhteinen osa La (vihreä) on välillä 0,2…1; sen yläreunan muodostavat siirretyn paraabelin nouseva osa ja alkuperäisen paraabelin laskeva osa, jotka kohtaavat La:n huipussa.

Kuva: Abipreppi

Answer guidelines

a) Kun joukko siirtyy oikealle etäisyyden $a$ verran, tarkastellaan paraabelia $y=1-(x-a)^2$ (1 p.). Paraabelien leikkauspiste saadaan yhtälöstä $1-(x-1{,}2)^2=1-x^2,$ josta $x=0{,}6$ (1 p.). Leikkausjoukko on symmetrinen, joten pinta-ala on $2\int_{0{,}6}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{104}{375}\approx0{,}28$ (2 p.). (Integraalit monikulmiotyökalulla: kuva siirretyn paraabelin yhtälöineen 1 p., tiheä monikulmiokonstruktio leikkauspisteineen 1 p., perustelu tarkkuudelle 1 p., vastaus $0{,}28$ 1 p.)

b) Integroimalla $P_0=\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=\frac43$ (1 p.). Muodostettu paraabelin yhtälö (1 p.). Paraabelien leikkauspiste yhtälöstä $1-x^2=1-(x-a)^2$ : $x=\frac a2$ (1 p.). Ehdon toteuttamiseksi halutaan $a,$ jolla $\int_{a/2}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac29$ eli puolet kysytystä alasta $\frac13\cdot\frac43=\frac49$ (2 p.). Integraalin arvo on $\frac{a^3-12a+16}{24}$ (1 p.). Saadaan yhtälö $\frac{a^3-12a+16}{24}=\frac29,$ joka sievenee muotoon $3a^3-36a+32=0$ (1 p.). Vaaditun ehdon toteuttavan ratkaisun ( $0<a<2$ ) likiarvo on $a\approx0{,}963$ (1 p.). Alkupiste: laskettu jokin paraabelin $1-x^2$ rajaama pinta-ala välillä, jonka toinen päätepiste on $1$ tai $-1,$ tai kuva, johon on merkitty oikea pinta-ala (1 p.).

Explanation

Leikkausjoukko on symmetrinen siirron puolivälin $x=\frac a2$ suhteen, joten sen ala saadaan kaksinkertaisena integraalina.

a)
1. Siirretty paraabeli on $y=1-(x-a)^2$ (1 p.).
2. Leikkauskohta arvolla $a=1{,}2$ : $1-(x-1{,}2)^2=1-x^2$ antaa $2{,}4x=1{,}44$ eli $x=0{,}6$ (1 p.).
3. Symmetrian nojalla ala on $2\int_{0{,}6}^{1}(1-x^2)\,dx=2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{0{,}6}^{1}=2\left(\frac23-0{,}528\right)=\frac{104}{375}\approx 0{,}28$ (2 p.).

b)
4. Joukon $P_0$ ala on $\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac43$ , joten kysytty ala on $\frac13\cdot\frac43=\frac49$ (1 p.).
5. Yleisesti siirretty paraabeli on $y=1-(x-a)^2$ (1 p.) ja leikkauskohta $x=\frac a2$ (1 p.), ja puolet $L_a$ :n alasta on $\int_{a/2}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{a^3-12a+16}{24}$ (1+2 p.).
6. Ehto $\frac{a^3-12a+16}{24}=\frac29$ sievenee muotoon $3a^3-36a+32=0$ (1 p.).
7. Ratkaise yhtälö ohjelmistolla ja valitse juuri väliltä $0<a<2$ (muut juuret ovat noin $-3{,}84$ ja $2{,}88$ ): $a\approx 0{,}963$ (1 p.).

Ansa: kolmasosa viittaa joukon $P_0$ alaan $\frac43$ , ei lukuun $1$ , ja symmetrisen puolikkaan integraalin on oltava puolet kysytystä alasta.

Adapted from a YTL task · original

1312 p

Olkoon $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},$ $f(x)=\begin{cases}3x-5,&\text{kun }x\le1,\\ x^2+x-2,&\text{kun }x>1.\end{cases}$

Jalmari on osoittanut erotusosamäärän toispuoleisten raja-arvojen avulla, että molemmat raja-arvot kohdassa $x=1$ ovat $3,$ ja päätellyt tästä, että $f$ on derivoituva kohdassa $x=1$ ja $f'(1)=3.$

a) Osoita, että $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x=1.$ Miksi tämä on ristiriidassa Jalmarin tuloksen kanssa? Minkä virheen Jalmari tekee todistuksessaan? (6 p.)

b) Osoita, että $f$ on monotoninen joukossa $\mathbf{R}.$ (6 p.)

Answer guidelines

a) Koska $\lim_{x\to1+}(x^2+x-2)=0$ ja $\lim_{x\to1-}(3x-5)=-2,$ funktio ei ole jatkuva kohdassa $x=1$ (2 p.). Tämä on ristiriidassa Jalmarin tuloksen kanssa, sillä funktio ei voi olla derivoituva, jos se ei ole jatkuva (2 p.). Jalmarin virhe on, että hän on käyttänyt oikeanpuoleisessa raja-arvossa virheellistä arvoa $f(1)=0$ (2 p.). b) Kun $x<1,$ $y=f(x)$ on nouseva suora ja $f$ aidosti kasvava (1 p.). Kun $x>1,$ derivaatta on $2x+1>0,$ eli funktio on kasvava (2 p.). Lisäksi $f(1)=-2$ ja $\lim_{x\to1+}f(x)=0$ (2 p.), joten $f(x)<f(y)$ kaikilla $x\le1$ ja $y>1$ (1 p.).

Explanation

Derivoituvuus edellyttää jatkuvuutta, joten toispuoleisten raja-arvojen laskeminen paljastaa Jalmarin virheen.

a)
1. $\lim_{x\to1-}(3x-5)=-2$ ja $\lim_{x\to1+}(x^2+x-2)=0$ ; koska nämä eroavat, $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x=1$ (2 p.).
2. Ristiriita: epäjatkuva funktio ei voi olla derivoituva kyseisessä kohdassa (2 p.).
3. Virhe: oikeanpuoleisessa erotusosamäärässä Jalmari on käyttänyt arvoa $f(1)=0$ , vaikka määritelmän mukaan $f(1)=3\cdot 1-5=-2$ (2 p.).

b)
4. Kun $x<1$ , kuvaaja on nouseva suora, kulmakerroin $3>0$ (1 p.).
5. Kun $x>1$ , derivaatta on $2x+1>0$ , joten funktio kasvaa myös siellä (2 p.).
6. Palojen yli: $f(x)\le -2$ kaikilla $x\le 1$ ja $f(y)>0$ kaikilla $y>1$ , joten $f$ on kasvava koko $\mathbf{R}$ :ssä (3 p.).

Ansa: epäjatkuva funktio voi silti olla monotoninen — hyppy ylöspäin ei riko kasvavuutta.

Source: Ylioppilastutkintolautakunta · original

Mathematics, advanced syllabus, autumn 2024 – matriculation exam tasks and solutions

What to take away from this paper

Tasks and solutions

2.13 p

2.23 p

2.33 p

2.43 p

3.14 p

3.28 p

412 p

512 p

612 p

712 p

812 p

912 p

1112 p

1312 p

Omitted tasks

Read more