Määritä luvun p'(1) tarkka arvo, kun p(x)=-2x^5+x^4-2. Valitse oikea vaihtoehto.

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Määritä derivaatta f'(x), kun f(x)=xe^{x}. Valitse oikea vaihtoehto.

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Määritä luvun g'(-1) tarkka arvo, kun g(x)=\ln(2x+3). Valitse oikea vaihtoehto.

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Määritä derivaatta h'(x), kun h(x)=\sin x+\cos(3x). Valitse oikea vaihtoehto.

Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

Matematik, lång lärokurs hösten 2024: uppgifter och lösningar

2.13 p

Bestäm det exakta värdet för talet $p'(1)$ då $p(x)=-2x^5+x^4-2.$ Välj korrekt alternativ.

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.1). De felaktiga svarsalternativen kommer inte från det ursprungliga provet. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Beskrivning av goda svar

Rätt svar 3 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Förklaring

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(ax^n)=anx^{n-1}$ , ja vakiotermin derivaatta on nolla.

1. Derivoi: $p'(x)=-10x^4+4x^3$ .
2. Sijoita $x=1$ : $p'(1)=-10+4=-6$ .

Vastaus: $-6$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. Luku $-3$ on $p(1)=-2+1-2$ eli funktion arvo, ei derivaatan. Luku $-8$ saadaan, jos vakiotermi $-2$ jätetään derivaattaan. Luku $6$ syntyy merkkivirheestä.

Ansa: derivoi ensin ja sijoita vasta sitten. Vakiotermi häviää derivoinnissa, joten se ei vaikuta tulokseen.

Bearbetad från SEN:s uppgift (materialet borttaget) · original

2.23 p

Bestäm derivatan $f'(x)$ då $f(x)=xe^{x}.$ Välj korrekt alternativ.

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.2). De felaktiga svarsalternativen kommer inte från det ursprungliga provet. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Beskrivning av goda svar

Rätt svar 3 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Förklaring

Kyseessä on tulo, joka derivoidaan säännöllä $D(uv)=u'v+uv'$ , missä $u(x)=x$ ja $v(x)=e^{x}$ .

1. Tekijöiden derivaatat ovat $u'(x)=1$ ja $v'(x)=e^{x}$ .
2. Tulon derivointisääntö: $f'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}$ .
3. Ota $e^{x}$ yhteiseksi tekijäksi: $f'(x)=(x+1)e^{x}$ .

Vastaus: $(x+1)e^x$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. $e^x$ saadaan, jos tekijöiden derivaatat kerrotaan keskenään, $1\cdot e^x$ . $xe^x$ syntyy, jos $x$ käsitellään vakiona. $(x-1)e^x$ syntyy merkkivirheestä tulosäännössä.

Ansa: tulon derivaatta ei ole tekijöiden derivaattojen tulo. Eksponenttifunktion $e^{x}$ derivaatta on funktio itse.

Bearbetad från SEN:s uppgift (materialet borttaget) · original

2.33 p

Bestäm det exakta värdet för talet $g'(-1)$ då $g(x)=\ln(2x+3).$ Välj korrekt alternativ.

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.3). De felaktiga svarsalternativen kommer inte från det ursprungliga provet. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Beskrivning av goda svar

Rätt svar 3 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Förklaring

Logaritmi derivoidaan yhdistetyn funktion säännöllä $D\ln u=\frac{u'}{u}$ .

1. Sisäfunktio on $u(x)=2x+3$ , ja sen derivaatta on $u'(x)=2$ .
2. Derivaatta on $g'(x)=\frac{2}{2x+3}$ .
3. Sijoita $x=-1$ : $g'(-1)=\frac{2}{2\cdot(-1)+3}=2$ .

Vastaus: $2$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. Arvo $1$ saadaan, jos sisäfunktion derivaatta $2$ unohtuu. Arvo $0$ on $g(-1)=\ln 1$ eli funktion arvo, ei derivaatan. Arvo $\frac25$ saadaan, jos derivaatta lasketaan kohdassa $x=1$ .

Huomaa, että kohdassa $x=-1$ on $2x+3=1>0$ , joten logaritmi ja sen derivaatta ovat siinä määriteltyjä.

Bearbetad från SEN:s uppgift (materialet borttaget) · original

2.43 p

Bestäm derivatan $h'(x)$ då $h(x)=\sin x+\cos(3x).$ Välj korrekt alternativ.

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 2.4). De felaktiga svarsalternativen kommer inte från det ursprungliga provet. Kysymys ja oikea vastaus ovat alkuperäisestä kokeesta; muut vaihtoehdot on laadittu tähän sovellukseen.

Beskrivning av goda svar

Rätt svar 3 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Förklaring

Summa derivoidaan termeittäin, ja jälkimmäisessä termissä tarvitaan yhdistetyn funktion sääntöä.

1. Ensimmäinen termi: $D\sin x=\cos x$ .
2. Toinen termi: $D\cos(3x)=-\sin(3x)\cdot D(3x)=-3\sin(3x)$ .
3. Yhdistä termit: $h'(x)=\cos x-3\sin(3x)$ .

Vastaus: $\cos(x) - 3\sin(3x)$ (3 p.).

Väärät vaihtoehdot syntyvät tavallisista virheistä. $\cos(x)-\sin(3x)$ saadaan, jos sisäfunktion derivaatta $3$ unohtuu. $\cos(x)+3\sin(3x)$ syntyy, kun kosinin derivaatan miinusmerkki katoaa, ja $-\cos(x)-3\sin(3x)$ , kun sinin derivaattaan tulee väärä miinusmerkki.

Muistisääntö: sinin derivaatta on $\cos$ , kosinin derivaatta on $-\sin$ .

Bearbetad från SEN:s uppgift (materialet borttaget) · original

3.14 p

Beräkna det exakta värdet på variabeln $x$ i ekvationen $4\cdot 8^x=\sqrt2.$

Beskrivning av goda svar

Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $2^2\cdot2^{3x}=2^{1/2}$ (1 p.), joka yksinkertaistuu muotoon $2^{2+3x}=2^{1/2}$ (1 p.); eksponenttien vertailu $3x+2=\frac12$ (1 p.), josta $x=-\frac12$ (1 p.). Vaihtoehtoisesti logaritmilla: $x=\log_8\frac{\sqrt2}{4}=-\frac32\log_82=-\frac12.$ Pelkkä vastaus: 0 p.

Förklaring

Kaikki luvut kirjoitetaan kannassa $2$ , jolloin eksponentteja voi verrata suoraan: $4=2^2$ , $8=2^3$ ja $\sqrt2=2^{1/2}$ .

1. Kirjoita yhtälö muodossa $2^2\cdot 2^{3x}=2^{1/2}$ (1 p.).
2. Potenssien tulosääntö: $2^{2+3x}=2^{1/2}$ (1 p.).
3. Eksponenttifunktio saa jokaisen arvonsa vain kerran, joten eksponentit ovat yhtä suuret: $3x+2=\frac12$ (1 p.).
4. Ratkaise: $3x=-\frac32$ , siis $x=-\frac12$ (1 p.).

Vastaus: $x=-\frac12$ eli $-0{,}5$ .

Vaihtoehtoisesti logaritmilla: $x=\log_8\frac{\sqrt2}{4}=-\frac32\log_8 2=-\frac12$ .

Ansa: pelkkä vastaus ilman välivaiheita antaa 0 p., ja kysytty on tarkka arvo, ei likiarvo.

Källa: Studentexamensnämnden · original

3.28 p

Beräkna de exakta värdena på variabeln $y$ i ekvationen $\sin\left(6y-\frac{\pi}{2}\right)=\frac12,$ då $y\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$

Beskrivning av goda svar

Koska $\sin x=\frac12,$ kun $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ tai $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ (1+1 p.). Sijoitetaan $x=6y-\frac{\pi}{2}$ (1 p.). Ensimmäisestä saadaan $y=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ ja toisesta $y=\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ (1 p.). Löydetty oikeat $k$ :n arvot ( $k\in\{0,1\}$ ensimmäisessä ja $k=0$ toisessa) (2 p.). Ratkaisut ovat $y=\frac{\pi}{9},$ $y=\frac{2\pi}{9}$ ja $y=\frac{4\pi}{9}$ (2 p.). Suplementtikulma puuttuu: max 5 p. Voi laskea myös asteilla.

Förklaring

Palauta yhtälö perusmuotoon $\sin x=\frac12$ ja sijoita vasta lopuksi $x=6y-\frac{\pi}{2}$ .

1. $\sin x=\frac12$ , kun $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ tai $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ , missä $k\in\mathbf{Z}$ (1+1 p.).
2. Sijoita $x=6y-\frac{\pi}{2}$ (1 p.).
3. Ensimmäisestä: $6y=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2\pi k=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ , siis $y=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ ; toisesta vastaavasti $y=\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ (1 p.).
4. Rajaa välille $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ : ensimmäisestä kelpaavat $k=0$ ja $k=1$ , toisesta vain $k=0$ (2 p.).

Vastaus: $y=\frac{\pi}{9}$ , $y=\frac{2\pi}{9}$ ja $y=\frac{4\pi}{9}$ (2 p.).

Ansa: suplementtikulmaa $\frac{5\pi}{6}$ vastaava haara unohtuu helposti, jolloin pisteitä saa enintään 5.

Källa: Studentexamensnämnden · original

412 p

Värdet $f(x)$ av funktionen $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ är heltalsdelen av talet $x.$ Exempelvis är $f(1)=1,$ $f\left(\frac{11}{5}\right)=2$ och $f(\pi)=3.$ Beräkna $\int_0^{10}f(x)\,dx.$

Beskrivning av goda svar

Integraali mittaa funktion ja $x$ -akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa tai integraali jaettu järkeviin osaväleihin (2 p.). Kyseessä on porrasfunktio, jonka arvo välillä $[k,k+1)$ on $k$ (2 p.). Jokaisen välin pituus on $1$ (2 p.); funktion arvo puoliavoimen välin päätepisteissä ei vaikuta integraaliin (1 p.). Pinta-ala koostuu suorakulmioista, joiden ala on $1\cdot k=k,$ kun $k\in\{0,1,\ldots,9\}$ (2 p.). Yhteenlaskettu ala on $0+1+2+\cdots+9$ (2 p.) $=45$ (1 p.). Funktio siirtynyt yhdellä portaalla (vastaus 55): max 9 p. Laskettu $\int_0^{10}x\,dx=50$ : $+0$ p.

Förklaring

Kokonaislukuosa on porrasfunktio, joten integraali lasketaan suorakulmioiden pinta-aloina.

1. Tulkitse integraali kuvaajan ja $x$ -akselin väliseksi pinta-alaksi tai jaa integrointiväli osaväleihin (2 p.).
2. Tunnista porrasfunktio: välillä $[k,k+1)$ arvo on vakio $k$ (2 p.).
3. Jokaisen osavälin pituus on $1$ , eikä arvo yksittäisissä päätepisteissä vaikuta integraaliin (2 p.).
4. Kunkin suorakulmion ala on $1\cdot k=k$ , kun $k=0,1,\ldots,9$ (2 p.).
5. Summaa: $0+1+2+\cdots+9=\frac{9\cdot 10}{2}$ (2 p.).

Vastaus: $\int_0^{10}f(x)\,dx=45$ (2 p.).

Ansa: portaat on helppo siirtää yhdellä, jolloin vastaukseksi tulee $55$ ja pisteitä saa enintään 9. Myöskään $\int_0^{10}x\,dx=50$ ei tuota pisteitä, sillä $f$ ei ole suora.

Källa: Studentexamensnämnden · original

512 p

a) Visa att $\displaystyle\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{1}{2^k}$ för alla positiva heltal $k.$ (4 p.)

b) Visa att $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac12$ för alla heltal $n\ge2.$ (8 p.)

Beskrivning av goda svar

a) Järkevä avaus (ristiinkertominen tai laventaminen), esimerkiksi $(k-1)2^k<k2^k+1$ (1 p.); sievennys muotoon, josta totuusarvon voi perustella, esimerkiksi $-2^k<1$ (1 p.); totuuden perustelu (2 p.). Vaihtoehtoisesti $\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k}=\frac{1}{2^k}$ (4 p.). b) Vasemman puolen arviointi geometrisella summalla (2 p.); alkutermin huomioiminen, summan alku $\frac14+\frac18+\cdots$ (1 p.); oikea suhdeluku $q=0{,}5$ (1 p.); sijoitus geometrisen summan kaavaan $\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac12}=\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ (2 p.); perusteltu, miksi summa on alle $\frac12$ (2 p.). Kokeilut: $+0$ p.

Förklaring

Idea: arvioidaan jokainen termi ylöspäin geometrisen jonon termillä $\frac{1}{2^k}$ .

a)
1. Kasvata osoittajaa: $\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k+1}$ (1 p.).
2. Pienennä nimittäjää: $\frac{k}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k}=\frac{1}{2^k}$ (1 p.). Molemmat askeleet kasvattavat murtolukua, koska osoittajat ja nimittäjät ovat positiivisia (2 p.). Ristiin kertomalla sama näkyy muodossa $(k-1)2^k<k2^k+1$ eli $-2^k<1$ .

b)
3. Arvioi summa a-kohdan avulla: $\sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k2^k+1}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^k}$ (2 p.).
4. Oikea puoli on geometrinen summa, jonka ensimmäinen termi on $\frac14$ (1 p.) ja suhdeluku $q=\frac12$ (1 p.).
5. Kaavalla $\frac14\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{n-1}}{1-\frac12}=\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ (2 p.).
6. Koska $\frac{1}{2^{n-1}}>0$ , tämä on aidosti pienempi kuin $\frac12$ (2 p.).

Ansa: numeeriset kokeilut eivät ole todistus eivätkä tuota pisteitä.

Källa: Studentexamensnämnden · original

612 p

Mallinnetaan veteen pudonneen kiven aiheuttamia aaltoja funktiolla $f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R},$ missä $\displaystyle f(x,y)=\frac{\sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}},$ kun $(x,y)\ne(0,0),$ ja $f(0,0)=1.$

a) Etsi kaksi muuta pistettä, joissa funktion arvo on sama kuin pisteessä $(3,4).$ (6 p.)

b) Osoita, että jokaiselta $xy$ -tason suoralta löytyy funktion nollakohta. (6 p.)

Beskrivning av goda svar

a) $f(3,4)=\frac{\sin\sqrt{25}}{\sqrt{25}}=\frac{\sin5}{5}$ (1 p.); löydetty pisteet $(a,b)$ ja $(c,d),$ joilla $f(a,b)=f(c,d)=f(3,4)$ (1+1 p.); osoitettu laskemalla (2+1 p.). Laskettu ja vertailtu vain likiarvoja: max 4 p. b) Kun $\sqrt{x^2+y^2}=k\pi$ ja $k$ on positiivinen kokonaisluku, on $f(x,y)=0$ (2 p.); funktio saa arvon nolla kaikilla origokeskisillä ympyröillä, joiden säde on $\pi k$ (2 p.); mikä tahansa tason suora leikkaa jotakin tällaista ympyrää, joten suoralta löytyy nollakohta (2 p.).

Förklaring

Funktion arvo riippuu vain etäisyydestä origosta, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , joten arvo on sama koko origokeskisellä ympyrällä.

a)
1. $f(3,4)=\frac{\sin\sqrt{25}}{\sqrt{25}}=\frac{\sin 5}{5}$ (1 p.).
2. Valitse muut pisteet samalta $5$ -säteiseltä ympyrältä, esimerkiksi $(5,0)$ ja $(-3,-4)$ (1+1 p.).
3. Osoita laskemalla: $\sqrt{5^2+0^2}=5$ ja $\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5$ , joten molemmissa $f=\frac{\sin 5}{5}$ (3 p.).

b)
4. $f(x,y)=0$ täsmälleen silloin, kun $\sin r=0$ ja $r\neq 0$ , eli $r=k\pi$ jollakin positiivisella kokonaisluvulla $k$ (2 p.).
5. Nollakohdat muodostavat siis origokeskiset ympyrät, joiden säteet ovat $\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ldots$ (2 p.).
6. Säteet kasvavat rajatta, joten mikä tahansa tason suora leikkaa jonkin näistä ympyröistä ja sisältää siten nollakohdan (2 p.).

Ansa: pelkkä likiarvojen vertailu a-kohdassa antaa enintään 4 p.

Källa: Studentexamensnämnden · original

712 p

En matematiklärare testade sin smartklocka på en löprunda. Resultatet blev en 5,85 kilometer lång rutt, som presenteras i figur 7.A. Läraren gör en modell av rutten med en triangel: förhållandet mellan sidornas längder är 6: 7: 9 och triangelns omkrets är 5,85 km.

a) Bestäm modelltriangelns största vinkel i grader med fyra gällande siffrors noggrannhet. (6 p.)

b) Bestäm modelltriangelns area uttryckt i hektar. (6 p.)

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 7). Materialet har bytts ut. Bilden eller tabellen har gjorts om. Kartbilden har ersatts med en egen teckning.

Material 7.ALöprutten

Teckning av en sluten, ungefär triangelformad löprutt utan kartunderlag.

Bild: Abipreppi

Beskrivning av goda svar

a) Valittu sivujen pituuksiksi 6, 7 ja 9 tai muut samassa suhteessa olevat (1 p.). Kosinilause: $9^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos\alpha$ (3 p.), josta $\alpha\approx87{,}27^\circ$ (vastaus 1 p. + oikea tarkkuus 1 p.). b) Sivujen pituuksien summa $6+7+9=22$ vastaa $5{,}85$ km:n lenkkiä, joten yksi yksikkö vastaa $\frac{5{,}85}{22}$ km (1 p.); sivujen pituudet $1{,}5955,$ $1{,}8614$ ja $2{,}3932$ km (1 p.). Ala $\frac12\cdot6\cdot7\cdot\sin(87{,}27^\circ)\cdot\left(\frac{5{,}85}{22}\right)^2\approx1{,}48318$ km $^2$ (2 p.) $\approx148$ hehtaaria (2 p.). Pinta-alan voi laskea myös Heronin kaavalla. Yksikkömuunnos väärin: max 4 p.

Förklaring

Suhdeluvut kiinnittävät kolmion muodon, joten kulma lasketaan luvuista $6$ , $7$ ja $9$ ja pinta-ala skaalataan piirin avulla.

a)
1. Valitse sivuiksi $6$ , $7$ ja $9$ (1 p.); suurin kulma on pisimmän sivun vastainen.
2. Kosinilause: $9^2=6^2+7^2-2\cdot 6\cdot 7\cos\alpha$ (3 p.), josta $\cos\alpha=\frac{36+49-81}{84}=\frac{4}{84}$ .
3. Vastaus: $\alpha\approx 87{,}27^\circ$ neljän merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

b)
4. Piiri $6+7+9=22$ yksikköä vastaa $5{,}85$ km, joten yksi yksikkö on $\frac{5{,}85}{22}$ km (2 p.).
5. Ala: $\frac12\cdot 6\cdot 7\cdot\sin\alpha\cdot\left(\frac{5{,}85}{22}\right)^2\approx 1{,}48318$ km $^2$ (2 p.).
6. Vastaus: koska $1$ km $^2=100$ ha, ala on noin $148$ hehtaaria (2 p.).

Pinta-alan voi laskea myös Heronin kaavalla. Ansa: väärä yksikkömuunnos pudottaa pisteet enintään neljään.

Bearbetad från SEN:s uppgift · original

812 p

Ympyränmuotoisen tikkataulun keskellä on 8 pisteen arvoinen keskiympyrä, jonka säde on 2,5 cm. Sen ympärillä on 7 pisteen arvoinen rengas, jonka leveys on 2,5 cm. Tämän renkaan ympärillä on samanlevyinen 6 pisteen rengas, sen ympärillä samanlevyinen 5 pisteen rengas ja niin edelleen uloimpaan 1 pisteen renkaaseen saakka. Tikkataulussa on siis yhteensä 8 aluetta ja koko taulun säde on 20 cm, katso kuva 8.A.

a) Osoita laskemalla, että parillisten pistemäärien alueiden yhteenlaskettu pinta-ala on $175\pi\ \text{cm}^2.$ (4 p.)

b) Katri heittää tikkaa siten, että hän varmasti osuu tauluun, mutta voi osua mihin tahansa taulun kohtaan samalla todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä Katrin tulos on parillinen, kun hän heittää kolme tikkaa ja niiden pisteet lasketaan yhteen? (8 p.)

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 8). Värdena har ändrats, och bilden eller tabellen har gjorts om. Tavlan har 8 områden och ringarnas bredd är 2,5 cm.

Material 8.ADarttavla

En cirkelformad darttavla med åtta koncentriska områden. I mitten finns en mittcirkel värd 8 poäng, och utanför den ringarna 7, 6, 5, 4, 3, 2 och 1 poäng. Mittcirkelns radie och varje rings bredd är 2,5 cm, och hela tavlans radie är 20 cm.

Bild: Abipreppi

Beskrivning av goda svar

a) Renkaan ala saadaan vähentämällä kahden ympyrän alat (1 p.). Parillisten alueiden alat neliösenttimetreinä: $8\!:\ \pi\cdot2{,}5^2=6{,}25\pi,$ $6\!:\ \pi(7{,}5^2-5^2)=31{,}25\pi,$ $4\!:\ \pi(12{,}5^2-10^2)=56{,}25\pi,$ $2\!:\ \pi(17{,}5^2-15^2)=81{,}25\pi$ (kaksi oikein 1 p., kaikki oikein 2 p.); yhteensä $175\pi$ (1 p.). Välivaiheet vain likiarvoina: max 2 p. b) Tulos on parillinen, jos tikat antavat kolme parillista tai kaksi paritonta ja yhden parillisen (1 p.). Koko taulun ala on $400\pi$ ja parittomien alueiden ala $225\pi$ (1 p.); osuudet $\frac{7}{16}$ ja $\frac{9}{16}$ (1 p.). $P(\text{kolme parillista})=\left(\frac{7}{16}\right)^3=\frac{343}{4096}$ (1 p.). $P(\text{yksi parillinen, kaksi paritonta})=\binom31\left(\frac{9}{16}\right)^2\cdot\frac{7}{16}=\frac{1701}{4096}$ (3 p.). Yhteensä $\frac{2044}{4096}=\frac{511}{1024}\approx0{,}499$ (1 p.).

Förklaring

Renkaan ala on kahden ympyrän alojen erotus, ja b-kohdassa tarvitaan binomijakauman kaltainen kolmen heiton tarkastelu.

a)
1. Säteet ovat $2{,}5;\ 5;\ 7{,}5;\ldots;\ 20$ cm, ja renkaan ala saadaan erotuksena (1 p.).
2. Parillisten alueiden alat: $8$ : $\pi\cdot 2{,}5^2=6{,}25\pi$ , $6$ : $\pi(7{,}5^2-5^2)=31{,}25\pi$ , $4$ : $\pi(12{,}5^2-10^2)=56{,}25\pi$ ja $2$ : $\pi(17{,}5^2-15^2)=81{,}25\pi$ (2 p.).
3. Yhteensä $6{,}25\pi+31{,}25\pi+56{,}25\pi+81{,}25\pi=175\pi$ cm $^2$ (1 p.).

b)
4. Summa on parillinen, jos kaikki kolme tikkaa antavat parillisen tai täsmälleen yksi antaa parillisen (1 p.).
5. Koko ala on $\pi\cdot 20^2=400\pi$ , joten osuudet ovat $\frac{175\pi}{400\pi}=\frac{7}{16}$ ja $\frac{9}{16}$ (2 p.).
6. $P=\left(\frac{7}{16}\right)^3+\binom31\left(\frac{9}{16}\right)^2\cdot\frac{7}{16}=\frac{343}{4096}+\frac{1701}{4096}$ (1+3 p.).

Vastaus: $\frac{2044}{4096}=\frac{511}{1024}\approx 0{,}499$ (1 p.).

Ansa: kerroin $\binom31=3$ unohtuu helposti.

Bearbetad från SEN:s uppgift · original

912 p

Funktio $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ on jaksollinen, jos on olemassa sellainen $L>0,$ että sen kuvaaja pysyy samana, kun sitä siirretään $L$ yksikköä vaakasuorassa suunnassa. Tämä ominaisuus voidaan esittää myös ehdolla $f(x+L)=f(x)$ kaikilla $x\in\mathbf{R}.$ Pienin tällainen luku $L$ on funktion perusjakso. Piirrä jokaisessa osatehtävässä funktion kuvaaja omaan koordinaatistoonsa. Anna vastauksena funktion perusjakso sekä kuvaaja, johon on merkitty perusjakson mittainen osa $x$ -akselia.

a) $f(x)=\sin(2\pi x)$ (4 p.)

b) $g(x)=|\sin(\pi x)+\sin(2\pi x)|$ (4 p.)

c) Anna esimerkki jaksollisesta funktiosta $h:\mathbf{R}\to\mathbf{R},$ jonka perusjakso on 4. (4 p.)

Beskrivning av goda svar

a) Piirretty kuvaaja, josta on vähintään kahden perusjakson mittainen osa näkyvillä, ja merkitty perusjakson mittainen osa $x$ -akselia (1+1 p.); perusjakso on 1 (2 p.). b) Vastaavasti (1+1 p.); perusjakso on 2 (2 p.). Kuvaaja ilman itseisarvoja: max 3 p. c) Toimiva esimerkki, esimerkiksi $h(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right),$ sekä kuvaaja ja perusjakson merkintä (4 p.).

Förklaring

Perusjakso on pienin siirto, joka jättää kuvaajan ennalleen; se perustellaan lausekkeesta ja merkitään kuvaajaan.

a)
1. Muodon $\sin(bx)$ jakso on $\frac{2\pi}{b}$ , joten $b=2\pi$ antaa jaksoksi $1$ . Piirrä kuvaaja vähintään kahden jakson matkalta ja merkitse yhden jakson mittainen osa $x$ -akselia (1+1 p.); perusjakso on $1$ (2 p.).

b)
2. Termien jaksot ovat $2$ ja $1$ , joten $2$ on jakso. Se on myös pienin, sillä $s(x+1)=-\sin(\pi x)+\sin(2\pi x)$ ei ole $\pm s(x)$ , joten itseisarvo ei puolita jaksoa. Piirrä kuvaaja ja merkitse jakso (1+1 p.); perusjakso on $2$ (2 p.).

c)
3. Esimerkiksi $h(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ , jonka jakso on $\frac{2\pi}{\pi/2}=4$ . Piirrä kuvaaja ja merkitse perusjakso (4 p.).

Ansa: b-kohdan kuvaaja ilman itseisarvon vaikutusta pudottaa pisteet enintään kolmeen.

Källa: Studentexamensnämnden · original

1112 p

Tarkastellaan tasojoukkoa $P_0,$ jonka alareuna on $x$ -akselin jana $[-1,1]$ ja yläreuna paraabelin kaari $y=1-x^2,$ $-1\le x\le1.$ Arvoilla $a>0$ määritellään uusi joukko $P_a$ siirtämällä joukkoa $P_0$ vaakasuorassa suunnassa oikealle etäisyyden $a$ verran. Olkoon $L_a=P_0\cap P_a$ joukkojen $P_0$ ja $P_a$ leikkaus eli yhteinen osa. Kuvassa 11.A on esimerkkinä tapaus $a=1{,}2.$

a) Määritä joukon $L_{1{,}2}$ pinta-ala. (4 p.)

b) Olkoon $a$ sellainen parametrin arvo, että joukon $L_a$ pinta-ala on kolmasosa joukon $P_0$ pinta-alasta. Tämä arvo $a$ on erään kolmannen asteen yhtälön ratkaisu. Määritä tämä yhtälö ja ratkaise siitä parametrin $a$ likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (8 p.)

Bygger på en studentexamensuppgift (syksy 2024, matematiikka pitkä, tehtävä 11). Värdena har ändrats, och bilden eller tabellen har gjorts om. Exemplet är a = 1,2 och villkoret i b är en tredjedel av P₀:s area.

Material 11.AMängderna P₀, Pₐ och Lₐ då a = 1,2

Koordinatsystem, exemplet a = 1,2. Mängden P0 är området mellan parabeln y = 1 − x² och x-axeln på intervallet −1…1 (blått). Mängden Pa är samma område förskjutet 1,2 enheter åt höger, till intervallet 0,2…2,2 (orange). Deras gemensamma del La (grönt) ligger på intervallet 0,2…1; dess övre rand består av den förskjutna parabelns stigande del och den ursprungliga parabelns fallande del, som möts i La:s topp.

Bild: Abipreppi

Beskrivning av goda svar

a) Kun joukko siirtyy oikealle etäisyyden $a$ verran, tarkastellaan paraabelia $y=1-(x-a)^2$ (1 p.). Paraabelien leikkauspiste saadaan yhtälöstä $1-(x-1{,}2)^2=1-x^2,$ josta $x=0{,}6$ (1 p.). Leikkausjoukko on symmetrinen, joten pinta-ala on $2\int_{0{,}6}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{104}{375}\approx0{,}28$ (2 p.). (Integraalit monikulmiotyökalulla: kuva siirretyn paraabelin yhtälöineen 1 p., tiheä monikulmiokonstruktio leikkauspisteineen 1 p., perustelu tarkkuudelle 1 p., vastaus $0{,}28$ 1 p.)

b) Integroimalla $P_0=\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=\frac43$ (1 p.). Muodostettu paraabelin yhtälö (1 p.). Paraabelien leikkauspiste yhtälöstä $1-x^2=1-(x-a)^2$ : $x=\frac a2$ (1 p.). Ehdon toteuttamiseksi halutaan $a,$ jolla $\int_{a/2}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac29$ eli puolet kysytystä alasta $\frac13\cdot\frac43=\frac49$ (2 p.). Integraalin arvo on $\frac{a^3-12a+16}{24}$ (1 p.). Saadaan yhtälö $\frac{a^3-12a+16}{24}=\frac29,$ joka sievenee muotoon $3a^3-36a+32=0$ (1 p.). Vaaditun ehdon toteuttavan ratkaisun ( $0<a<2$ ) likiarvo on $a\approx0{,}963$ (1 p.). Alkupiste: laskettu jokin paraabelin $1-x^2$ rajaama pinta-ala välillä, jonka toinen päätepiste on $1$ tai $-1,$ tai kuva, johon on merkitty oikea pinta-ala (1 p.).

Förklaring

Leikkausjoukko on symmetrinen siirron puolivälin $x=\frac a2$ suhteen, joten sen ala saadaan kaksinkertaisena integraalina.

a)
1. Siirretty paraabeli on $y=1-(x-a)^2$ (1 p.).
2. Leikkauskohta arvolla $a=1{,}2$ : $1-(x-1{,}2)^2=1-x^2$ antaa $2{,}4x=1{,}44$ eli $x=0{,}6$ (1 p.).
3. Symmetrian nojalla ala on $2\int_{0{,}6}^{1}(1-x^2)\,dx=2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{0{,}6}^{1}=2\left(\frac23-0{,}528\right)=\frac{104}{375}\approx 0{,}28$ (2 p.).

b)
4. Joukon $P_0$ ala on $\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac43$ , joten kysytty ala on $\frac13\cdot\frac43=\frac49$ (1 p.).
5. Yleisesti siirretty paraabeli on $y=1-(x-a)^2$ (1 p.) ja leikkauskohta $x=\frac a2$ (1 p.), ja puolet $L_a$ :n alasta on $\int_{a/2}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{a^3-12a+16}{24}$ (1+2 p.).
6. Ehto $\frac{a^3-12a+16}{24}=\frac29$ sievenee muotoon $3a^3-36a+32=0$ (1 p.).
7. Ratkaise yhtälö ohjelmistolla ja valitse juuri väliltä $0<a<2$ (muut juuret ovat noin $-3{,}84$ ja $2{,}88$ ): $a\approx 0{,}963$ (1 p.).

Ansa: kolmasosa viittaa joukon $P_0$ alaan $\frac43$ , ei lukuun $1$ , ja symmetrisen puolikkaan integraalin on oltava puolet kysytystä alasta.

Bearbetad från SEN:s uppgift · original

1312 p

Olkoon $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},$ $f(x)=\begin{cases}3x-5,&\text{kun }x\le1,\\ x^2+x-2,&\text{kun }x>1.\end{cases}$

Jalmari on osoittanut erotusosamäärän toispuoleisten raja-arvojen avulla, että molemmat raja-arvot kohdassa $x=1$ ovat $3,$ ja päätellyt tästä, että $f$ on derivoituva kohdassa $x=1$ ja $f'(1)=3.$

a) Osoita, että $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x=1.$ Miksi tämä on ristiriidassa Jalmarin tuloksen kanssa? Minkä virheen Jalmari tekee todistuksessaan? (6 p.)

b) Osoita, että $f$ on monotoninen joukossa $\mathbf{R}.$ (6 p.)

Beskrivning av goda svar

a) Koska $\lim_{x\to1+}(x^2+x-2)=0$ ja $\lim_{x\to1-}(3x-5)=-2,$ funktio ei ole jatkuva kohdassa $x=1$ (2 p.). Tämä on ristiriidassa Jalmarin tuloksen kanssa, sillä funktio ei voi olla derivoituva, jos se ei ole jatkuva (2 p.). Jalmarin virhe on, että hän on käyttänyt oikeanpuoleisessa raja-arvossa virheellistä arvoa $f(1)=0$ (2 p.). b) Kun $x<1,$ $y=f(x)$ on nouseva suora ja $f$ aidosti kasvava (1 p.). Kun $x>1,$ derivaatta on $2x+1>0,$ eli funktio on kasvava (2 p.). Lisäksi $f(1)=-2$ ja $\lim_{x\to1+}f(x)=0$ (2 p.), joten $f(x)<f(y)$ kaikilla $x\le1$ ja $y>1$ (1 p.).

Förklaring

Derivoituvuus edellyttää jatkuvuutta, joten toispuoleisten raja-arvojen laskeminen paljastaa Jalmarin virheen.

a)
1. $\lim_{x\to1-}(3x-5)=-2$ ja $\lim_{x\to1+}(x^2+x-2)=0$ ; koska nämä eroavat, $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x=1$ (2 p.).
2. Ristiriita: epäjatkuva funktio ei voi olla derivoituva kyseisessä kohdassa (2 p.).
3. Virhe: oikeanpuoleisessa erotusosamäärässä Jalmari on käyttänyt arvoa $f(1)=0$ , vaikka määritelmän mukaan $f(1)=3\cdot 1-5=-2$ (2 p.).

b)
4. Kun $x<1$ , kuvaaja on nouseva suora, kulmakerroin $3>0$ (1 p.).
5. Kun $x>1$ , derivaatta on $2x+1>0$ , joten funktio kasvaa myös siellä (2 p.).
6. Palojen yli: $f(x)\le -2$ kaikilla $x\le 1$ ja $f(y)>0$ kaikilla $y>1$ , joten $f$ on kasvava koko $\mathbf{R}$ :ssä (3 p.).

Ansa: epäjatkuva funktio voi silti olla monotoninen — hyppy ylöspäin ei riko kasvavuutta.

Källa: Studentexamensnämnden · original

Matematik, lång lärokurs, hösten 2024 – studentprovets uppgifter och lösningar

Vad det här provet lär dig

Uppgifter och lösningar

2.13 p

2.23 p

2.33 p

2.43 p

3.14 p

3.28 p

412 p

512 p

612 p

712 p

812 p

912 p

1112 p

1312 p

Uppgifter som saknas

Läs mer