Pitkä matematiikka, syksy 2024 – yo-kokeen tehtävät ja ratkaisut

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(ax^n)=anx^{n-1}$, ja vakiotermin derivaatta on nolla.

1. Derivoi: $p'(x)=-2\cdot 5x^4+4x^3-0=-10x^4+4x^3$.
2. Sijoita $x=1$: $p'(1)=-10\cdot 1^4+4\cdot 1^3=-10+4$.
3. Vastaus: $p'(1)=-6$ (3 p.).

Hyväksytty vastaus on tarkka arvo $-6$, ei likiarvo eikä lauseke, joka on jätetty sieventämättä.

Tarkistuksena voi derivoida kaksi kertaa erikseen: viidennen asteen termi antaa $-10x^4$ ja neljännen asteen termi $4x^3$.

Ansa: älä sijoita ensin ja derivoi vasta sitten — luku $p(1)=-3$ on aivan eri asia. Muista myös, että vakiotermi $-2$ häviää derivoinnissa, joten se ei vaikuta tulokseen lainkaan.

Kyseessä on tulo, joka derivoidaan säännöllä $D(uv)=u'v+uv'$; tässä $u(x)=x$ ja $v(x)=e^{x}$.

1. Tunnista tekijät ja niiden derivaatat: $u'(x)=1$ ja $v'(x)=e^{x}$.
2. Tulon derivointisääntö: $f'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}$.
3. Ota $e^{x}$ yhteiseksi tekijäksi (3 p.).

Vastaus: $f'(x)=(x+1)e^{x}$, yhtäpitävästi $e^{x}+xe^{x}$.

Tarkistuksena: sijoittamalla $x=0$ saadaan $f'(0)=1$, mikä vastaa käyrän $y=xe^{x}$ kulmakerrointa origossa.

Ansa: derivaatta ei ole tekijöiden derivaattojen tulo, joten $1\cdot e^{x}=e^{x}$ olisi väärä vastaus. Muista myös, että eksponenttifunktion $e^{x}$ derivaatta on funktio itse, toisin kuin potenssifunktiolla.

Logaritmi derivoidaan yhdistetyn funktion säännöllä $D\ln u=\frac{u'}{u}$.

1. Sisäfunktio on $u(x)=2x+3$, jonka derivaatta on $u'(x)=2$.
2. Derivaatta on siis $g'(x)=\frac{2}{2x+3}$.
3. Sijoita $x=-1$: $g'(-1)=\frac{2}{2\cdot(-1)+3}=\frac{2}{1}$.

Vastaus: $g'(-1)=2$ (3 p.).

Huomaa, että $2x+3=1>0$ kohdassa $x=-1$, joten logaritmi on siinä määritelty ja derivaatta olemassa. Nimittäjän arvo $1$ tekee sijoituksesta erityisen helpon.

Ansa: sisäfunktion derivaatta unohtuu helposti, jolloin saadaan virheellinen $\frac{1}{2x+3}$ ja arvo $1$. Hyväksytty vastaus on tarkka arvo $2$, ei likiarvo.

Summa derivoidaan termeittäin, ja jälkimmäisessä termissä tarvitaan yhdistetyn funktion sääntöä.

1. Ensimmäinen termi: $D\sin x=\cos x$.
2. Toinen termi: $D\cos(3x)=-\sin(3x)\cdot D(3x)=-3\sin(3x)$.
3. Yhdistä termit summaksi.

Vastaus: $h'(x)=\cos x-3\sin(3x)$ (3 p.).

Ansa: kaksi tavallista virhettä ovat sisäfunktion derivaatan $3$ unohtaminen (virheellinen $\cos x-\sin(3x)$) sekä miinusmerkin katoaminen kosinia derivoitaessa. Muista, että kosinin derivaatta on $-\sin$, mutta sinin derivaatta on $+\cos$; merkit menevät päinvastoin vain toiseen suuntaan.

Kaikki luvut kirjoitetaan kannassa $2$, jolloin eksponentteja voi verrata suoraan: $4=2^2$, $8=2^3$ ja $\sqrt2=2^{1/2}$.

1. Kirjoita yhtälö muodossa $2^2\cdot 2^{3x}=2^{1/2}$ (1 p.).
2. Potenssien tulosääntö: $2^{2+3x}=2^{1/2}$ (1 p.).
3. Eksponenttifunktio saa jokaisen arvonsa vain kerran, joten eksponentit ovat yhtä suuret: $3x+2=\frac12$ (1 p.).
4. Ratkaise: $3x=-\frac32$, siis $x=-\frac12$ (1 p.).

Vastaus: $x=-\frac12$ eli $-0{,}5$.

Vaihtoehtoisesti logaritmilla: $x=\log_8\frac{\sqrt2}{4}=-\frac32\log_8 2=-\frac12$.

Ansa: pelkkä vastaus ilman välivaiheita antaa 0 p., ja kysytty on tarkka arvo, ei likiarvo.

Palauta yhtälö perusmuotoon $\sin x=\frac12$ ja sijoita vasta lopuksi $x=6y-\frac{\pi}{2}$.

1. $\sin x=\frac12$, kun $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ tai $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$, missä $k\in\mathbf{Z}$ (1+1 p.).
2. Sijoita $x=6y-\frac{\pi}{2}$ (1 p.).
3. Ensimmäisestä: $6y=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2\pi k=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$, siis $y=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$; toisesta vastaavasti $y=\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$ (1 p.).
4. Rajaa välille $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$: ensimmäisestä kelpaavat $k=0$ ja $k=1$, toisesta vain $k=0$ (2 p.).

Vastaus: $y=\frac{\pi}{9}$, $y=\frac{2\pi}{9}$ ja $y=\frac{4\pi}{9}$ (2 p.).

Ansa: suplementtikulmaa $\frac{5\pi}{6}$ vastaava haara unohtuu helposti, jolloin pisteitä saa enintään 5.

Kokonaislukuosa on porrasfunktio, joten integraali lasketaan suorakulmioiden pinta-aloina.

1. Tulkitse integraali kuvaajan ja $x$-akselin väliseksi pinta-alaksi tai jaa integrointiväli osaväleihin (2 p.).
2. Tunnista porrasfunktio: välillä $[k,k+1)$ arvo on vakio $k$ (2 p.).
3. Jokaisen osavälin pituus on $1$, eikä arvo yksittäisissä päätepisteissä vaikuta integraaliin (2 p.).
4. Kunkin suorakulmion ala on $1\cdot k=k$, kun $k=0,1,\ldots,9$ (2 p.).
5. Summaa: $0+1+2+\cdots+9=\frac{9\cdot 10}{2}$ (2 p.).

Vastaus: $\int_0^{10}f(x)\,dx=45$ (2 p.).

Ansa: portaat on helppo siirtää yhdellä, jolloin vastaukseksi tulee $55$ ja pisteitä saa enintään 9. Myöskään $\int_0^{10}x\,dx=50$ ei tuota pisteitä, sillä $f$ ei ole suora.

Idea: arvioidaan jokainen termi ylöspäin geometrisen jonon termillä $\frac{1}{2^k}$.

a)
1. Kasvata osoittajaa: $\frac{k-1}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k+1}$ (1 p.).
2. Pienennä nimittäjää: $\frac{k}{k2^k+1}<\frac{k}{k2^k}=\frac{1}{2^k}$ (1 p.). Molemmat askeleet kasvattavat murtolukua, koska osoittajat ja nimittäjät ovat positiivisia (2 p.). Ristiin kertomalla sama näkyy muodossa $(k-1)2^k<k2^k+1$ eli $-2^k<1$.

b)
3. Arvioi summa a-kohdan avulla: $\sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k2^k+1}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^k}$ (2 p.).
4. Oikea puoli on geometrinen summa, jonka ensimmäinen termi on $\frac14$ (1 p.) ja suhdeluku $q=\frac12$ (1 p.).
5. Kaavalla $\frac14\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{n-1}}{1-\frac12}=\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ (2 p.).
6. Koska $\frac{1}{2^{n-1}}>0$, tämä on aidosti pienempi kuin $\frac12$ (2 p.).

Ansa: numeeriset kokeilut eivät ole todistus eivätkä tuota pisteitä.

Funktion arvo riippuu vain etäisyydestä origosta, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, joten arvo on sama koko origokeskisellä ympyrällä.

a)
1. $f(3,4)=\frac{\sin\sqrt{25}}{\sqrt{25}}=\frac{\sin 5}{5}$ (1 p.).
2. Valitse muut pisteet samalta $5$-säteiseltä ympyrältä, esimerkiksi $(5,0)$ ja $(-3,-4)$ (1+1 p.).
3. Osoita laskemalla: $\sqrt{5^2+0^2}=5$ ja $\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5$, joten molemmissa $f=\frac{\sin 5}{5}$ (3 p.).

b)
4. $f(x,y)=0$ täsmälleen silloin, kun $\sin r=0$ ja $r\neq 0$, eli $r=k\pi$ jollakin positiivisella kokonaisluvulla $k$ (2 p.).
5. Nollakohdat muodostavat siis origokeskiset ympyrät, joiden säteet ovat $\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ldots$ (2 p.).
6. Säteet kasvavat rajatta, joten mikä tahansa tason suora leikkaa jonkin näistä ympyröistä ja sisältää siten nollakohdan (2 p.).

Ansa: pelkkä likiarvojen vertailu a-kohdassa antaa enintään 4 p.

Suhdeluvut kiinnittävät kolmion muodon, joten kulma lasketaan luvuista $6$, $7$ ja $9$ ja pinta-ala skaalataan piirin avulla.

a)
1. Valitse sivuiksi $6$, $7$ ja $9$ (1 p.); suurin kulma on pisimmän sivun vastainen.
2. Kosinilause: $9^2=6^2+7^2-2\cdot 6\cdot 7\cos\alpha$ (3 p.), josta $\cos\alpha=\frac{36+49-81}{84}=\frac{4}{84}$.
3. Vastaus: $\alpha\approx 87{,}27^\circ$ neljän merkitsevän numeron tarkkuudella (2 p.).

b)
4. Piiri $6+7+9=22$ yksikköä vastaa $5{,}85$ km, joten yksi yksikkö on $\frac{5{,}85}{22}$ km (2 p.).
5. Ala: $\frac12\cdot 6\cdot 7\cdot\sin\alpha\cdot\left(\frac{5{,}85}{22}\right)^2\approx 1{,}48318$ km$^2$ (2 p.).
6. Vastaus: koska $1$ km$^2=100$ ha, ala on noin $148$ hehtaaria (2 p.).

Pinta-alan voi laskea myös Heronin kaavalla. Ansa: väärä yksikkömuunnos pudottaa pisteet enintään neljään.

Renkaan ala on kahden ympyrän alojen erotus, ja b-kohdassa tarvitaan binomijakauman kaltainen kolmen heiton tarkastelu.

a)
1. Säteet ovat $2,4,\ldots,20$ cm, ja renkaan ala saadaan erotuksena (1 p.).
2. Parillisten alueiden alat: $\pi\cdot 2^2=4\pi$, $\pi(6^2-4^2)=20\pi$, $\pi(10^2-8^2)=36\pi$, $\pi(14^2-12^2)=52\pi$ ja $\pi(18^2-16^2)=68\pi$ (2 p.).
3. Yhteensä $4\pi+20\pi+36\pi+52\pi+68\pi=180\pi$ cm$^2$ (1 p.).

b)
4. Summa on parillinen, jos kaikki kolme tikkaa antavat parillisen tai täsmälleen yksi antaa parillisen (1 p.).
5. Koko ala on $\pi\cdot 20^2=400\pi$, joten osuudet ovat $\frac{180\pi}{400\pi}=\frac{9}{20}$ ja $\frac{11}{20}$ (2 p.).
6. $P=\left(\frac{9}{20}\right)^3+\binom31\left(\frac{11}{20}\right)^2\cdot\frac{9}{20}=\frac{729}{8000}+\frac{3267}{8000}$ (1+3 p.).

Vastaus: $\frac{3996}{8000}=\frac{999}{2000}=0{,}4995$ (1 p.).

Ansa: kerroin $\binom31=3$ unohtuu helposti.

Perusjakso on pienin siirto, joka jättää kuvaajan ennalleen; se perustellaan lausekkeesta ja merkitään kuvaajaan.

a)
1. Muodon $\sin(bx)$ jakso on $\frac{2\pi}{b}$, joten $b=2\pi$ antaa jaksoksi $1$. Piirrä kuvaaja vähintään kahden jakson matkalta ja merkitse yhden jakson mittainen osa $x$-akselia (1+1 p.); perusjakso on $1$ (2 p.).

b)
2. Termien jaksot ovat $2$ ja $1$, joten $2$ on jakso. Se on myös pienin, sillä $s(x+1)=-\sin(\pi x)+\sin(2\pi x)$ ei ole $\pm s(x)$, joten itseisarvo ei puolita jaksoa. Piirrä kuvaaja ja merkitse jakso (1+1 p.); perusjakso on $2$ (2 p.).

c)
3. Esimerkiksi $h(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$, jonka jakso on $\frac{2\pi}{\pi/2}=4$. Piirrä kuvaaja ja merkitse perusjakso (4 p.).

Ansa: b-kohdan kuvaaja ilman itseisarvon vaikutusta pudottaa pisteet enintään kolmeen.

Leikkausjoukko on symmetrinen siirron puolivälin $x=\frac a2$ suhteen, joten sen ala saadaan kaksinkertaisena integraalina.

a)
1. Siirretty paraabeli on $y=1-(x-a)^2$ (1 p.).
2. Leikkauskohta arvolla $a=0{,}75$: $1-(x-0{,}75)^2=1-x^2$ antaa $x=0{,}375$ (1 p.).
3. Symmetrian nojalla ala on $2\int_{0{,}375}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{475}{768}\approx 0{,}62$ (2 p.).

b)
4. Yleisesti leikkauskohta on $x=\frac a2$ ja ala $A(L_a)=2\int_{a/2}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac43-a+\frac{a^3}{12}$.
5. Joukon $P_0$ ala on $\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac43$, joten ehto on $\frac43-a+\frac{a^3}{12}=\frac23$, mistä sieventämällä saadaan kolmannen asteen yhtälö $a^3-12a+8=0$ (4 p.).
6. Ratkaise yhtälö ohjelmistolla ja valitse juuri väliltä $0<a<2$; pyöristä kolmeen merkitsevään numeroon (4 p.).

Ansa: puolikas viittaa joukon $P_0$ alaan $\frac43$, ei lukuun $1$.

Derivoituvuus edellyttää jatkuvuutta, joten toispuoleisten raja-arvojen laskeminen paljastaa Jalmarin virheen.

a)
1. $\lim_{x\to1-}(3x-5)=-2$ ja $\lim_{x\to1+}(x^2+x-2)=0$; koska nämä eroavat, $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x=1$ (2 p.).
2. Ristiriita: epäjatkuva funktio ei voi olla derivoituva kyseisessä kohdassa (2 p.).
3. Virhe: oikeanpuoleisessa erotusosamäärässä Jalmari on käyttänyt arvoa $f(1)=0$, vaikka määritelmän mukaan $f(1)=3\cdot 1-5=-2$ (2 p.).

b)
4. Kun $x<1$, kuvaaja on nouseva suora, kulmakerroin $3>0$ (1 p.).
5. Kun $x>1$, derivaatta on $2x+1>0$, joten funktio kasvaa myös siellä (2 p.).
6. Palojen yli: $f(x)\le -2$ kaikilla $x\le 1$ ja $f(y)>0$ kaikilla $y>1$, joten $f$ on kasvava koko $\mathbf{R}$:ssä (3 p.).

Ansa: epäjatkuva funktio voi silti olla monotoninen — hyppy ylöspäin ei riko kasvavuutta.