Matematik, lång lärokurs, våren 2023 – studentprovets uppgifter och lösningar

Suurin poikkeama löytyy derivaatan nollakohdista, koska välin päissä poikkeama on nolla.

1. Derivoi: $f'(x)=\frac{1}{1000}(3x^2-30x+50)$ (2 p.).
2. Ratkaise $f'(x)=0$: $x=5\pm\frac{5}{\sqrt3}$ eli $x\approx 2{,}11$ ja $x\approx 7{,}89$; molemmat ovat välillä $]0,10[$ (2 p.).
3. Laske arvot: $f(2{,}11)\approx 0{,}048$ ja $f(7{,}89)\approx -0{,}048$ (1+1 p.).
4. Perustele kulkukaaviolla tai kuvalla, että ääriarvot ovat juuri näissä kohdissa, ja rajoitu välille $]0,10[$ (2 p. + 1 p.).
5. Vertaa poikkeamia: itseisarvoltaan molemmat ovat yhtä suuria.

Vastaus: poikkeama on suurin kohdissa $x\approx 2{,}11$ m ja $x\approx 7{,}89$ m, ja suurin poikkeama on noin $0{,}048$ m (3 p.).

Ansa: negatiivinen poikkeama on yhtä suuri poikkeama toiseen suuntaan; älä hylkää sitä, äläkä vetoa symmetriaan laskematta molempia.

Suora, jonka etäisyys pisteestä on annettu, on kyseisen pisteen ympäri piirretyn ympyrän tangentti; haetaan siis ympyröiden $A$-keskinen ($r=2$) ja $B$-keskinen ($r=3$) yhteiset tangentit.

1. Huomaa heti, että $y$-akseli $x=0$ toteuttaa ehdot: $A$:n etäisyys on 2 ja $B$:n 3 (1 p.).
2. Muut tangentit ovat kohtisuorassa säteitä vastaan; säteet ja tangentti muodostavat yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot (2 p.).
3. Olkoon tangentin ja $x$-akselin leikkauspiste etäisyydellä $z$ pisteestä $A$ (vasemmalla). Verrannosta $\frac{3}{5+z}=\frac{2}{z}$ saadaan $z=10$, joten leikkauspiste on $(-12,0)$ (4 p.).
4. Kulmakerroin: pisteen $(-12,0)$ etäisyys $A$:sta on 10 ja tangenttijanan pituus $\sqrt{10^2-2^2}=\sqrt{96}$, joten $k=\pm\frac{2}{\sqrt{96}}=\pm\frac{1}{\sqrt{24}}$ (3 p.).
5. Vastaus: $x=0$ sekä $y=\pm\frac{1}{\sqrt{24}}(x+12)$ (2 p.).

Vaihtoehto: etäisyyskaavalla $\frac{|-2k+b|}{\sqrt{k^2+1}}=2$ ja $\frac{|3k+b|}{\sqrt{k^2+1}}=3$. Ansa: pelkkä likiarvo $k\approx0{,}204$ menettää viimeisen rivin pisteet, ja pystysuora suora unohtuu helposti.

Kaksi tuntematonta vaatii kaksi riippumatonta yhtälöä, jotka saadaan rivisummista.

1. Alin vaakarivi: $4+x+y+1=34$ eli $x+y=29$ (3 p.).
2. Kolmas pystyrivi: $2+11+\frac{x-1}{2}+y=34$ eli $\frac{x-1}{2}+y=21$ (3 p.).
3. Ratkaise yhtälöpari: vähennä yhtälöt, jolloin $x-\frac{x-1}{2}=8$, josta $x=15$ ja $y=14$ (3 p.).
4. Tarkista loput rivit: $9+\frac{12}{2}+\frac{14}{2}+12=34$ ja $3+10+6+15=34$ (1+1 p.).

Vastaus: $x=15$ ja $y=14$.

Vaihtoehtoisesti voi testata kaikki neljä riviä (2 p. per testaus). Ansa: jos kirjoitat yhtälöryhmän oikein mutta annat vastauksen mainitsematta ratkaisemista, menetät pisteen.

Nokkakartio on pyörähdysparaboloidi, jonka tilavuus lasketaan integroimalla poikkileikkausympyröiden alat korkeuden suhteen.

1. Aseta paraabeli koordinaatistoon: nollakohdat $x=\pm1{,}65$ (puolet halkaisijasta) ja huippu $(0;4{,}5)$ (2 p.).
2. Muoto $y=a(x-1{,}65)(x+1{,}65)$ (2 p.).
3. Huipusta $4{,}5=-a\cdot1{,}65^2$, joten $a=-\frac{4{,}5}{1{,}65^2}$ (2 p.).
4. Ratkaise $x^2$ muuttujan $y$ avulla: $x^2=1{,}65^2-\frac{1{,}65^2}{4{,}5}y$ (2 p.).
5. Tilavuus $V=\pi\int_0^{4{,}5}x^2\,dy=\pi\int_0^{4{,}5}\left(1{,}65^2-\frac{1{,}65^2}{4{,}5}y\right)dy$ (2 p.).
6. Laske: $V\approx19{,}24$.

Vastaus: noin $19$ kuutiometriä (2 p.).

Tarkistus: paraboloidin tilavuus on $\frac12\pi r^2h$. Ansa: kartion kaava $\frac13\pi r^2h$ antaa väärän tuloksen ja enintään 2 p.

Vektorin kärkipisteen koordinaatit ovat sen komponentit, joten käyrän yhtälö saadaan eliminoimalla parametri $t$.

a) Summa on $\overline u+\overline v=(\sin(2t)+1)\overline i+(\cos(4t)+2)\overline j$. Sijoita: $t=0$ antaa $\overline i+3\overline j$; $t=\frac{\pi}{4}$ antaa $2\overline i+\overline j$; $t=\frac{3\pi}{4}$ antaa $\overline j$ (1+1+1+1 p.).

b) Merkitse $x=\sin(2t)+1$ ja $y=\cos(4t)+2$ (2 p.). Kaavalla $\cos(4t)=1-2\sin^2(2t)$ saadaan $y=3-2\sin^2(2t)=3-2(x-1)^2$ (4 p.). Koska $-1\le\sin(2t)\le1$, on $x\in[0,2]$, ja välillä $[0,\pi]$ kaikki nämä arvot saavutetaan (2 p.).

Vastaus: paraabelin kaari $y=3-2(x-1)^2$, kun $0\le x\le2$.

Ansa: laskin astemoodissa antaa a-kohdassa vääriä arvoja, ja rajoitus $x\in[0,2]$ on perusteltava erikseen.

Induktiotodistuksessa on kolme osaa: alkuaskel, selkeästi kirjoitettu induktio-oletus ja -väite sekä askel, jossa oletusta todella käytetään.

a) Alkuaskel $k=2$: $8\ge 4+4$ pätee (1 p.). Oletus: $k^3\ge k^2+4$ jollakin $k\ge2$; väite: $(k+1)^3\ge(k+1)^2+4$ (2 p.). Askel: $(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1\ge k^2+4+3k^2+3k+1=(k+1)^2+4+3k^2+k\ge(k+1)^2+4$ (3 p.).

b) Kun $k<0$, on $k^3<0$ mutta $k^2+4>0$, joten epäyhtälö ei voi päteä (2 p.). Yksittäinen esimerkki ei riitä.

c) Olkoon $f(x)=x^3-x^2-4$, jolloin $f'(x)=3x^2-2x=x(3x-2)\ge0$, kun $x\ge2$. Koska $f(2)=0$ ja $f$ on kasvava, on $f(x)\ge0$ eli väite pätee (4 p.).

Ansa: jos todistat induktioväitteen suoraan käyttämättä oletusta, saat a-kohdasta enintään 4 p.

Kokonaistodennäköisyys lasketaan ehdollistamalla ensimmäisen heiton suuremmalla silmäluvulla $k$.

1. Kahden nopan heitossa on $36$ alkeistapausta (1 p.).
2. Suurempi silmäluku on $k$ täsmälleen $2k-1$ tapauksessa: 6|11, 5|9, 4|7, 3|5, 2|3, 1|1 (2 p.). Perustelu: pareja, joissa maksimi on $k$, ovat $(k,j)$ ja $(j,k)$ kun $j<k$, sekä $(k,k)$ (2 p.).
3. Kun valitun nopan tulos on $k$, toinen heitto on pienempi todennäköisyydellä $\frac{k-1}{6}$ (2 p.).
4. Summaa: $\frac{11}{36}\cdot\frac56+\frac{9}{36}\cdot\frac46+\frac{7}{36}\cdot\frac36+\frac{5}{36}\cdot\frac26+\frac{3}{36}\cdot\frac16=\frac{125}{216}$ (2 p.).

Vastaus: $\frac{125}{216}\approx0{,}58$.

Ansa: jos oletat, että alussa heitetään vain yhtä noppaa, jakauma on tasainen ja tehtävästä saa enintään 3 p.

Ehdot toteutuvat, kun polynomin kuvaaja käy tason $y=-1$ alapuolella kahdesti mutta tason $y=1$ alapuolella vain kerran; tähän tarvitaan vähintään neljännen asteen polynomi (1 p.).

Hyvä lähtökohta on parillinen W-muotoinen polynomi, jonka kaksi minimiä ovat alle $-1$:n ja paikallinen maksimi välillä $]-1,1[$. Tutki yhtälöitä $P(x)=1$ ja $P(x)=-1$ algebrallisesti tai kulkukaaviolla (1 p.).

Täydet pisteet vaativat laskut: näytä, että $P(x)=1$ on täsmälleen kaksi erisuurta ratkaisua (5 p.), esimerkiksi ratkaisemalla tekijöihin jaettu yhtälö ja perustelemalla, ettei muita ole. Näytä sitten, että $P(x)=-1$ on ainakin neljä erisuurta ratkaisua (5 p.: 2 p. ensimmäisestä, 1 p. kustakin seuraavasta).

Ansa: kaksi eri polynomia eri ehdoille antaa 0 p., ja pelkkä kuvaaja tai ratkaisukäskyn likiarvot antavat vain 1–2 p.; arvot on perusteltava.