Matematik, lång lärokurs, hösten 2023 – studentprovets uppgifter och lösningar

Ensimmäisen asteen yhtälö ratkaistaan siirtämällä vakiot toiselle puolelle ja jakamalla tuntemattoman kertoimella.

1. Vähennä 3 molemmilta puolilta: $-7x=17-3=14$ (1 p.).
2. Jaa luvulla $-7$: $x=\frac{14}{-7}$ (1 p.).
3. Vastaus: $x=-2$ (1 p.).

Tarkistus sijoittamalla: $-7\cdot(-2)+3=14+3=17$, joten ratkaisu täsmää.

Hyväksytty vastaus on $x=-2$. Ansa: jakaessa negatiivisella kertoimella merkki menee helposti väärin ($x=2$); muista myös, että pelkkä vastaus ilman välivaiheita antaa vain 1 p.

Epäyhtälö ratkaistaan kuten yhtälö, mutta negatiivisella luvulla jaettaessa epäyhtälömerkki kääntyy.

1. Vähennä 3 puolittain: $-7x<14$ (1 p.).
2. Jaa luvulla $-7$ ja käännä merkki: $x>\frac{14}{-7}$ (1 p.).
3. Vastaus: $x>-2$ (1 p.).

Tarkistus: esimerkiksi $x=0$ antaa $3<17$, joka on tosi, joten ratkaisujoukko on oikealla puolella lukua $-2$.

Hyväksytty vastaus on $x>-2$. Ansa: unohdettu merkin kääntö tuottaa $x<-2$, mistä vähennetään piste; pelkkä vastaus ilman perustelua antaa vain 1 p.

Toisen asteen yhtälö saatetaan ensin normaalimuotoon ja ratkaistaan sitten ratkaisukaavalla tai tekijöihin jakamalla.

1. Siirrä kaikki vasemmalle: $x^2+x-2=0$.
2. Ratkaisukaava: $x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}$ (perustelu 1 p.).
3. Juuret: $x=1$ tai $x=-2$ (1+1 p.).

Vaihtoehto: tekijöihin $(x-1)(x+2)=0$ ja tulon nollasääntö.

Vastaus: $x=1$ tai $x=-2$.

Ansa: yhtälöstä $x(x+1)=2$ ei voi päätellä $x=1$ tai $x+1=2$; tulon nollasääntö toimii vain, kun tulo on nolla. Tällainen "tulon 2-sääntö" antaa 0 p.

Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan nollakohtien ja paraabelin aukeamissuunnan avulla.

1. Nollakohdat: $x^2+x-2=0$ antaa $x=1$ tai $x=-2$ (tekijöihin $(x-1)(x+2)$).
2. Perustelu: kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli (kerroin $1>0$), joten lauseke on negatiivinen tai nolla nollakohtien välissä (2 p.). Saman voi näyttää kulkukaaviolla: merkit $+\,|\,-\,|\,+$.
3. Vastaus: $-2\le x\le1$ (1 p.).

Hyväksytty vastaus on $-2\le x\le1$ eli väli $[-2,1]$.

Ansa: pelkkä nollakohtien ratkaiseminen ei riitä; perustelu paraabelin muodosta tai merkkitarkastelusta on kahden pisteen arvoinen. Muista myös, että merkki $\le$ sisällyttää päätepisteet.

Suora leikkaa $y$-akselin siinä pisteessä, jossa $x=0$.

1. Sijoita $x=0$ suoran yhtälöön: $y=3\cdot0+7=7$.
2. Leikkauspiste on siis $(0,7)$ (2 p.).

Yleisesti muodossa $y=kx+b$ kirjoitetun suoran vakiotermi $b$ kertoo suoraan $y$-akselin leikkauskohdan; kulmakerroin $3$ vaikuttaa vain suoran jyrkkyyteen, ei tähän pisteeseen. Vastaavasti $x$-akselin leikkauspiste saataisiin asettamalla $y=0$, mutta sitä ei tässä kysytä.

Vastaus: $(0,7)$.

Ansa: vastaukseksi ei riitä pelkkä luku $7$, sillä kysytään pisteen koordinaatteja; myös koordinaattien järjestyksen vaihtaminen $(7,0)$ tai merkkivirhe $(0,-7)$ pudottaa pisteen.

Janan keskipiste saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvoina.

1. $x$-koordinaatti: $\frac{0+6}{2}=3$.
2. $y$-koordinaatti: $\frac{0+8}{2}=4$.

Vastaus: keskipiste on $(3,4)$ (2 p., yksi piste kummastakin oikeasta koordinaatista).

Vektoreilla ajateltuna keskipisteen paikkavektori on $\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)=\frac12(6\overline i+8\overline j)=3\overline i+4\overline j$, joka antaa saman tuloksen. Tarkistus: keskipisteen etäisyys kumpaankin päätepisteeseen on $\sqrt{3^2+4^2}=5$, eli puolet janan pituudesta $10$.

Ansa: älä laske koordinaattien erotusta (se antaisi vektorin $\overline{AB}$, ei keskipistettä) äläkä unohda jakamista kahdella.

Suorien leikkauspiste on yhtälöparin ratkaisu, sillä piste on molemmilla suorilla.

1. Ensimmäisestä yhtälöstä $y=-x$.
2. Sijoita toiseen: $2x+5(-x)=3$ eli $-3x=3$, josta $x=-1$.
3. Tällöin $y=-(-1)=1$.

Vastaus: leikkauspiste on $(-1,1)$ (2 p.).

Tarkistus: $-1+1=0$ ja $2\cdot(-1)+5\cdot1=3$, joten piste toteuttaa molemmat yhtälöt. Saman voi ratkaista myös yhteenlaskumenetelmällä kertomalla ensimmäisen yhtälön luvulla $-2$ ja laskemalla yhtälöt yhteen, jolloin $3y=3$.

Ansa: sijoitusvaiheessa merkkivirhe (esimerkiksi $y=x$) johtaa vääriin koordinaatteihin; tarkista aina sijoittamalla molempiin yhtälöihin.

Käyrän piste löytyy sijoittamalla tunnettu koordinaatti käyrän yhtälöön ja ratkaisemalla toinen.

1. Sijoita $y=3$: $x\cdot3=6$.
2. Ratkaise: $x=2$.

Vastaus: piste on $(2,3)$ (2 p.).

Käyrä $xy=6$ on hyperbeli $y=\frac6x$, ja sen jokaisessa pisteessä koordinaattien tulo on 6; tarkistus $2\cdot3=6$ täsmää. Koska $y=3$ on annettu, yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu, eli käyrällä on vain yksi tällainen piste.

Ansa: vastauksessa kysytään pisteen koordinaatteja, joten pelkkä $x=2$ ei riitä, ja koordinaatit on annettava oikeassa järjestyksessä $(x,y)=(2,3)$, ei $(3,2)$.

Ympyrän keskipisteen koordinaatit luetaan suoraan keskipistemuotoisesta yhtälöstä $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, jossa keskipiste on $(a,b)$.

1. Kirjoita $(x+1)^2=(x-(-1))^2$, joten $a=-1$.
2. Termi $(y-2)^2$ antaa $b=2$.

Vastaus: keskipiste on $(-1,2)$ (2 p., yksi piste kummastakin koordinaatista). Säde olisi $\sqrt5$, mutta sitä ei kysytä.

Tarkistus: sijoittamalla keskipiste yhtälön vasemmalle puolelle saadaan $0$, kuten pitääkin, sillä keskipiste on etäisyydellä $0$ itsestään.

Ansa: merkit kääntyvät helposti väärin. Yhtälössä $(x+1)^2$ keskipisteen $x$-koordinaatti on $-1$, ei $+1$; ajattele aina muotoa $x-(-1)$.

Huippumuotoisen paraabelin $y=a(x-x_0)^2+y_0$ huippu on $(x_0,y_0)$.

1. Yhtälössä $y=(x-3)^2+1$ on $x_0=3$ ja $y_0=1$.
2. Perustelu: $(x-3)^2\ge0$ ja se on nolla vain kun $x=3$, joten $y$ on pienimmillään $1$ täsmälleen kohdassa $x=3$.

Vastaus: huippupiste on $(3,1)$ (2 p., yksi piste kummastakin koordinaatista).

Paraabeli aukeaa ylöspäin, koska toisen asteen termin kerroin on $1>0$, joten huippu on samalla funktion minimikohta. Saman saisi derivaatasta $y'=2(x-3)=0$.

Ansa: merkkivirhe on tyypillinen. Termistä $(x-3)^2$ luetaan $x_0=3$, ei $-3$; vastaavasti vakiotermi $+1$ on huipun $y$-koordinaatti sellaisenaan.

Pienin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta, kun kulkukaavio osoittaa kohdan minimiksi.

1. Kirjoita $f(x)=x^2+16x^{-2}$ ja derivoi: $f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}$ (3 p.).
2. $f'(x)=0$ antaa $2x^4-32=0$ eli $x^4=16$ (1 p.).
3. Juuret $x=\pm2$; ehdon $x>0$ vuoksi vain $x=2$ (2 p.).
4. Kulkukaavio alueessa $x>0$: esimerkiksi $f'(1)=-30<0$ ja $f'(3)>0$, merkit $-\,|\,+$ (3 p.).
5. Kohdassa $x=2$ on siis minimi (1 p.).
6. Vastaus: pienin arvo on $f(2)=4+4=8$ (2 p.).

Vaihtoehto: $f(x)=\left(x-\frac4x\right)^2+8\ge8$, ja yhtäsuuruus kun $x=2$.

Ansa: derivoi $\frac{16}{x^2}$ potenssina $16x^{-2}$; pelkkä arvojen laskeminen laskimella ei tuota pisteitä.

Pisteen etäisyys tasosta lasketaan tason normaalimuodon avulla, joten avain on tason normaalivektori.

a) Laske komponenteittain: $\overline u+2\overline v-\overline w=(3+2+5)\overline i+(1+4+5)\overline j+(-2-4-6)\overline k=10\overline i+10\overline j-12\overline k$ (3 p.).

b)
1. Normaali $\overline n$ on kohtisuorassa sekä $\overline u$ että $\overline v$ vastaan: ristitulo tai yhtälöpari $\overline n\cdot\overline u=0$, $\overline n\cdot\overline v=0$ (2 p.).
2. Ratkaisuksi $\overline n=2\overline i+4\overline j+5\overline k$ (2 p.).
3. Origo on tasossa, joten tason yhtälö on $2x+4y+5z=0$ (2 p.).
4. Etäisyys: $d=\frac{|2\cdot6+4\cdot7+5\cdot1|}{\sqrt{4+16+25}}=\frac{45}{\sqrt{45}}$ (2 p.).

Vastaus: $d=\sqrt{45}=3\sqrt5$ (1 p.).

Ansa: tarkista, että $\overline n\cdot\overline u=6+4-10=0$ ennen kuin jatkat; virheellinen normaali kaataa loput.

Kuutiojuuri tarkoittaa kolmatta juurta: $\sqrt[3]{a}$ on se luku, jonka kuutio on $a$. Luvun $6$ kuutiojuuri on siis $\sqrt[3]{6}\approx1{,}82$, ja juuren asteluku $3$ merkitään juurimerkin vasempaan yläkulmaan.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. $6^3=216$ on luvun $6$ kuutio eli käänteinen toimitus. $3\sqrt6\approx7{,}35$ on kolme kertaa luvun $6$ neliöjuuri. $\sqrt[6]{3}\approx1{,}20$ on luvun $3$ kuudes juuri: asteluku ja juurrettava ovat vaihtaneet paikkaa.

Vastaus: $\sqrt[3]{6}$ (1 p.).

Ansa: asteluku kuuluu juurimerkin päälle ja juurrettava sen alle. Ilman astelukua merkintä tarkoittaa neliöjuurta.

Parillinen luku on kahdella jaollinen kokonaisluku, joten se voidaan kirjoittaa muodossa $2k$, missä $k$ käy läpi kaikki kokonaisluvut. Merkintä $2k,\ k\in\mathbf{Z}$ antaa täsmälleen luvut $\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots$

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Merkintä $2k,\ k\in\mathbf{N}$ jättää pois negatiiviset parilliset luvut, kuten $-2$, alkoivatpa luonnolliset luvut nollasta tai ykkösestä. Merkintä $2k+1,\ k\in\mathbf{Z}$ tarkoittaa parittomia lukuja. Merkintä $k+2,\ k\in\mathbf{Z}$ käy läpi kaikki kokonaisluvut, esimerkiksi $1=-1+2$.

Vastaus: $2k,\ k\in\mathbf{Z}$ (1 p.).

Ansa: parillisiin lukuihin kuuluvat myös nolla ja negatiiviset luvut, joten ehto $k\in\mathbf{N}$ on liian suppea.

Luvun $\frac75$ käänteisluku on $\frac57$, sillä $\frac75\cdot\frac57=1$. Sen vastaluku on $-\frac75$, sillä $\frac75+\left(-\frac75\right)=0$. Kuvaus pyytää näiden summan itseisarvoa, joten itseisarvomerkit tulevat koko summan ympärille: $\left|\frac57+\left(-\frac75\right)\right|=\frac{24}{35}$.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Merkinnässä $\left|\frac57+\frac75\right|$ vastaluvun paikalla on luku $\frac75$ itse. Merkinnässä $\left|\frac57\cdot\left(-\frac75\right)\right|$ summan sijasta on tulo, jonka arvo on $1$. Merkinnässä $\left|\frac57\right|+\left(-\frac75\right)$ itseisarvo koskee vain ensimmäistä termiä, jolloin arvo on negatiivinen, $-\frac{24}{35}$.

Vastaus: $\left|\frac57+\left(-\frac75\right)\right|$ (2 p.).

Ansa: käänteisluku ja vastaluku menevät helposti sekaisin. Käänteisluvun ja alkuperäisen luvun tulo on $1$, vastaluvun ja alkuperäisen luvun summa on $0$.

Suora verrannollisuus tarkoittaa, että suureiden suhde on vakio. Tämä vakio on verrannollisuuskerroin, joten merkintä on $A:B=k$, yhtäpitävästi $A=kB$.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Vakio tulo $A\cdot B=k$ tarkoittaa kääntäen verrannollisuutta. Vakio erotus $A-B=k$ ei ole verrannollisuutta lainkaan. Merkintä $A=B^k$ kuvaa potenssiriippuvuutta. Esimerkiksi luvut $A=6$ ja $B=3$ ovat suoraan verrannolliset kertoimella $k=2$, mutta $6\cdot3\neq2$, $6-3\neq2$ ja $3^2\neq6$.

Vastaus: $A:B=k$ (1 p.).

Ansa: älä sekoita suoraa ja kääntäen verrannollisuutta. Suorassa verrannollisuudessa suhde on vakio, kääntäen verrannollisuudessa tulo.

Samakantaisten potenssien tulossa kanta säilyy ja eksponentit lasketaan yhteen: $x^nx^m=x^{n+m}$. Perustelu: tulossa on ensin $n$ ja sitten $m$ kappaletta tekijää $x$, yhteensä $n+m$ tekijää.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Merkinnässä $x^nx^m=x^{nm}$ eksponentit kerrotaan, vaikka ne pitäisi laskea yhteen. Merkintä $(x^n)^m=x^{n+m}$ koskee potenssin potenssia, jossa eksponentit todellisuudessa kerrotaan. Merkintä $x^n+x^m=x^{n+m}$ puhuu summasta eikä tulosta, eikä se päde yleisesti: $2^2+2^3=12$, mutta $2^5=32$.

Vastaus: $x^nx^m=x^{n+m}$ (1 p.).

Ansa: eksponentit kerrotaan vasta potenssin potenssissa, $(x^n)^m=x^{nm}$.

Prosenttialennus lasketaan kertomalla hinta jäljelle jäävällä osuudella, ja peräkkäiset alennukset kerrotaan peräkkäin. Ensimmäisen $10\ \%$:n alennuksen jälkeen jää $90\ \%$, eli kerroin on $0{,}9$. Toinen $20\ \%$:n alennus lasketaan jo alennetusta hinnasta, joten sen kerroin on $0{,}8$. Lopullinen hinta on $0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129$ € $=92{,}88$ €.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Merkintä $0{,}7\cdot 129$ € laskee alennusprosentit yhteen, jolloin hinnaksi tulisi $90{,}30$ €; jälkimmäinen alennus kohdistuu kuitenkin jo pienempään hintaan. Merkintä $0{,}9\cdot 129\cdot 0{,}2$ € on toisen alennuksen suuruus, $23{,}22$ €, eikä lopullinen hinta. Merkinnässä $0{,}1\cdot 0{,}2\cdot 129$ € alennusprosentit kerrotaan keskenään.

Vastaus: $0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129$ € (1 p.).

Ansa: peräkkäisiä prosenttialennuksia ei saa laskea yhteen.

Lukusuoralla kahden pisteen etäisyys on niiden erotuksen itseisarvo. Pisteen $x$ etäisyys pisteestä $-2$ on $|x-(-2)|$, ja kun se asetetaan kolmeksi, saadaan $|x-(-2)|=3$. Yhtälön ratkaisut ovat $x=1$ ja $x=-5$.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Merkintä $|x-2|=3$ mittaa etäisyyttä pisteestä $2$. Merkinnässä $|x-3|=2$ etäisyys ja piste ovat vaihtaneet paikkaa. Merkinnästä $x-(-2)=3$ puuttuu itseisarvo, joten se antaa vain ratkaisun $x=1$ ja kadottaa yhtä kaukana olevan pisteen $-5$.

Vastaus: $|x-(-2)|=3$ (1 p.).

Ansa: etäisyys ei voi olla negatiivinen, joten itseisarvo tarvitaan. Negatiivisen luvun vähentäminen muuttaa merkin: $x-(-2)=x+2$.

Tason pisteiden etäisyys lasketaan etäisyyskaavalla $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Pisteiden $(x,y)$ ja $(1,-3)$ koordinaattien erotukset ovat $x-1$ ja $y-(-3)=y+3$, joten ehto on $\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4$. Se on ympyrä, jonka keskipiste on $(1,-3)$ ja säde $4$.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Yhtälössä $(x-1)^2+(y+3)^2=4$ neliöjuuri on poistettu, mutta oikeaa puolta ei ole korotettu toiseen, joten se kuvaa etäisyyttä $2$. Yhtälössä $\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=4$ merkit ovat kääntyneet, joten se mittaa etäisyyttä pisteestä $(-1,3)$. Yhtälössä $|x-1|+|y+3|=4$ koordinaattien erotukset lasketaan yhteen; esimerkiksi piste $(3,-1)$ toteuttaa sen, vaikka sen etäisyys pisteestä $(1,-3)$ on $\sqrt8\approx2{,}83$.

Vastaus: $\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4$ (2 p.).

Ansa: negatiivisen koordinaatin merkki menee helposti väärin: $y-(-3)$ on $y+3$.

Kahden suoran leikkauspiste on se piste, joka toteuttaa molempien suorien yhtälöt yhtä aikaa. Se ilmaistaan yhtälöparina $\begin{cases}2x-3y=1\\-x+4y=-2\end{cases}$, jonka ratkaisu on $\left(-\frac25,\ -\frac35\right)$.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Epäyhtälöpari kuvaa tason aluetta eikä yhtä pistettä. Yhtälö $(2x-3y-1)(-x+4y+2)=0$ toteutuu, kun piste on kummalla tahansa suoralla, joten se kuvaa suorien yhdistettä eikä leikkausta. Yhtälöiden summa $(2x-3y)+(-x+4y)=1+(-2)$ on yksi suora, $x+y=-1$, joka kulkee leikkauspisteen kautta mutta sisältää äärettömän monta muutakin pistettä.

Vastaus: $\begin{cases}2x-3y=1\\-x+4y=-2\end{cases}$ (1 p.).

Ansa: yhtälöitä voi laskea yhteen ratkaisun apuna, mutta summa yksinään ei enää määrää leikkauspistettä.

Funktion arvo kohdassa $a$ merkitään $f(a)$. Funktion $f$ arvo kohdassa $2$ on $f(2)$ ja funktion $g$ arvo kohdassa $-3$ on $g(-3)$. Koska edellinen on suurempi, merkintä on $f(2)>g(-3)$.

Muut vaihtoehdot ovat vääriä. Merkinnässä $f(-3)>g(2)$ kohdat ovat vaihtaneet funktiota. Merkinnässä $f(2)<g(-3)$ epäyhtälömerkki on kääntynyt, joten se väittää päinvastaista. Merkinnässä $2f>-3g$ funktiot kerrotaan luvuilla, eikä niiden arvoja lasketa annetuissa kohdissa.

Vastaus: $f(2)>g(-3)$ (1 p.).

Ansa: sulkeisiin tulee kohta, jossa funktiota tarkastellaan, eikä $f(2)$ tarkoita kertolaskua $f\cdot 2$.

Appelsiini mallinnetaan palloksi: ympärysmitasta saadaan säde, ja kuoren osuus on kahden pallon tilavuuksien erotus.

a)
1. Säde ympärysmitasta: $r=\frac{25{,}0}{2\pi}\approx 3{,}979$ cm (1 p.).
2. Tilavuus $V=\frac{4\pi}{3}r^3\approx 263{,}9$ cm$^3$ (1 p.).
3. Kuorettoman osan säde $r-0{,}6\approx 3{,}379$ cm (1 p.) ja tilavuus $\approx 161{,}6$ cm$^3$ (1 p.).
4. Kuoren osuus $\frac{263{,}9-161{,}6}{263{,}9}\approx 0{,}3876$ eli noin $39\ \%$ (2 p.).

b)
5. Kilo kuorittuja vaatii $\frac{1}{1-0{,}3876}\approx 1{,}633$ kg kuorellisia (3 p.), hinta $1{,}633\cdot 1{,}50\approx 2{,}45$ € (1 p.).
6. Kuorimistyön osuus $9{,}50-2{,}45=7{,}05$ € (1 p.), eli $\frac{7{,}05}{9{,}50}\approx 74\ \%$ (1 p.).

Vastaus: a) noin $39\ \%$, b) noin $74\ \%$.

Ansa: kuoren paksuus on $6{,}0$ mm $=0{,}6$ cm, ja jos kuorellinen ja kuoreton menevät päinvastoin, pisteitä saa enintään 5.

Jokainen reitti A:sta B:hen koostuu kahdesta oikealle- ja kahdesta alas-hypystä, joten reittejä on $\binom{4}{2}=6$ kappaletta.

a)
1. Listaa tai piirrä kaikki kuusi reittiä (4 p.).
2. Kahdessa reitissä mennään ensin kahdesti samaan suuntaan ruudukon kulmaan; siellä suunta on pakotettu, joten valintoja on vain kaksi ja todennäköisyys on $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ (2 p.).
3. Muissa neljässä reitissä tehdään kolme valintaa, joten kunkin todennäköisyys on $\left(\frac12\right)^3=\frac18$ (2 p.).

b)
4. Kutakin menoreittiä vastaa täsmälleen yksi paluureitti, jonka todennäköisyys on symmetrian nojalla sama (2 p.).
5. Summaa: $2\cdot\frac14\cdot\frac14+4\cdot\frac18\cdot\frac18=\frac18+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$ (2 p.).

Vastaus: a) kaksi reittiä todennäköisyydellä $\frac14$ ja neljä todennäköisyydellä $\frac18$; b) $\frac{3}{16}=0{,}1875$.

Ansa: reitit eivät ole yhtä todennäköisiä, joten $\frac16$ per reitti on väärin.

Kongruenssi $a\equiv b\pmod m$ tarkoittaa, että $m$ jakaa erotuksen $a-b$; tätä tulkintaa käytetään molemmissa kohdissa.

a)
1. Ehto $1023\equiv -1\pmod{2^k}$ tarkoittaa, että $2^k$ jakaa luvun $1023-(-1)=1024$, eli $1024\equiv 0\pmod{2^k}$ (1 p.).
2. Koska $1024=2^{10}$, ehto toteutuu arvolla $k=10$ (1 p.).
3. Perustele suurimmuus: kun $k\ge 11$, osamäärä $\frac{1024}{2^k}$ ei ole kokonaisluku (1 p.).

b)
4. Luku $2^x-1$ on jaollinen luvulla $1023$ täsmälleen silloin, kun $2^x\equiv 1\pmod{1023}$ (1 p.).
5. Koska $2^{10}=1024=1023+1$, on $2^{10}\equiv 1\pmod{1023}$ (2 p.).
6. Eksponentti on kymmenellä jaollinen: $2^{12345678910}=\left(2^{10}\right)^{1234567891}\equiv 1^{1234567891}=1\pmod{1023}$ (6 p.).

Vastaus: a) $k=10$; b) väite seuraa kohdasta 6.

Ansa: arvosteluohjeen merkintä ”ohjelmointiratkaisu: max 9 p.” koskee vain kohtaa b, jonka arvo on 9 p., joten kohdan b voi ratkaista ohjelmoimallakin täysin pistein; se ei ole pistevähennys.

Puolisuunnikassääntö korvaa käyrän alla olevan alueen puolisuunnikkailla: mitä useampi osaväli, sitä tarkempi arvio.

1. Osavälin pituus on $h=\frac{4-0}{n}$, siis $0{,}4$ kun $n=10$ ja $0{,}04$ kun $n=100$ (1+1 p.).
2. Kirjaa integroitava lauseke $\frac{\cos(10x+x^2)}{2}+1$ (1+1 p.) sekä rajat $0$ ja $4$ ja osavälien lukumäärä (1+1 p.).
3. Laske arviot: $n=10$ antaa $\approx 4{,}28823$ ja $n=100$ antaa $\approx 3{,}98699$ (1+1 p.).
4. Suhteellinen virhe on $\frac{\text{arvio}-\text{todellinen}}{\text{todellinen}}$ (1+1 p.): $\frac{4{,}28823-3{,}98636}{3{,}98636}\approx 7{,}6\ \%$ ja $\frac{3{,}98699-3{,}98636}{3{,}98636}\approx 0{,}02\ \%$ (1+1 p.).

Vastaus: arviot $\approx 4{,}29$ ja $\approx 3{,}99$, suhteelliset virheet $\approx 7{,}6\ \%$ ja $\approx 0{,}02\ \%$.

Ansa: nimittäjään kuuluu tarkka arvo, ei arvio; siitä vähennetään piste. Ilmoita tulokset vähintään kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

Väliarvolause takaa ehdon, kun funktio on jatkuva suljetulla ja derivoituva avoimella välillä; jos jompikumpi oletus puuttuu, ehto voi jäädä toteutumatta. Jokaisesta kohdasta saa 4 p. vasta perustelujen kanssa.

1. a) $f(x)=x^2$ on jatkuva ja derivoituva. Nyt $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=0$ ja $f'(x)=2x$, joten $a=0$ kelpaa (4 p.).
2. b) $f(x)=|x|$ on jatkuva välillä $[-1,1]$ muttei derivoituva kohdassa $0$. Erotusosamäärä on $0$, mutta $f'(x)=\pm 1$ aina kun derivaatta on olemassa, joten ehto ei toteudu (4 p.).
3. c) $f(x)=x$, kun $x\in{}]{-1},1[$, sekä $f(-1)=1$ ja $f(1)=-1$. Funktio on derivoituva avoimella välillä muttei jatkuva päätepisteissä. Nyt $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=-1$, mutta $f'(x)=1$, joten ehto ei toteudu (4 p.).

Ansa: pelkkä esimerkkifunktio ilman perusteluja ei riitä täysiin pisteisiin.

Ydin: kun a-kohdan derivaattakaavat integroidaan puolittain, analyysin peruslause tuottaa juuri kysytyt rekursiot.

a) Tulon derivointisääntö: $f_n'(x)=nx^{n-1}\sin x+x^n\cos x$ ja $g_n'(x)=nx^{n-1}\cos x-x^n\sin x$ (2 p.).

b) $S_0=\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=2$ ja $C_0=\Big[\sin x\Big]_0^{\pi}=0$ (2 p.).

c) Käytä rekursioita vuorotellen: $S_1=C_0+\pi=\pi$, $C_1=-S_0=-2$, $S_2=2C_1+\pi^2=\pi^2-4$, $C_2=-2S_1=-2\pi$, $S_3=3C_2+\pi^3=\pi^3-6\pi$, $C_3=-3S_2=12-3\pi^2$, joten $S_4=4C_3+\pi^4=\pi^4-12\pi^2+48$ (2 p.).

d) Integroi a-kohdan kaavat välillä $[0,\pi]$. Vasemmalle jäävät sijoitustermit $\Big[x^n\sin x\Big]_0^{\pi}=0$ ja $\Big[x^n\cos x\Big]_0^{\pi}=-\pi^n$, ja oikealta tunnistetaan $nS_{n-1}+C_n$ sekä $nC_{n-1}-S_n$. Näin $C_n=-nS_{n-1}$ ja $S_n=nC_{n-1}+\pi^n$ (6 p.).

Vastaus: $S_0=2$, $C_0=0$ ja $S_4=\pi^4-12\pi^2+48$.