Matematik, lång lärokurs, hösten 2023 – studentprovets uppgifter och lösningar

Ensimmäisen asteen yhtälö ratkaistaan siirtämällä vakiot toiselle puolelle ja jakamalla tuntemattoman kertoimella.

1. Vähennä 3 molemmilta puolilta: $-7x=17-3=14$ (1 p.).
2. Jaa luvulla $-7$: $x=\frac{14}{-7}$ (1 p.).
3. Vastaus: $x=-2$ (1 p.).

Tarkistus sijoittamalla: $-7\cdot(-2)+3=14+3=17$, joten ratkaisu täsmää.

Hyväksytty vastaus on $x=-2$. Ansa: jakaessa negatiivisella kertoimella merkki menee helposti väärin ($x=2$); muista myös, että pelkkä vastaus ilman välivaiheita antaa vain 1 p.

Epäyhtälö ratkaistaan kuten yhtälö, mutta negatiivisella luvulla jaettaessa epäyhtälömerkki kääntyy.

1. Vähennä 3 puolittain: $-7x<14$ (1 p.).
2. Jaa luvulla $-7$ ja käännä merkki: $x>\frac{14}{-7}$ (1 p.).
3. Vastaus: $x>-2$ (1 p.).

Tarkistus: esimerkiksi $x=0$ antaa $3<17$, joka on tosi, joten ratkaisujoukko on oikealla puolella lukua $-2$.

Hyväksytty vastaus on $x>-2$. Ansa: unohdettu merkin kääntö tuottaa $x<-2$, mistä vähennetään piste; pelkkä vastaus ilman perustelua antaa vain 1 p.

Toisen asteen yhtälö saatetaan ensin normaalimuotoon ja ratkaistaan sitten ratkaisukaavalla tai tekijöihin jakamalla.

1. Siirrä kaikki vasemmalle: $x^2+x-2=0$.
2. Ratkaisukaava: $x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}$ (perustelu 1 p.).
3. Juuret: $x=1$ tai $x=-2$ (1+1 p.).

Vaihtoehto: tekijöihin $(x-1)(x+2)=0$ ja tulon nollasääntö.

Vastaus: $x=1$ tai $x=-2$.

Ansa: yhtälöstä $x(x+1)=2$ ei voi päätellä $x=1$ tai $x+1=2$; tulon nollasääntö toimii vain, kun tulo on nolla. Tällainen "tulon 2-sääntö" antaa 0 p.

Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan nollakohtien ja paraabelin aukeamissuunnan avulla.

1. Nollakohdat: $x^2+x-2=0$ antaa $x=1$ tai $x=-2$ (tekijöihin $(x-1)(x+2)$).
2. Perustelu: kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli (kerroin $1>0$), joten lauseke on negatiivinen tai nolla nollakohtien välissä (2 p.). Saman voi näyttää kulkukaaviolla: merkit $+\,|\,-\,|\,+$.
3. Vastaus: $-2\le x\le1$ (1 p.).

Hyväksytty vastaus on $-2\le x\le1$ eli väli $[-2,1]$.

Ansa: pelkkä nollakohtien ratkaiseminen ei riitä; perustelu paraabelin muodosta tai merkkitarkastelusta on kahden pisteen arvoinen. Muista myös, että merkki $\le$ sisällyttää päätepisteet.

Suora leikkaa $y$-akselin siinä pisteessä, jossa $x=0$.

1. Sijoita $x=0$ suoran yhtälöön: $y=3\cdot0+7=7$.
2. Leikkauspiste on siis $(0,7)$ (2 p.).

Yleisesti muodossa $y=kx+b$ kirjoitetun suoran vakiotermi $b$ kertoo suoraan $y$-akselin leikkauskohdan; kulmakerroin $3$ vaikuttaa vain suoran jyrkkyyteen, ei tähän pisteeseen. Vastaavasti $x$-akselin leikkauspiste saataisiin asettamalla $y=0$, mutta sitä ei tässä kysytä.

Vastaus: $(0,7)$.

Ansa: vastaukseksi ei riitä pelkkä luku $7$, sillä kysytään pisteen koordinaatteja; myös koordinaattien järjestyksen vaihtaminen $(7,0)$ tai merkkivirhe $(0,-7)$ pudottaa pisteen.

Janan keskipiste saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvoina.

1. $x$-koordinaatti: $\frac{0+6}{2}=3$.
2. $y$-koordinaatti: $\frac{0+8}{2}=4$.

Vastaus: keskipiste on $(3,4)$ (2 p., yksi piste kummastakin oikeasta koordinaatista).

Vektoreilla ajateltuna keskipisteen paikkavektori on $\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)=\frac12(6\overline i+8\overline j)=3\overline i+4\overline j$, joka antaa saman tuloksen. Tarkistus: keskipisteen etäisyys kumpaankin päätepisteeseen on $\sqrt{3^2+4^2}=5$, eli puolet janan pituudesta $10$.

Ansa: älä laske koordinaattien erotusta (se antaisi vektorin $\overline{AB}$, ei keskipistettä) äläkä unohda jakamista kahdella.

Suorien leikkauspiste on yhtälöparin ratkaisu, sillä piste on molemmilla suorilla.

1. Ensimmäisestä yhtälöstä $y=-x$.
2. Sijoita toiseen: $2x+5(-x)=3$ eli $-3x=3$, josta $x=-1$.
3. Tällöin $y=-(-1)=1$.

Vastaus: leikkauspiste on $(-1,1)$ (2 p.).

Tarkistus: $-1+1=0$ ja $2\cdot(-1)+5\cdot1=3$, joten piste toteuttaa molemmat yhtälöt. Saman voi ratkaista myös yhteenlaskumenetelmällä kertomalla ensimmäisen yhtälön luvulla $-2$ ja laskemalla yhtälöt yhteen, jolloin $3y=3$.

Ansa: sijoitusvaiheessa merkkivirhe (esimerkiksi $y=x$) johtaa vääriin koordinaatteihin; tarkista aina sijoittamalla molempiin yhtälöihin.

Käyrän piste löytyy sijoittamalla tunnettu koordinaatti käyrän yhtälöön ja ratkaisemalla toinen.

1. Sijoita $y=3$: $x\cdot3=6$.
2. Ratkaise: $x=2$.

Vastaus: piste on $(2,3)$ (2 p.).

Käyrä $xy=6$ on hyperbeli $y=\frac6x$, ja sen jokaisessa pisteessä koordinaattien tulo on 6; tarkistus $2\cdot3=6$ täsmää. Koska $y=3$ on annettu, yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu, eli käyrällä on vain yksi tällainen piste.

Ansa: vastauksessa kysytään pisteen koordinaatteja, joten pelkkä $x=2$ ei riitä, ja koordinaatit on annettava oikeassa järjestyksessä $(x,y)=(2,3)$, ei $(3,2)$.

Ympyrän keskipisteen koordinaatit luetaan suoraan keskipistemuotoisesta yhtälöstä $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, jossa keskipiste on $(a,b)$.

1. Kirjoita $(x+1)^2=(x-(-1))^2$, joten $a=-1$.
2. Termi $(y-2)^2$ antaa $b=2$.

Vastaus: keskipiste on $(-1,2)$ (2 p., yksi piste kummastakin koordinaatista). Säde olisi $\sqrt5$, mutta sitä ei kysytä.

Tarkistus: sijoittamalla keskipiste yhtälön vasemmalle puolelle saadaan $0$, kuten pitääkin, sillä keskipiste on etäisyydellä $0$ itsestään.

Ansa: merkit kääntyvät helposti väärin. Yhtälössä $(x+1)^2$ keskipisteen $x$-koordinaatti on $-1$, ei $+1$; ajattele aina muotoa $x-(-1)$.

Huippumuotoisen paraabelin $y=a(x-x_0)^2+y_0$ huippu on $(x_0,y_0)$.

1. Yhtälössä $y=(x-3)^2+1$ on $x_0=3$ ja $y_0=1$.
2. Perustelu: $(x-3)^2\ge0$ ja se on nolla vain kun $x=3$, joten $y$ on pienimmillään $1$ täsmälleen kohdassa $x=3$.

Vastaus: huippupiste on $(3,1)$ (2 p., yksi piste kummastakin koordinaatista).

Paraabeli aukeaa ylöspäin, koska toisen asteen termin kerroin on $1>0$, joten huippu on samalla funktion minimikohta. Saman saisi derivaatasta $y'=2(x-3)=0$.

Ansa: merkkivirhe on tyypillinen. Termistä $(x-3)^2$ luetaan $x_0=3$, ei $-3$; vastaavasti vakiotermi $+1$ on huipun $y$-koordinaatti sellaisenaan.

Pienin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta, kun kulkukaavio osoittaa kohdan minimiksi.

1. Kirjoita $f(x)=x^2+16x^{-2}$ ja derivoi: $f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}$ (3 p.).
2. $f'(x)=0$ antaa $2x^4-32=0$ eli $x^4=16$ (1 p.).
3. Juuret $x=\pm2$; ehdon $x>0$ vuoksi vain $x=2$ (2 p.).
4. Kulkukaavio alueessa $x>0$: esimerkiksi $f'(1)=-30<0$ ja $f'(3)>0$, merkit $-\,|\,+$ (3 p.).
5. Kohdassa $x=2$ on siis minimi (1 p.).
6. Vastaus: pienin arvo on $f(2)=4+4=8$ (2 p.).

Vaihtoehto: $f(x)=\left(x-\frac4x\right)^2+8\ge8$, ja yhtäsuuruus kun $x=2$.

Ansa: derivoi $\frac{16}{x^2}$ potenssina $16x^{-2}$; pelkkä arvojen laskeminen laskimella ei tuota pisteitä.

Pisteen etäisyys tasosta lasketaan tason normaalimuodon avulla, joten avain on tason normaalivektori.

a) Laske komponenteittain: $\overline u+2\overline v-\overline w=(3+2+5)\overline i+(1+4+5)\overline j+(-2-4-6)\overline k=10\overline i+10\overline j-12\overline k$ (3 p.).

b)
1. Normaali $\overline n$ on kohtisuorassa sekä $\overline u$ että $\overline v$ vastaan: ristitulo tai yhtälöpari $\overline n\cdot\overline u=0$, $\overline n\cdot\overline v=0$ (2 p.).
2. Ratkaisuksi $\overline n=2\overline i+4\overline j+5\overline k$ (2 p.).
3. Origo on tasossa, joten tason yhtälö on $2x+4y+5z=0$ (2 p.).
4. Etäisyys: $d=\frac{|2\cdot6+4\cdot7+5\cdot1|}{\sqrt{4+16+25}}=\frac{45}{\sqrt{45}}$ (2 p.).

Vastaus: $d=\sqrt{45}=3\sqrt5$ (1 p.).

Ansa: tarkista, että $\overline n\cdot\overline u=6+4-10=0$ ennen kuin jatkat; virheellinen normaali kaataa loput.

Kuutiojuuri tarkoittaa kolmatta juurta: $\sqrt[3]{a}$ on se luku, jonka kuutio on $a$.

1. Tulkitse kuvaus: etsitään luku $x$, jolle $x^3=6$.
2. Merkitse juuren asteluku 3 juurimerkin vasempaan yläkulmaan: $\sqrt[3]{6}$ (1 p.).
3. Sama voidaan kirjoittaa murtopotenssina $6^{\frac13}$.

Vastaus: $\sqrt[3]{6}$ eli $6^{1/3}$ (1 p.).

Ansa: kuutiojuuri ei ole neliöjuuri eikä kolmasosa luvusta, joten $\sqrt{6}$ ja $\frac{6}{3}$ ovat vääriä. Asteluku kuuluu juurimerkin päälle; ilman sitä merkintä tarkoittaa neliöjuurta.

Parillinen luku on kokonaisluku, joka on jaollinen kahdella, joten se voidaan kirjoittaa kahden ja kokonaisluvun tulona.

1. Ota apumuuttuja $k$, joka käy läpi kaikki kokonaisluvut.
2. Parillinen luku on tällöin muotoa $2k$.
3. Kirjaa näkyviin myös muuttujan joukko: $k\in\mathbf{Z}$ (1 p.).

Vastaus: $2k,\ k\in\mathbf{Z}$. Kirjaimen nimellä ei ole väliä, joten myös $2n,\ n\in\mathbf{Z}$ kelpaa.

Ansa: pelkkä $2k$ ilman mainintaa siitä, että $k$ on kokonaisluku, jättää määrittelyn puutteelliseksi. Muista myös, että parillisiin kuuluvat negatiiviset luvut ja nolla, joten ehto $k\in\mathbf{N}$ olisi liian suppea.

Käänteisluku saadaan kääntämällä murtoluku ylösalaisin ja vastaluku vaihtamalla etumerkki.

1. Luvun $\frac75$ käänteisluku on $\frac57$, sillä $\frac75\cdot\frac57=1$ (1 p.).
2. Luvun $\frac75$ vastaluku on $-\frac75$, sillä $\frac75+\left(-\frac75\right)=0$.
3. Kirjoita summa itseisarvomerkkien sisään (1 p.).

Vastaus: $\left|\frac57+\left(-\frac75\right)\right|$, joka sievenee muotoon $\left|\frac57-\frac75\right|=\frac{24}{35}$.

Ansa: käänteisluku ja vastaluku menevät helposti sekaisin — käänteisluvun tulo alkuperäisen kanssa on $1$, vastaluvun summa on $0$. Itseisarvomerkit kuuluvat koko summan ympärille, eivät yksittäisten termien ympärille.

Suora verrannollisuus tarkoittaa, että suureiden suhde on vakio, ja tämä vakio on verrannollisuuskerroin.

1. Muodosta suhde $A:B$ eli $\frac{A}{B}$.
2. Aseta suhde yhtä suureksi kuin kerroin $k$ (1 p.).
3. Sama asia voidaan kirjoittaa tulomuodossa $A=kB$.

Vastaus: $A:B=k$, yhtäpitävästi $A=kB$ (1 p.).

Ansa: kääntäen verrannollisuus merkitään tulon avulla muodossa $AB=k$, ei suhteena — älä sekoita näitä keskenään. Huomaa myös, että suhdetta muodostettaessa on oltava $B\neq 0$, ja että kerroin $k$ on vakio eikä muuttuja.

Kysytään potenssien kertolaskusääntöä eli samakantaisten potenssien tulon laskulakia.

1. Merkitse kanta kirjaimella, esimerkiksi $x$, ja eksponentit kirjaimilla $n$ ja $m$.
2. Kanta on sama molemmissa tekijöissä, joten tulo on $x^n\cdot x^m$.
3. Eksponentit lasketaan yhteen ja kanta säilyy (1 p.).

Vastaus: $x^nx^m=x^{n+m}$.

Perustelu: tulossa on ensin $n$ ja sitten $m$ kappaletta tekijää $x$, yhteensä siis $n+m$ tekijää.

Ansa: yleinen virhe on kirjoittaa $x^nx^m=x^{nm}$. Eksponentit kerrotaan vasta potenssin potenssissa $(x^n)^m=x^{nm}$, ja kantoja ei kerrota keskenään.

Prosenttialennus lasketaan kertomalla hinta jäljelle jäävällä osuudella, ja peräkkäiset alennukset kerrotaan peräkkäin.

1. Ensimmäisen $10\ \%$:n alennuksen jälkeen jäljelle jää $90\ \%$ eli kerroin on $0{,}9$.
2. Toinen $20\ \%$:n alennus lasketaan jo alennetusta hinnasta, joten sen kerroin on $0{,}8$.
3. Kerro alkuperäinen hinta molemmilla kertoimilla (1 p.).

Vastaus: $0{,}8\cdot 0{,}9\cdot 129$ € $=92{,}88$ €.

Ansa: alennusprosentteja ei saa laskea yhteen. Yhtenä $30\ \%$:n alennuksena saataisiin $0{,}7\cdot 129=90{,}30$ €, mikä on liian vähän, koska jälkimmäinen alennus kohdistuu jo pienempään hintaan.

Lukusuoralla kahden pisteen etäisyys on niiden erotuksen itseisarvo.

1. Pisteiden $x$ ja $-2$ erotus on $x-(-2)$.
2. Etäisyys on tämän erotuksen itseisarvo $|x-(-2)|$.
3. Aseta etäisyys kolmeksi (1 p.).

Vastaus: $|x-(-2)|=3$, joka sievenee muotoon $|x+2|=3$.

Tehtävässä riittää merkinnän kirjoittaminen, mutta yhtälön ratkaisut olisivat $x=1$ ja $x=-5$.

Ansa: etumerkin kanssa on oltava tarkkana, sillä $|x-2|=3$ mittaisi etäisyyden pisteestä $2$ eikä pisteestä $-2$. Itseisarvoa tarvitaan, koska etäisyys ei voi olla negatiivinen.

Tason pisteiden etäisyys lasketaan Pythagoraan lauseesta johdetulla etäisyyskaavalla $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

1. Sijoita pisteet $(x,y)$ ja $(1,-3)$: koordinaattien erotukset ovat $x-1$ ja $y-(-3)=y+3$ (1 p.).
2. Etäisyys on siis $\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}$.
3. Aseta etäisyys neljäksi (1 p.).

Vastaus: $\sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}=4$, yhtäpitävästi $(x-1)^2+(y+3)^2=16$.

Tämä on ympyrän yhtälö: keskipiste $(1,-3)$ ja säde $4$.

Ansa: negatiivisen koordinaatin merkki menee helposti väärin — $y-(-3)$ on $y+3$, ei $y-3$.

Kahden suoran leikkauspiste on se piste, joka toteuttaa molempien suorien yhtälöt yhtä aikaa, joten se ilmaistaan yhtälöparina.

1. Käytä molemmissa yhtälöissä samoja tuntemattomia $x$ ja $y$, jotka tarkoittavat leikkauspisteen koordinaatteja.
2. Kokoa yhtälöt yhtälöryhmäksi aaltosulkeella (1 p.).

Vastaus: $\begin{cases}2x-3y=1\\-x+4y=-2\end{cases}$, jonka ratkaisu $(x,y)$ on haettu leikkauspiste.

Tehtävässä ei pyydetä ratkaisemaan yhtälöparia, joten pelkkä merkintä riittää täysiin pisteisiin.

Ansa: leikkauspiste ei ole yhtälöiden summa, erotus tai yhdiste, eikä eri suorille saa käyttää eri muuttujanimiä — yhteiset muuttujat ovat juuri se, mikä pakottaa pisteen olemaan molemmilla suorilla.

Funktion arvo kohdassa $a$ merkitään $f(a)$, ja suuruusvertailu kirjoitetaan epäyhtälömerkillä.

1. Funktion $f$ arvo kohdassa $2$ on $f(2)$.
2. Funktion $g$ arvo kohdassa $-3$ on $g(-3)$.
3. Suurempi suure kirjoitetaan merkin $>$ vasemmalle puolelle (1 p.).

Vastaus: $f(2)>g(-3)$.

Sama asia voidaan kirjoittaa myös muodossa $g(-3)<f(2)$.

Ansa: sulkeisiin tulee kohta, jossa funktiota tarkastellaan, ei funktion arvo, eikä $f(2)$ tarkoita kertolaskua $f\cdot 2$. Merkki ei myöskään saa kääntyä vahingossa: $f(2)<g(-3)$ väittäisi päinvastaista.

Appelsiini mallinnetaan palloksi: ympärysmitasta saadaan säde, ja kuoren osuus on kahden pallon tilavuuksien erotus.

a)
1. Säde ympärysmitasta: $r=\frac{25{,}0}{2\pi}\approx 3{,}979$ cm (1 p.).
2. Tilavuus $V=\frac{4\pi}{3}r^3\approx 263{,}9$ cm$^3$ (1 p.).
3. Kuorettoman osan säde $r-0{,}6\approx 3{,}379$ cm (1 p.) ja tilavuus $\approx 161{,}6$ cm$^3$ (1 p.).
4. Kuoren osuus $\frac{263{,}9-161{,}6}{263{,}9}\approx 0{,}3876$ eli noin $39\ \%$ (2 p.).

b)
5. Kilo kuorittuja vaatii $\frac{1}{1-0{,}3876}\approx 1{,}633$ kg kuorellisia (3 p.), hinta $1{,}633\cdot 1{,}50\approx 2{,}45$ € (1 p.).
6. Kuorimistyön osuus $9{,}50-2{,}45=7{,}05$ € (1 p.), eli $\frac{7{,}05}{9{,}50}\approx 74\ \%$ (1 p.).

Vastaus: a) noin $39\ \%$, b) noin $74\ \%$.

Ansa: kuoren paksuus on $6{,}0$ mm $=0{,}6$ cm, ja jos kuorellinen ja kuoreton menevät päinvastoin, pisteitä saa enintään 5.

Jokainen reitti A:sta B:hen koostuu kahdesta oikealle- ja kahdesta alas-hypystä, joten reittejä on $\binom{4}{2}=6$ kappaletta.

a)
1. Listaa tai piirrä kaikki kuusi reittiä (4 p.).
2. Kahdessa reitissä mennään ensin kahdesti samaan suuntaan ruudukon kulmaan; siellä suunta on pakotettu, joten valintoja on vain kaksi ja todennäköisyys on $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ (2 p.).
3. Muissa neljässä reitissä tehdään kolme valintaa, joten kunkin todennäköisyys on $\left(\frac12\right)^3=\frac18$ (2 p.).

b)
4. Kutakin menoreittiä vastaa täsmälleen yksi paluureitti, jonka todennäköisyys on symmetrian nojalla sama (2 p.).
5. Summaa: $2\cdot\frac14\cdot\frac14+4\cdot\frac18\cdot\frac18=\frac18+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$ (2 p.).

Vastaus: a) kaksi reittiä todennäköisyydellä $\frac14$ ja neljä todennäköisyydellä $\frac18$; b) $\frac{3}{16}=0{,}1875$.

Ansa: reitit eivät ole yhtä todennäköisiä, joten $\frac16$ per reitti on väärin.

Kongruenssi $a\equiv b\pmod m$ tarkoittaa, että $m$ jakaa erotuksen $a-b$; tätä tulkintaa käytetään molemmissa kohdissa.

a)
1. Ehto $1023\equiv -1\pmod{2^k}$ tarkoittaa, että $2^k$ jakaa luvun $1023-(-1)=1024$, eli $1024\equiv 0\pmod{2^k}$ (1 p.).
2. Koska $1024=2^{10}$, ehto toteutuu arvolla $k=10$ (1 p.).
3. Perustele suurimmuus: kun $k\ge 11$, osamäärä $\frac{1024}{2^k}$ ei ole kokonaisluku (1 p.).

b)
4. Luku $2^x-1$ on jaollinen luvulla $1023$ täsmälleen silloin, kun $2^x\equiv 1\pmod{1023}$ (1 p.).
5. Koska $2^{10}=1024=1023+1$, on $2^{10}\equiv 1\pmod{1023}$ (2 p.).
6. Eksponentti on kymmenellä jaollinen: $2^{12345678910}=\left(2^{10}\right)^{1234567891}\equiv 1^{1234567891}=1\pmod{1023}$ (6 p.).

Vastaus: a) $k=10$; b) väite seuraa kohdasta 6.

Ansa: ohjelmoimalla tehdystä ratkaisusta saa enintään 9 p., joten kongruenssipäättely kannattaa kirjoittaa auki.

Puolisuunnikassääntö korvaa käyrän alla olevan alueen puolisuunnikkailla: mitä useampi osaväli, sitä tarkempi arvio.

1. Osavälin pituus on $h=\frac{4-0}{n}$, siis $0{,}4$ kun $n=10$ ja $0{,}04$ kun $n=100$ (1+1 p.).
2. Kirjaa integroitava lauseke $\frac{\cos(10x+x^2)}{2}+1$ (1+1 p.) sekä rajat $0$ ja $4$ ja osavälien lukumäärä (1+1 p.).
3. Laske arviot: $n=10$ antaa $\approx 4{,}28823$ ja $n=100$ antaa $\approx 3{,}98699$ (1+1 p.).
4. Suhteellinen virhe on $\frac{\text{arvio}-\text{todellinen}}{\text{todellinen}}$ (1+1 p.): $\frac{4{,}28823-3{,}98636}{3{,}98636}\approx 7{,}6\ \%$ ja $\frac{3{,}98699-3{,}98636}{3{,}98636}\approx 0{,}02\ \%$ (1+1 p.).

Vastaus: arviot $\approx 4{,}29$ ja $\approx 3{,}99$, suhteelliset virheet $\approx 7{,}6\ \%$ ja $\approx 0{,}02\ \%$.

Ansa: nimittäjään kuuluu tarkka arvo, ei arvio; siitä vähennetään piste. Ilmoita tulokset vähintään kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

Väliarvolause takaa ehdon, kun funktio on jatkuva suljetulla ja derivoituva avoimella välillä; jos jompikumpi oletus puuttuu, ehto voi jäädä toteutumatta. Jokaisesta kohdasta saa 4 p. vasta perustelujen kanssa.

1. a) $f(x)=x^2$ on jatkuva ja derivoituva. Nyt $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=0$ ja $f'(x)=2x$, joten $a=0$ kelpaa (4 p.).
2. b) $f(x)=|x|$ on jatkuva välillä $[-1,1]$ muttei derivoituva kohdassa $0$. Erotusosamäärä on $0$, mutta $f'(x)=\pm 1$ aina kun derivaatta on olemassa, joten ehto ei toteudu (4 p.).
3. c) $f(x)=x$, kun $x\in{}]{-1},1[$, sekä $f(-1)=1$ ja $f(1)=-1$. Funktio on derivoituva avoimella välillä muttei jatkuva päätepisteissä. Nyt $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=-1$, mutta $f'(x)=1$, joten ehto ei toteudu (4 p.).

Ansa: pelkkä esimerkkifunktio ilman perusteluja ei riitä täysiin pisteisiin.

Ydin: kun a-kohdan derivaattakaavat integroidaan puolittain, analyysin peruslause tuottaa juuri kysytyt rekursiot.

a) Tulon derivointisääntö: $f_n'(x)=nx^{n-1}\sin x+x^n\cos x$ ja $g_n'(x)=nx^{n-1}\cos x-x^n\sin x$ (2 p.).

b) $S_0=\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=2$ ja $C_0=\Big[\sin x\Big]_0^{\pi}=0$ (2 p.).

c) Käytä rekursioita vuorotellen: $S_1=C_0+\pi=\pi$, $C_1=-S_0=-2$, $S_2=2C_1+\pi^2=\pi^2-4$, $C_2=-2S_1=-2\pi$, $S_3=3C_2+\pi^3=\pi^3-6\pi$, $C_3=-3S_2=12-3\pi^2$, joten $S_4=4C_3+\pi^4=\pi^4-12\pi^2+48$ (2 p.).

d) Integroi a-kohdan kaavat välillä $[0,\pi]$. Vasemmalle jäävät sijoitustermit $\Big[x^n\sin x\Big]_0^{\pi}=0$ ja $\Big[x^n\cos x\Big]_0^{\pi}=-\pi^n$, ja oikealta tunnistetaan $nS_{n-1}+C_n$ sekä $nC_{n-1}-S_n$. Näin $C_n=-nS_{n-1}$ ja $S_n=nC_{n-1}+\pi^n$ (6 p.).

Vastaus: $S_0=2$, $C_0=0$ ja $S_4=\pi^4-12\pi^2+48$.

Idea: logaritmin kasvavuus antaa integraalille alarajan, ja epäyhtälöt summaamalla saadaan arvio kertomalle.

a) Logaritmifunktio on kasvava, joten $\ln x\ge\ln k$ kaikilla $x\in[k,k+1]$. Integroi puolittain tämän yksikön mittaisen välin yli: $\ln k=\int_k^{k+1}\ln k\,dx\le\int_k^{k+1}\ln x\,dx$ (3 p.).

b) Laske a-kohdan epäyhtälöt puolittain yhteen arvoilla $k=1,2,\ldots,n$; integraalin additiivisuuden nojalla oikeat puolet yhtyvät yhdeksi integraaliksi, jolloin $\sum_{k=1}^{n}\ln k\le\int_1^{n+1}\ln x\,dx$ (3 p.).

c) Integraalifunktio on $x\ln x-x$, joten $\int_1^{n+1}\ln x\,dx=\Big[x\ln x-x\Big]_1^{n+1}=(n+1)\ln(n+1)-(n+1)+1$. Koska $\sum_{k=1}^n\ln k=\ln(n!)$, seuraa $\ln(n!)\le(n+1)\ln(n+1)-(n+1)+1$, ja kasvavan eksponenttifunktion avulla $n!\le e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$ (6 p.).