Matematik, lång lärokurs, våren 2024 – studentprovets uppgifter och lösningar

Yhtälö $|A|=|B|$ toteutuu täsmälleen silloin, kun $A=B$ tai $A=-B$.

1. Tapausjako: $y+3=y+5$ tai $y+3=-(y+5)$ (2 p.).
2. Ensimmäisessä tapauksessa jää $3=5$, mikä on epätotta, joten ratkaisuja ei tule (2 p.).
3. Toisessa tapauksessa $y+3=-y-5$, siis $2y=-8$ ja $y=-4$ (2 p.).

Tarkistus: $|-4+3|=1$ ja $|-4+5|=1$. Geometrisesti etsitään lukusuoran piste, joka on yhtä kaukana pisteistä $-3$ ja $-5$; se on niiden keskipiste.

Vastaus: $y=-4$.

Ansa: itseisarvomerkkejä ei saa vain pyyhkiä pois, sillä siitä saa enintään 2 p.; myös miinusmerkillinen tapaus on kirjoitettava näkyviin.

Kahden itseisarvon summa käsitellään tapausjaolla itseisarvolausekkeiden nollakohtien $x=0$ ja $x=5$ mukaan.

1. Kun $x<0$: $-x+(5-x)=7$, siis $5-2x=7$ ja $x=-1$, joka kuuluu tähän tapaukseen.
2. Kun $0\le x\le 5$: $x+(5-x)=5\neq 7$, joten ratkaisuja ei ole.
3. Kun $x>5$: $x+(x-5)=7$, siis $2x=12$ ja $x=6$, joka kuuluu tähän tapaukseen.

Vastaus: $x=-1$ ja $x=6$.

Geometrisesti kysytään pistettä, jonka etäisyyksien summa pisteisiin $0$ ja $5$ on $7$; välillä summa on aina $5$, joten ylimääräinen $2$ jakautuu tasan välin ulkopuolelle.

Ansa: tarkista aina, kuuluuko saatu ratkaisu siihen tapaukseen, jossa se laskettiin.

Kun huomataan, että $v(t)$ on $80$ kertaa erään tunnetun funktion derivaatta, integraali saadaan suoraan sijoittamalla.

a)
1. Derivoi yhdistetyn funktion säännöllä: $D\left(8\ln(e^{t/4}+1)-t\right)=8\cdot\frac{1}{e^{t/4}+1}\cdot\frac14 e^{t/4}-1$ (3 p.).
2. Sievennä: $\frac{2e^{t/4}}{e^{t/4}+1}-1=\frac{2e^{t/4}-(e^{t/4}+1)}{e^{t/4}+1}=\frac{e^{t/4}-1}{e^{t/4}+1}$ (3 p.).

b)
3. Siis $v(t)=80\,D\left(8\ln(e^{t/4}+1)-t\right)$, joten $h=80\int_0^{20}D\left(\ldots\right)dt$ (2 p.).
4. Sijoitusmuoto: $h=80\Big[8\ln(e^{t/4}+1)-t\Big]_0^{20}$ (1 p.).
5. Laske: $h=80\left(8\ln(e^{5}+1)-20-8\ln 2\right)=1160{,}68\ldots$ (3 p.).

Vastaus: noin $1200$ metriä.

Ansa: alarajalla $e^{0}+1=2$, joten sijoitustermi ei ole nolla; vastauspisteen saa vain, jos tulos on välillä 100 m – 10 km.

Kaksi etäisyysehtoa antaa kaksi ympyrän yhtälöä; niiden leikkauspisteistä valitaan se, joka toteuttaa suoraa koskevan lisäehdon.

1. Merkitse $C=(x,y)$: $(x-5)^2+(y-4)^2=20$ ja $(x-8)^2+(y+2)^2=65$ (2 p.).
2. Yhtälöparin ratkaisut ovat $C=(9,6)$ ja $C=(1,2)$ (2 p.).
3. Suora $s$ kulkee pisteen $B=(8,-2)$ kautta suuntavektorin $5\overline{i}+2\overline{j}$ suuntaisesti, joten kulmakerroin on $\frac25$: $y+2=\frac25(x-8)$ eli $-2x+5y+26=0$ (2 p.).
4. Pisteen etäisyys suorasta: $(9,6)$ antaa $\frac{|-18+30+26|}{\sqrt{29}}=\frac{38}{\sqrt{29}}\approx 7{,}06$ ja $(1,2)$ antaa $\frac{34}{\sqrt{29}}\approx 6{,}31$ (3 p.).
5. Ehto ”alle 7” karsii pisteen $(9,6)$.

Vastaus: $C=(1,2)$ ja etäisyys $\frac{34}{\sqrt{29}}$ (3 p.).

Ansa: etäisyys halutaan tarkkana arvona, joten pelkkä likiarvo $6{,}31$ ei riitä.

Molemmissa kohdissa kannattaa laskea komplementti eli todennäköisyys, ettei yhtäkään A-laattaa tule.

a)
1. A-laattoja on 9 ja muita $100-9=91$. Koska laattoja ei palauteta, $P(\text{ei yhtään A})=\frac{91}{100}\cdot\frac{90}{99}\cdots\frac{85}{94}=\frac{\binom{91}{7}}{\binom{100}{7}}=0{,}50563\ldots$ (4 p.).
2. Komplementti: $P(\text{ainakin yksi A})=1-0{,}50563\ldots\approx 0{,}494$ (2 p.).

b)
3. Ehto rajaa tarkastelun kolmeen vokaaliin, jotka on nostettu 42 vokaalin joukosta; niistä 9:ssä on A ja 33:ssa ei (4 p.).
4. Siis $P=1-\frac{\binom{33}{3}}{\binom{42}{3}}\approx 0{,}52$ (2 p.).

Vastaus: a) noin $0{,}494$, b) noin $0{,}52$.

Ansa: nostot tehdään palauttamatta, joten binomijakauma ei kelpaa; osoittajien on vähennyttävä yhdellä samaan tahtiin nimittäjien kanssa.

Idea: akselin suunta pysyy vakiona, mutta Maa etenee radallaan, joten akselin ja auringonsäteen välinen kulma muuttuu.

1. Kuukaudessa Maa liikkuu ympyräradallaan $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$ (tai $\frac{30}{365}\cdot 360^\circ\approx 29{,}6^\circ$) (1 p.).
2. Piirrä tilannekuva: Maan rata Auringon ympäri, akselin kaltevuus $23{,}5^\circ$ ratatason normaalista (eli $66{,}5^\circ$ ratatasosta) ja Maan sijainti $30^\circ$ kesäpäivänseisauksesta (3 p.).
3. Merkitse kysytty kulma kuvaan: akselin ja Auringosta Maahan kulkevan säteen välinen kulma (2 p.).
4. Laske kulma ohjelmistolla, esimerkiksi suuntavektorien pistetulon avulla, ja jätä keskeiset käskyt näkyviin (2 p.).
5. Selitä ratkaisun vaiheet sanallisesti (2 p.).

Vastaus: kulma on $69{,}8^\circ$ (2 p.).

Ansa: kesäpäivänseisauksena kulma on $90^\circ-23{,}5^\circ=66{,}5^\circ$, joten vastauksen kuuluu olla hieman tätä suurempi.

Käänteisfunktion olemassaolo vaatii vain, että funktio saa jokaisen arvonsa täsmälleen kerran; monotonisuus riittää tähän, mutta ei ole välttämätöntä.

1. Valitse $A=\mathbf{R}\setminus\{0\}$, $B=\mathbf{R}\setminus\{0\}$ ja $f(x)=\frac1x$. Funktio on määritelty kaikilla $x\in A$ (1 p.), ja sen arvojoukko on täsmälleen $B$ (1 p.).
2. Perustele ei-monotonisuus: $-1<1<2$, mutta $f(-1)=-1<f(1)=1$ ja $f(1)=1>f(2)=\frac12$, joten $f$ ei ole kasvava eikä vähenevä (1 p. + 4 p. kuvasta ja täsmällisestä perustelusta).
3. Ratkaise $x$ yhtälöstä $y=\frac1x$: jokaisella $y\in B$ saadaan yksikäsitteinen $x=\frac1y$, joten $f$ saa kaikki arvonsa tarkalleen kerran (1 p. + 4 p.).

Vastaus: $f:\mathbf{R}\setminus\{0\}\to\mathbf{R}\setminus\{0\}$, $f(x)=\frac1x$, ja $f^{-1}(y)=\frac1y$.

Ansa: määrittely- ja arvojoukko on kerrottava; ilman niitä perustelupisteitä ei anneta.

Alkulukukaksosessa ainakin toinen luvuista $q-2$ ja $q+2$ on alkuluku, joten vastaesimerkissä kumpikaan ei saa olla.

1. Valitse $q=23$ ja totea, että se on alkuluku (1 p.).
2. Tarkista $q+2=25=5\cdot 5$, joka ei ole alkuluku (1 p.).
3. Tarkista $q-2=21=3\cdot 7$, joka ei ole alkuluku (1 p.).

Vastaus: esimerkiksi $q=23$ kelpaa; samoin käyvät $37$ ($35$ ja $39$ yhdistettyjä), $47$, $53$ ja $89$.

Ansa: pelkkä luvun antaminen ei riitä täysiin pisteisiin, vaan molemmat naapurit on osoitettava yhdistetyiksi luvuiksi. Huomaa myös, että riittää tarkastella lukuja $q\pm 2$, ei muita lähellä olevia lukuja.

Neljä askelta, joista kullakin neljä vaihtoehtoa, antaa $4^4=256$ yhtä todennäköistä alkeistapausta, ja $x$-koordinaatti voi olla mikä tahansa luvuista $-4,\ldots,4$ (1 p.).

1. $P(x=4)=\frac{1}{256}$, sillä vain reitti ”neljä kertaa oikealle” kelpaa (1 p.); symmetrian nojalla $P(x=-4)$ on sama (1 p.).
2. Muihin päätepisteisiin johtaa useita reittejä, joten on laskettava reittien lukumäärä (1 p.). Esimerkiksi $x=3$ vaatii kolme oikealle-askelta ja yhden pystyaskeleen: pystyaskeleen paikka voidaan valita $4$ tavalla ja sen suunta $2$ tavalla, joten reittejä on $8$.
3. Näin $P(x=\pm 3)=\frac{8}{256}$ (2 p.), $P(x=\pm 2)=\frac{28}{256}$ (2 p.), $P(x=\pm 1)=\frac{56}{256}$ (2 p.) ja $P(x=0)=\frac{70}{256}$ (2 p.).

Vastaus: yllä olevat todennäköisyydet; ne summautuvat ykköseksi.

Ansa: parittomat ja parilliset $x$-koordinaatit vaativat eri määrän vaaka-askelia.

Aritmeettisessa jonossa peräkkäisten jäsenten erotus on vakio $d$, joten kahden jäsenen erotus on aina $d$:n kokonaislukumonikerta (1 p.).

a)
1. Koska $k^2$ ja $k^3$ ovat jonossa, on $k^3=k^2+Ld$ jollakin kokonaisluvulla $L$ (2 p.).
2. Kerro puolittain luvulla $k$: $k^4=k^3+kLd$. Koska $kL$ on kokonaisluku, päästään jäsenestä $k^3$ lukuun $k^4$ ottamalla $kL$ askelta, joten $k^4$ kuuluu jonoon (3 p.).

b)
3. Vastaavasti $r^3-r^2=Ld$ ja $r^4-r^3=Md$ joillakin kokonaisluvuilla $L\neq 0$ ja $M$.
4. Jaa puolittain: $\frac{r^4-r^3}{r^3-r^2}=\frac{M}{L}$. Vasen puoli sievenee: $\frac{r^3(r-1)}{r^2(r-1)}=r$.
5. Siis $r=\frac{M}{L}$ on rationaaliluku (6 p.).

Ansa: perustele erikseen, että kerroin $kL$ on kokonaisluku — ilman sitä a-kohdan päättely ei ole valmis.

Idea: arvioidaan erotusta $x-\sin x$ ylhäältä ja alhaalta polynomeilla ja käytetään puristusperiaatetta.

(i) Merkitse $f(x)=x-\sin x-\frac16x^3$. Nyt $f'''(x)=\cos x-1\le 0$, ja koska $f''(0)=f'(0)=f(0)=0$, peräkkäiset monotonisuuspäätelmät antavat $f(x)\le 0$ välillä $[0,1]$ (3 p.).

(ii) Merkitse $g(x)=f(x)+\frac{1}{120}x^5$. Nyt $g''(x)=-f(x)\ge 0$ kohdan (i) nojalla, ja koska $g'(0)=g(0)=0$, on $g(x)\ge 0$ (3 p.).

(iii) Kohdat (i) ja (ii) yhdessä antavat epäyhtälöketjun (2 p.).

(iv) Funktiot $f$ ja $g$ ovat parittomia, joten välillä $[-1,0]$ epäyhtälöt kääntyvät (2 p.).

(v) Koska $\frac{1}{x^2}-\frac{\sin x}{x^3}=\frac{x-\sin x}{x^3}$, jaa epäyhtälöt luvulla $x^3$ merkki huomioiden. Reunoiksi jäävät $\frac16-\frac{x^2}{120}$ ja $\frac16$, jotka molemmat lähestyvät arvoa $\frac16$ (2 p.).

Vastaus: raja-arvo on $\frac16$.