Matematik, lång lärokurs, våren 2025 – studentprovets uppgifter och lösningar

Ensimmäisen asteen yhtälö ratkaistaan siirtämällä vakio ja jakamalla tuntemattoman kertoimella. Tässä pyydetään pelkkä vastaus, joten välivaiheita ei tarvitse kirjoittaa näkyviin.

1. Lisää $17$ puolittain: $5x=43+17=60$.
2. Jaa viidellä: $x=\frac{60}{5}$.

Vastaus: $x=12$ (2 p.).

Tarkistus sijoittamalla: $5\cdot 12-17=60-17=43$, joten ratkaisu täsmää.

Ansa: tavallisin virhe on merkkivirhe vakiota siirrettäessä. Muoto $5x=43-17=26$ antaisi arvon $x=5{,}2$, joka ei ole kokonaisluku — tehtävänannon maininta kokonaislukuvastauksesta on siis kätevä tarkistuskeino.

Potenssiyhtälö ratkaistaan eristämällä potenssi ja ottamalla juuri. Pariton eksponentti antaa täsmälleen yhden reaalisen ratkaisun.

1. Siirrä vakio: $2x^3=128$.
2. Jaa kahdella: $x^3=64$.
3. Ota kuutiojuuri: $x=\sqrt[3]{64}$.

Vastaus: $x=4$ (2 p.).

Tarkistus: $2\cdot 4^3-128=2\cdot 64-128=0$.

Ansa: kolmannen asteen potenssiyhtälöllä on vain yksi reaalinen ratkaisu, joten $\pm$-merkkiä ei tarvita; se kuuluu vain parillisiin eksponentteihin. Älä myöskään unohda jakaa kahdella ennen juuren ottamista, sillä $x^3=128$ ei anna kokonaislukua.

Ratkaise ensin sisäkulma ja kerro sitten kahdella. Yksikkönä ovat asteet.

1. Rajoitus $0^\circ<x<90^\circ$ tarkoittaa, että $\frac{x}{2}$ on välillä $0^\circ$ ja $45^\circ$.
2. Perusyhtälö $\sin t=\frac12$ toteutuu tällä välillä vain arvolla $t=30^\circ$.
3. Koska $t=\frac{x}{2}$, saadaan $\frac{x}{2}=30^\circ$ ja kertomalla kahdella $x=60^\circ$.

Vastaus: $x=60$ (2 p.).

Tarkistus: $\sin\frac{60^\circ}{2}=\sin 30^\circ=\frac12$, ja $60^\circ$ kuuluu annetulle välille.

Ansa: sinin toinen perusratkaisu $t=150^\circ$ antaisi $x=300^\circ$, joka ei kuulu väliin. Älä myöskään käsittele lauseketta $\sin\frac{x}{2}$ ikään kuin se olisi $\frac{\sin x}{2}$.

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(x^n)=nx^{n-1}$, ja vakion derivaatta on nolla. Tässä pyydetään pelkkä vastaus.

1. Derivoi: $f'(x)=4x^3+0=4x^3$.
2. Sijoita $x=2$: $f'(2)=4\cdot 2^3=4\cdot 8$.

Vastaus: $f'(2)=32$ (2 p.).

Ansa: vakiotermi $100$ ei vaikuta derivaattaan lainkaan, sillä se vain siirtää kuvaajaa pystysuunnassa — se ei siis kasvata vastausta. Toinen tavallinen virhe on laskea funktion arvo $f(2)=116$ derivaatan sijasta tai sekoittaa lauseke muotoon $(4\cdot 2)^3$.

Määrätty integraali lasketaan integraalifunktion sijoituksena rajoilla: $\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b$.

1. Integraalifunktio: $\int 3x^2\,dx=x^3$, sillä $D(x^3)=3x^2$.
2. Sijoita rajat: $A=\Big[x^3\Big]_1^4=4^3-1^3=64-1$.

Vastaus: $A=63$ (2 p.).

Tarkistus: integraali mittaa käyrän $y=3x^2$ ja $x$-akselin väliin jäävää pinta-alaa välillä $[1,4]$, ja arvo $63$ on uskottavan kokoinen, koska funktion arvot vaihtelevat välillä $3\ldots 48$.

Ansa: alarajan arvo on muistettava vähentää, joten pelkkä $4^3=64$ on väärin. Muista myös, että kerroin $3$ kumoutuu potenssiin korotuksessa: $\int 3x^2\,dx$ ei ole $3x^3$ vaan $\frac{3x^3}{3}=x^3$.

Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten termien erotus on vakio, ja yleinen termi on $a_n=a_1+(n-1)d$.

1. Erotus: $d=8-1=7$, mikä täsmää myös erotukseen $15-8=7$.
2. Sijoita $a_1=1$ ja $n=30$: $a_{30}=1+(30-1)\cdot 7=1+29\cdot 7$.
3. Laske: $1+203$.

Vastaus: $a_{30}=204$ (2 p.).

Ansa: yleisin virhe on väärä kerroin. Sekä $1+30\cdot 7=211$ että $1+28\cdot 7=197$ ovat vääriä, ja pisteytysohjeen mukaan niistä saa vain yhden pisteen. Ensimmäiseen termiin lisätään askelia täsmälleen $n-1$ kappaletta.

Osoittaja kannattaa tekijöidä, jotta nimittäjän tekijä $y-2$ voidaan supistaa pois.

1. Tunnista neliöiden erotus: $y^2-4=(y-2)(y+2)$ (2 p.).
2. Supista tekijä $y-2$, joka on nollasta eroava oletuksen $y\neq 2$ nojalla; jäljelle jää $(y+2)(y+1)$ (2 p.).
3. Kerro sulut auki: $y^2+y+2y+2$ (1 p.).
4. Yhdistä samanmuotoiset termit (1 p.).

Vastaus: $y^2+3y+2$, yhtäpitävästi $(y+1)(y+2)$.

Ansa: $y^2-4$ ei ole $(y-2)^2$; tästä virheestä saa enintään 4 p. Älä myöskään merkitse sievennystä yhtälönä, sillä siitä vähennetään piste.

Juurrettava on täydellinen neliö, ja neliöjuuren ja neliön yhdistelmästä syntyy itseisarvo.

1. Tunnista muoto $A^2+2A+1=(A+1)^2$, kun $A=z-1$: juurrettava on $\left((z-1)+1\right)^2=z^2$ (2 p.). Sama näkyy auki kertomalla: $z^2-2z+1+2z-2+1=z^2$.
2. Lauseke on siis $\sqrt{z^2}$ (1 p.).
3. Koska neliöjuuri on aina epänegatiivinen, $\sqrt{z^2}=|z|$ (3 p.).

Vastaus: $|z|$.

Ansa: vastaus $z$ tai $\pm z$ antaa vain 1 p., koska $z$ voi olla negatiivinen. Älä myöskään rajoita muuttujaa ehdolla $z\ge 0$, sillä siitä vähennetään piste.

Hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa suorakulmaisen kolmion kahteen alkuperäisen kanssa yhdenmuotoiseen kolmioon.

1. Määritä korkeusjana alan avulla: $\frac12|AD|\cdot 5=\frac12\cdot 3\cdot 4$ (2 p.), josta $|AD|=\frac{12}{5}=2{,}4$ (2 p.). Sama saadaan trigonometrisesti yhtälöstä $\sin(\angle DBA)=\frac35=\frac{|AD|}{3}$.
2. Kolmiot $ADE$ ja $ABC$ ovat yhdenmuotoisia, sillä molemmissa on suora kulma ja yhtä suuret terävät kulmat (2 p.).
3. Verrannot: $\frac{|AE|}{|AD|}=\frac{|AB|}{|BC|}$ ja $\frac{|ED|}{|AD|}=\frac{|AC|}{|BC|}$ (2 p.).
4. Laske: $|AE|=\frac{12}{5}\cdot\frac35=\frac{36}{25}=1{,}44$ (2 p.) ja $|ED|=\frac{12}{5}\cdot\frac45=\frac{48}{25}=1{,}92$ (2 p.).

Vastaus: kateetit ovat $\frac{36}{25}$ ja $\frac{48}{25}$.

Ansa: vastaukset halutaan tarkkoina arvoina, joten pyöristetyt likiarvot eivät riitä.

Odotusarvo on todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo mahdollisista korkotasoista.

1. Korotettu korko on $4{,}25+0{,}25=4{,}5$ % (1 p.).
2. Vanhoilla tiedoilla $E_1=0{,}5\cdot 4{,}25+0{,}5\cdot 4{,}5=4{,}375$ (3 p.).
3. Uusilla tiedoilla $E_2=0{,}35\cdot 4{,}25+0{,}65\cdot 4{,}5=4{,}4125$ (4 p.).
4. Kasvu on erotus $E_2-E_1=4{,}4125-4{,}375$ (4 p.).

Vastaus: odotusarvo kasvaa $0{,}0375$ prosenttiyksikköä.

Ansa: pisteitä saa vain, jos summa on kirjoitettu muotoon todennäköisyys $\cdot$ korko $+$ todennäköisyys $\cdot$ korko. Huomaa myös, että kysytään prosenttiyksikköjen muutosta, ei suhteellista muutosta prosentteina.

Tulon derivointisääntö ja derivaatan merkkitarkastelu antavat suurimman arvon.

1. Derivoi tulona: $f'(x)=2025x^{2024}e^{-x}-x^{2025}e^{-x}$ (1+1+2 p.).
2. Muokkaa tulomuotoon $f'(x)=e^{-x}x^{2024}(2025-x)$ (1 p.).
3. Derivaatan nollakohdat ovat $x=0$ ja $x=2025$ (2 p.).
4. Perustele kulku: $e^{-x}>0$ aina ja $x^{2024}\ge 0$, joten merkin ratkaisee tekijä $2025-x$. Siis $f$ on kasvava, kun $0\le x\le 2025$, ja vähenevä, kun $x\ge 2025$ (3 p.).
5. Maksimikohta on siis $x=2025$ (1 p.).

Vastaus: suurin arvo on $f(2025)=2025^{2025}e^{-2025}$, likiarvona $1{,}16\cdot 10^{5816}$ (1 p.).

Ansa: kohta $x=0$ ei ole maksimi, sillä eksponentti $2024$ on parillinen eikä derivaatan merkki vaihdu siinä.

Eukleideen algoritmissa jaetaan toistuvasti suurempi luku pienemmällä ja jatketaan jakojäännöksellä.

1. Idea $a=qb+r$; ensimmäinen askel $5322=15\cdot 342+192$ (3 p.).
2. Jatka samaa luvuille $342$ ja $192$ (1 p.).
3. Välivaiheet: $342=1\cdot 192+150$, $192=1\cdot 150+42$, $150=3\cdot 42+24$, $42=1\cdot 24+18$, $24=1\cdot 18+6$ ja $18=3\cdot 6$ (6 p.).
4. Viimeinen jakojäännös on nolla, joten algoritmi päättyy.

Vastaus: suurin yhteinen tekijä on viimeinen nollasta eroava jakojäännös eli $6$ (2 p.).

Ansa: pelkkä toteamus, että $6$ on yhteinen tekijä, ei tuota pisteitä lainkaan — algoritmin askeleet on kirjoitettava näkyviin. Jokaisesta laskuvirheestä vähennetään piste.

Kukin kolmion sivu jakautuu kahden päätepisteen etäisyyksien summaksi, mistä syntyy kolmen yhtälön ryhmä.

1. Sivu $AC$ on vaakasuora, joten $|AC|=8-(-6)=14$ (1 p.).
2. Etäisyyskaavalla $|AB|=\sqrt{(-6+1)^2+(-1-11)^2}=\sqrt{25+144}=13$ ja $|BC|=\sqrt{(-1-8)^2+(11+1)^2}=\sqrt{81+144}=15$ (2 p.).
3. Koska $X$ on janalla $AB$, $Y$ janalla $BC$ ja $Z$ janalla $AC$, saadaan $a+b=13$, $a+c=14$ ja $b+c=15$ (6 p.).
4. Laske yhtälöt yhteen: $2(a+b+c)=42$, joten $a+b+c=21$ (1 p.).
5. Vähennä kukin yhtälö tästä: $c=21-13=8$, $b=21-14=7$ ja $a=21-15=6$.

Vastaus: $a=6$, $b=7$ ja $c=8$ (2 p.).

Ansa: sivujen pituudet on perusteltava laskemalla; pelkkä ilmoittaminen antaa enintään 10 p.

Klassinen todennäköisyys: suotuisat alkeistapaukset jaettuna kaikkien lukumäärällä, kun nopat erotetaan toisistaan.

1. Yhdistelmiä on $6\cdot 6=36$, ja ne ovat yhtä todennäköisiä (1 p.).
2. Summa on vähintään $10$ pareilla $4+6$, $5+5$, $6+4$, $5+6$, $6+5$ ja $6+6$, siis kuudessa tapauksessa (2 p.).
3. Jaa suotuisat kaikilla: $\frac{6}{36}$ (1 p.).

Vastaus: $\frac{6}{36}=\frac16\approx 0{,}17$.

Ansa: nopat on erotettava toisistaan, joten $4+6$ ja $6+4$ ovat eri tapauksia. Jos järjestystä ei huomioida, saadaan virheellinen $\frac{4}{21}$ ja enintään 1 p. Pelkkä vastaus ilman perusteluja antaa 0 p.

Kysytään klassista todennäköisyyttä jäljellä olevien kiekkojen joukossa, sillä käännetyt kiekot on poistettu pelistä.

1. Käännettyjä on $7+1+1+1=10$, joten kääntämättä on $30-10=20$ (1 p.).
2. Suotuisia ovat kaikki $5$ hevosenkenkää sekä $1$ Afrikan tähti; kumpaakaan lajia ei ole vielä käännetty (1 p.).
3. Erillisinä todennäköisyyksinä $\frac{5}{20}$ ja $\frac{1}{20}$ (1 p.).
4. Tapaukset ovat toisensa poissulkevia, joten todennäköisyydet lasketaan yhteen (1 p.).

Vastaus: $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0{,}3$.

Ansa: nimittäjänä on jäljellä olevien kiekkojen määrä $20$, ei alkuperäinen $30$. Tarkista aina myös, onko suotuisia kiekkoja jo käännetty.

Jatkuvassa jakaumassa todennäköisyys on tiheysfunktion integraali kysytyn alueen yli.

1. Muodosta integraali oikein rajoin: $P(X\ge 7)=\int_7^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx$, tai komplementin kautta $P(X<7)=\int_0^{7}\lambda e^{-\lambda x}\,dx$ (5 p.).
2. Integroi ketjusäännön avulla tai sijoituksella $y=\lambda x$: $\int\lambda e^{-\lambda x}\,dx=-e^{-\lambda x}$ (4 p.).
3. Sijoita rajat: $\int_0^{7}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\Big[-e^{-\lambda x}\Big]_0^{7}=1-e^{-7\lambda}$, joten $P(X\ge 7)=1-\left(1-e^{-7\lambda}\right)$ (3 p.).

Vastaus: $P(X\ge 7)=e^{-7\lambda}$.

Ansa: rajojen on vastattava sitä todennäköisyyttä, jota lasketaan. Jos integroit välillä $[0,7]$, muista vielä vähentää tulos ykkösestä; muuten vastaus on täsmälleen väärinpäin.

Kummassakin kohdassa arvioidaan valmis päättely: onko se pätevä, ja mitkä kohdat on korjattava.

a)
1. Olivian päättely on oikein: osamäärän sääntö arvoilla $f(x)=x^3-2x+1$, $g(x)=10$ ja $g'(x)=0$ antaa $\frac{(3x^2-2)\cdot 10-0}{100}=\frac{3x^2-2}{10}$ (2 p.).
2. Yksinkertaisemmin vakiokerroin siirretään derivaatan eteen: $f'(x)=\frac{1}{10}D(x^3-2x+1)=\frac{3x^2-2}{10}$ (2 p.).

b) Leon päättely on väärä kolmesta syystä.
3. Erotuksen loppunollien määrää ei saa laskea vähennyslaskuna; se on pienempi luvuista (2 p.).
4. Osa nollista tulee lasketuksi kahdesti, sillä kaikki kymmenellä jaolliset ovat myös viidellä jaollisia (2 p.).
5. Viiden korkeammat potenssit unohtuvat: esimerkiksi $25$ tuo kaksi tekijää viisi (2 p.).
6. Oikein: $\left\lfloor\frac{2000}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2000}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2000}{125}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2000}{625}\right\rfloor=400+80+16+3=499$ (2 p.).

Vastaus: a) oikein; b) väärin, sillä $2000!$ päättyy $499$ nollaan ja erotus siten $300$ nollaan.

Idea: arvioidaan tekijä $g(x)^n$ sen suurimmalla arvolla ja siirretään vakio integraalin ulkopuolelle.

1. Merkitse $g(x)=x(1+x)(1-x)=x-x^3$ (1 p.); nyt $g'(x)=1-3x^2$, jonka nollakohdat ovat $x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$ (1 p.).
2. Perustele, että $x=\frac{1}{\sqrt3}$ on maksimikohta välillä $[0,1]$: derivaatan merkki vaihtuu siinä positiivisesta negatiiviseksi (1 p.).
3. Suurin arvo on $g\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)=\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{3\sqrt3}=\frac{2}{3\sqrt3}$ (2 p.), joten $g(x)^n\le\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^n$ (1 p.).
4. Välillä $[0,1]$ pätee $\sin(\pi x)\ge 0$, joten epäyhtälön saa kertoa sillä puolittain (1 p.).
5. Arvioi ja siirrä vakio ulos: $\int_0^1\sin(\pi x)g(x)^n\,dx\le\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^n\int_0^1\sin(\pi x)\,dx$ (2 p.).
6. Laske $\int_0^1\sin(\pi x)\,dx=\Big[-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}\Big]_0^1=\frac{2}{\pi}$ (2 p.), jolloin väite seuraa (1 p.).

Ansa: puolittain kertominen vaatii, että kerroin on epänegatiivinen.

Molemmat väitteet todistetaan laskemalla suoraan komponenteilla.

a)
1. Laske pistetulo: $\overline a\cdot(\overline a\times\overline b)=a_x(a_yb_z-a_zb_y)+a_y(a_zb_x-a_xb_z)+a_z(a_xb_y-a_yb_x)$ (2 p.).
2. Termit kumoavat toisensa pareittain (esimerkiksi $a_xa_yb_z$ ja $-a_ya_xb_z$), joten pistetulo on $0$ ja vektorit ovat kohtisuorassa (1 p.).

b)
3. Kulman kosini on $\cos\alpha=\frac{\overline a\cdot\overline b}{|\overline a||\overline b|}$, joten $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{\overline a\cdot\overline b}{|\overline a||\overline b|}\right)^2}$ (2 p.).
4. Sijoita suunnikkaan alan kaavaan $|\overline a||\overline b|\sin\alpha$ (1 p.), jolloin alaksi tulee $\sqrt{|\overline a|^2|\overline b|^2-(\overline a\cdot\overline b)^2}$.
5. Kirjoita tämä komponenteilla auki ja sievennä; tulokseksi saadaan $\sqrt{(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_x)^2}$, mikä on juuri $|\overline a\times\overline b|$ (6 p.).

Ansa: koska $0\le\alpha\le\pi$, sini on epänegatiivinen eikä juuren eteen tarvita $\pm$-merkkiä.