Pitkä matematiikka, kevät 2026 – yo-kokeen tehtävät ja ratkaisut

Murtolukujen vähennyslasku vaatii yhteisen nimittäjän, ja tässä se on annettu valmiiksi.

1. Laajenna molemmat murtoluvut nimittäjään $60$: $\frac34=\frac{45}{60}$ ja $\frac25=\frac{24}{60}$.
2. Vähennä osoittajat: $\frac{45-24}{60}=\frac{21}{60}$.

Vastaus: $\square=21$ (2 p.).

Tarkistus: $\frac{21}{60}$ supistuu muotoon $\frac{7}{20}$, mikä on sama kuin $\frac{15}{20}-\frac{8}{20}$.

Ansa: yleisin virhe on käyttää nimittäjää $20$ ja vastata $7$. Tehtävässä nimittäjä on kuitenkin $60$, joten osoittaja on kolminkertainen; virheellisestä vastauksesta $7$ saa vain yhden pisteen.

Keskiarvo on lukujen summa jaettuna lukumäärällä, joten summan on oltava keskiarvo kertaa lukumäärä.

1. Lukuja on neljä ja keskiarvo $5$, joten summan on oltava $4\cdot 5=20$.
2. Tunnettujen lukujen summa: $-5+4+13=12$.
3. Puuttuva luku on $20-12$.

Vastaus: $\square=8$ (2 p.).

Tarkistus: $\frac{-5+4+13+8}{4}=\frac{20}{4}=5$.

Ansa: negatiivinen luku $-5$ pienentää summaa, joten sitä ei saa laskea mukaan positiivisena. Muista myös jakaa neljällä eikä kolmella — puuttuva luku kuuluu itsekin keskiarvon lukujoukkoon.

Käytä summan neliön muistikaavaa $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$.

1. Tunnista osat: $u=2x$ ja $v=3$.
2. Neliöt: $u^2=4x^2$ ja $v^2=9$, mikä täsmää annettuun muotoon.
3. Keskimmäinen termi: $2uv=2\cdot 2x\cdot 3=12x$.

Vastaus: $\square=12$ (2 p.).

Tarkistus kertomalla auki: $(2x+3)(2x+3)=4x^2+6x+6x+9=4x^2+12x+9$, eli keskimmäinen termi syntyy kahdesta samanlaisesta ristiin kertomisesta.

Ansa: keskimmäistä termiä ei saa unohtaa eikä laskea muodossa $2x\cdot 3=6x$ — kerroin $2$ kuuluu kaavaan. Tavallinen virhe on myös kirjoittaa $(2x+3)^2=4x^2+9$.

Kun ratkaisu tunnetaan, se sijoitetaan yhtälöön ja puuttuva luku ratkaistaan.

1. Sijoita $x=2$: $7\cdot 2+\square=19-2\cdot 2$.
2. Laske molemmat puolet: $14+\square=15$.
3. Vähennä $14$: $\square=15-14$.

Vastaus: $\square=1$ (2 p.).

Tarkistus: yhtälö $7x+1=19-2x$ antaa $9x=18$ eli $x=2$, kuten pitääkin.

Ansa: sijoitus on tehtävä yhtälön molemmille puolille — oikealla puolella oleva $-2x$ unohtuu helposti, jolloin saataisiin virheellinen $\square=5$. Muista myös miinusmerkki termissä $-2x$.

Ratkaise ensin tuntematon $y$ siitä yhtälöstä, jossa ei ole puuttuvaa lukua.

1. Sijoita $x=3$ alempaan yhtälöön: $3-2y=9$.
2. Ratkaise: $-2y=6$, joten $y=-3$.
3. Sijoita ylempään yhtälöön: $2\cdot 3+(-3)=6-3$.

Vastaus: $\square=3$ (2 p.).

Tarkistus: pari $(3,-3)$ toteuttaa molemmat yhtälöt, sillä $2\cdot 3-3=3$ ja $3-2\cdot(-3)=9$.

Ansa: negatiivisella luvulla jaettaessa merkki menee helposti väärin, jolloin $y=3$ antaisi virheellisen vastauksen $9$. Aloita aina siitä yhtälöstä, jossa kaikki luvut ovat tunnettuja.

Suorakulmaisessa kolmiossa pätee Pythagoraan lause: kateettien neliöiden summa on hypotenuusan neliö.

1. Kirjoita $c^2=20^2+21^2$.
2. Laske: $400+441=841$.
3. Ota neliöjuuri: $c=\sqrt{841}$.

Vastaus: $\square=29$ (2 p.).

Ansa: neliöjuuren ottaminen unohtuu helposti, jolloin vastaukseksi tulisi $841$. Muista myös, että kateettien pituuksia ei lasketa suoraan yhteen: $20+21=41$ olisi väärin, sillä hypotenuusan täytyy olla lyhyempi kuin kateettien summa mutta pidempi kuin kumpikaan kateetti erikseen.

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(ax^n)=anx^{n-1}$; vakiotermin derivaatta on nolla.

1. Ensimmäinen termi: $D(-6x^2)=-12x$.
2. Toinen termi: $D(12x)=12$.
3. Kolmas termi: $D(5)=0$.

Vastaus: $f'(x)=-12x+12$ (4 p.).

Derivaatan kuvaaja on suora, joka leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,12)$ ja jonka kulmakerroin on $-12$; alkuperäisessä monivalinnassa juuri tämä $y$-akselin leikkauspiste oli oikea vaihtoehto.

Ansa: toisen asteen termin kerroin kaksinkertaistuu derivoinnissa, joten $-6x^2$ antaa $-12x$ eikä $-6x$.

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(ax^n)=anx^{n-1}$; vakiotermin derivaatta on nolla.

1. Ensimmäinen termi: $D\left(-\frac12x^2\right)=-\frac12\cdot 2x=-x$.
2. Toinen termi: $D(4x)=4$.
3. Kolmas termi: $D(-6)=0$.

Vastaus: $g'(x)=-x+4$ (4 p.).

Derivaatan kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $-1$ ja joka leikkaa $x$-akselin pisteessä $(4,0)$; alkuperäisessä monivalinnassa juuri nämä kaksi väitettä olivat oikeat.

Ansa: kerroin $\frac12$ kumoutuu eksponentin kanssa, joten tulos on $-x$ eikä $-\frac12x$ tai $-2x$.

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(ax^n)=anx^{n-1}$; vakiotermin derivaatta on nolla.

1. Ensimmäinen termi: $D(3x^3)=9x^2$.
2. Toinen termi: $D(-4x)=-4$.
3. Kolmas termi: $D(3)=0$.

Vastaus: $h'(x)=9x^2-4$ (4 p.).

Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat saadaan yhtälöstä $9x^2=4$ eli $x=\pm\frac23$; nämä olivat alkuperäisen monivalinnan oikeat vaihtoehdot.

Ansa: kolmannen asteen termin kerroin kolminkertaistuu, joten $3x^3$ antaa $9x^2$ eikä $3x^2$. Vakiotermi $3$ ei näy derivaatassa lainkaan.

Logaritmien summa on tulon logaritmi, ei summan logaritmi, joten yhtälö pätee vain erikoistapauksissa.

1. Valitse kolme positiivista lukua, esimerkiksi $a=b=c=3$ (1 p.).
2. Laske oikea puoli tarkasti: $\ln 3+\ln 3+\ln 3=\ln(3\cdot 3\cdot 3)=\ln 27$ (1 p.).
3. Laske vasen puoli tarkasti: $\ln(3+3+3)=\ln 9$ (1 p.).
4. Koska $9\neq 27$ ja logaritmi on aidosti kasvava, on $\ln 9\neq\ln 27$ (1 p.).

Vastaus: esimerkiksi $a=b=c=3$ ei toteuta yhtälöä.

Ansa: lukujen on oltava positiivisia, sillä muutoin logaritmit eivät ole määriteltyjä; ei-positiivisista luvuista saa 0 p.

Logaritmin summakaava $\ln a+\ln b+\ln c=\ln(abc)$ muuttaa ehdon muotoon $a+b+c=abc$.

1. Valitse luvut, joiden summa ja tulo ovat samat, esimerkiksi $a=1$, $b=2$ ja $c=3$ (2 p.).
2. Oikea puoli: $\ln 1+\ln 2+\ln 3=\ln(1\cdot 2\cdot 3)=\ln 6$ (3 p.).
3. Vasen puoli: $\ln(1+2+3)=\ln 6$ (3 p.).
4. Puolet ovat tarkalleen samat, joten yhtälö toteutuu.

Vastaus: esimerkiksi $a=1$, $b=2$ ja $c=3$ toteuttavat yhtälön.

Ansa: likiarvojen vertailu ei kelpaa perusteluksi eikä tuota pisteitä — molemmat puolet on saatettava täsmälleen samaan muotoon $\ln 6$.

Määritelmän mukaan paraabelin piste on yhtä kaukana polttopisteestä ja johtosuorasta; kirjoita molemmat etäisyydet ja merkitse ne yhtä suuriksi.

1. Etäisyys polttopisteestä: $\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}$ (2 p.).
2. Etäisyys suorasta $x+y=0$: $\frac{|x+y|}{\sqrt2}$ (2 p.).
3. Merkitse yhtä suuriksi ja korota puolittain toiseen: $(x-2)^2+(y-2)^2=\frac{(x+y)^2}{2}$ (2 p.).
4. Avaa sulut ja kerro puolittain kahdella: $2x^2-8x+8+2y^2-8y+8=x^2+2xy+y^2$ (2 p.).
5. Siirrä kaikki vasemmalle ja tunnista neliö: $x^2+y^2-2xy+16=8(x+y)$ (2 p.).
6. Jaa kahdeksalla: $x+y=\frac18(x-y)^2+2$.

Vastaus: $a=\frac18$ ja $b=2$ (2 p.).

Ansa: etäisyys suorasta vaatii itseisarvon ja jakajan $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$; ilman nimittäjää yhtälö menee pieleen.

Kappale koostuu vaakasuorista neliöpoikkileikkauksista, joten tilavuus on poikkileikkauksen alan integraali korkeuden yli.

1. Oivalla, että poikkileikkaus korkeudella $z$ on neliö (1 p.), jonka sivun pituus on $2ae^{c(h-z)}$ (1 p.).
2. Ala: $A(z)=\left(2ae^{c(h-z)}\right)^2=4a^2e^{2c(h-z)}$ (2 p.).
3. Integroitavana on juuri tämä ala (1 p.), joten $V=\int_0^{312}4a^2e^{2c(h-z)}\,dz$ (2 p.).
4. Sisäfunktion derivaatta on $-2c$, joten integraalifunktio on $-\frac{4a^2}{2c}e^{2c(h-z)}$ (2 p.).
5. Sijoita rajat (1 p.): $V=\frac{2a^2}{c}\left(e^{2ch}-1\right)$.

Vastaus: $V\approx 1\,057\,104$ m$^3\approx 1\,060\,000$ m$^3$ (2 p.).

Ansa: torni ei ole kartio eikä pyörähdyskappale, joten väärä mallinnus ei tuota pisteitä. Muista myös yksiköt.

Valkoisen alueen ala kannattaa laskea vähentämällä lipun alasta neljä sinistä kolmiota, jotka jäävät lipun sivujen viereen.

1. Lipun ala: $30\cdot 50=1500$ cm$^2$ (1 p.).
2. Vasemman ja oikean reunan kolmio: kanta $30-2\cdot 3{,}5=23$, korkeus $\frac{50}{2}-5{,}8=19{,}2$, ala $\frac12\cdot 23\cdot 19{,}2=220{,}8$ (3 p.).
3. Ylä- ja alareunan kolmio: kanta $50-2\cdot 5{,}8=38{,}4$, korkeus $\frac{30}{2}-3{,}5=11{,}5$, ala $220{,}8$ (3 p.).
4. Sinistä yhteensä $4\cdot 220{,}8=883{,}2$ cm$^2$ (2 p.).
5. Valkoista siis $1500-883{,}2=616{,}8$ cm$^2$ (1 p.).

Vastaus: $\frac{616{,}8}{1500}=0{,}4112\approx 41\ \%$ (2 p.).

Ansa: kolmioiden kannat ja korkeudet menevät helposti sekaisin — vaakasuuntainen $5{,}8$ cm lyhentää kantaa vain ylä- ja alareunan kolmioissa. Virheestä enintään 9 p.

Tulkinnat eroavat siinä, pyöristetäänkö velka alaspäin täysiin minoihin ennen koron laskemista.

Tapa 1
1. Ensimmäiseltä kuukaudelta korkoa kertyy $30$ sekeliä, jolloin velka on $30{,}5$ minaa; toiselta kuukaudelta jälleen $30$ sekeliä, jolloin velka on tasan $31$ minaa (1+1 p.).
2. Kuukausikorko määräytyy täysien minojen mukaan (1 p.), joten kolmannen kuukauden korko on $31$ sekeliä (1 p.).
3. Kuukausikorot kasvavat kahden kuukauden välein yhdellä: $2(30+31+32+33+34+35)=390$ (1 p.).

Vastaus (tapa 1): korkoa kertyy $390$ sekeliä eli $6$ minaa ja $30$ sekeliä, siis $6{,}5$ minaa (1 p.).

Tapa 2
4. Korkokerroin on $1+\frac{1}{60}=\frac{61}{60}\approx 1{,}01667$ (2 p.).
5. Vuoden päästä velkaa on $\left(\frac{61}{60}\right)^{12}\cdot 30\approx 36{,}58$ minaa (2 p.).

Vastaus (tapa 2): korkoa kertyy noin $36{,}58-30\approx 6{,}58$ minaa (2 p.).

Ansa: vakiokorko $30$ sekeliä kuukaudessa antaa tavassa 1 enintään 2 p.

Korrelaatiokerroin $r=\pm 1$ tarkoittaa, että pisteet ovat täsmälleen samalla suoralla, ja $r=0$ sitä, ettei lineaarista yhteyttä ole.

1. Tapaus $r=1$: valitse vähintään kymmenen pistettä nousevalta suoralta, esimerkiksi $(1,1),(2,2),\ldots,(10,10)$ (1 p.); piirrä hajontakuvio (1 p.); laske $r$ ohjelmistolla (1 p.); totea johtopäätöksenä, että $r=1$ (1 p.).
2. Tapaus $r=-1$: sama laskevalla suoralla, esimerkiksi $(1,10),(2,9),\ldots,(10,1)$ (4 p.).
3. Tapaus $r=0$: valitse aineisto, jossa lineaarista riippuvuutta ei ole, esimerkiksi symmetrisesti paraabelin muotoon asetellut pisteet; hyväksytään $r\in[-0{,}01;\,0{,}01]$ (4 p.).

Liitä jokaisesta tapauksesta kuvakaappaukset aineistosta, kuvaajasta ja korrelaatiokertoimesta.

Ansa: datapisteitä on oltava vähintään kymmenen — kahdeksan tai yhdeksän pisteen aineistosta saa enintään 3 p. tapausta kohti.

Sääntö valitaan aina sen mukaan, onko edellinen jäsen parillinen vai pariton.

a)
1. Luku $23$ on pariton, joten seuraava on $3\cdot 23+1=70$ (1 p.); $70$ on parillinen, joten seuraava on $35$ (1 p.).
2. Jatka samalla tavalla loppuun: $23,\ 70,\ 35,\ 106,\ 53,\ 160,\ 80,\ 40,\ 20,\ 10,\ 5,\ 16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1$ (1 p.).

b)
3. Kirjoita silmukka, joka käy läpi alkuarvot $2,\ldots,100$ (2 p.).
4. Sisäsilmukassa testaa parillisuus jakojäännöksellä ja sovella oikeaa sääntöä (2 p.).
5. Laske jokaisen jonon pituus laskurilla, kunnes päädytään lukuun $1$ (2 p.).
6. Tulosta taulukko, jossa näkyvät viisi pisintä jonoa alkuarvoineen ja pituuksineen (2 p.).
7. Selitä koodi ja kirjoita johtopäätös pisimmän jonon alkuarvosta (1 p.).

Ansa: a-kohdassa pelkkä oikea lukujono ilman sääntöjen näyttämistä antaa vain 2 p.

Epäoleellinen integraali käsitellään raja-arvona, ja vihjeen derivaattakaava tuottaa palautuskaavan.

a)
1. Integroi vihjeen kaava puolittain välillä $[0,R]$. Vasemmalta saadaan $\Big[x^ne^{-x}\Big]_0^R=R^ne^{-R}$, joka lähestyy nollaa, kun $R\to\infty$ (2 p.).
2. Oikealta saadaan summakaavalla $\int_0^R nx^{n-1}e^{-x}\,dx-\int_0^R x^ne^{-x}\,dx$, jonka raja-arvo on $nI_{n-1}-I_n$ (3 p.).
3. Siispä $nI_{n-1}-I_n=0$ eli $I_n=nI_{n-1}$ (1 p.).

b)
4. Määritelmän mukaan $I_0=\lim_{R\to\infty}\int_0^R e^{-x}\,dx$ (1 p.).
5. $\int_0^R e^{-x}\,dx=\Big[-e^{-x}\Big]_0^R=1-e^{-R}$ (2 p.), jonka raja-arvo on $1$, joten $I_0=1$ (1 p.).
6. Toista palautuskaavaa: $I_5=5I_4=5\cdot 4I_3=\cdots=5!\,I_0$ (2 p.).

Vastaus: $I_5=5!=120$.

Ansa: ylärajaa on käsiteltävä raja-arvona; ilman sitä a-kohdasta saa enintään 5 p.

Sijoita kärkien kautta kulkeva ympyrä yksikköympyräksi origoon, jolloin sisäympyrän säde on suoraan haettu suhde.

1. Kirjoita ympyrän yhtälö $x^2+y^2=1$ (1 p.) ja tarkastele yhtä paraabelia muodossa $y=ax^2+b$ (1 p.).
2. Kärjet ovat tasavälein, joten vierekkäisten sakaroiden keskuskulma on $\frac{2\pi}{7}$ ja paraabelin päätepisteiden välinen keskuskulma $\frac{4\pi}{7}$ (1 p.).
3. Symmetrian nojalla leikkauspiste on $P=\left(\cos\frac{3\pi}{14},\ \sin\frac{3\pi}{14}\right)$ (1 p.).
4. Paraabelin tangentin kulmakerroin pisteessä $P$ on $y'=2ax$ (1 p.), ja ympyrän tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan (1 p.).
5. Kohtisuoruusehdon nojalla paraabelin tangentti on säteen suuntainen: $2a\cos\frac{3\pi}{14}=\tan\frac{3\pi}{14}$, joten $a=\frac{\sin\frac{3\pi}{14}}{2\cos^2\frac{3\pi}{14}}$ (2 p.).
6. Sijoita $P$ paraabelin yhtälöön: $b=\sin\frac{3\pi}{14}-a\cos^2\frac{3\pi}{14}=\frac{\sin\frac{3\pi}{14}}{2}$ (3 p.).

Vastaus: yksikköympyrässä sisäympyrän säde on $b$, joten säteiden suhde on $\frac{\sin\frac{3\pi}{14}}{2}$ (1 p.).

Ansa: paraabelin huippu on $y$-akselilla, joten muoto $y=ax^2+b$ riittää.

Analyysin peruslause antaa derivaatan suoraan, joten ääriarvokohdat löytyvät derivaatan merkkitarkastelusta.

1. Derivaatta on $f'(x)=\sin\left(2\pi x^2\right)$ (1 p.).
2. Välillä $[0,1]$ nollakohdat ovat $x=0$, $x=\frac{1}{\sqrt2}$ (koska $2\pi x^2=\pi$) ja $x=1$; tarkat arvot vaaditaan (1 p.).
3. Merkki: $f'>0$, kun $0<x<\frac{1}{\sqrt2}$, ja $f'<0$, kun $\frac{1}{\sqrt2}<x<1$ (1 p.).
4. Suurin arvo saavutetaan siis kohdassa $x=\frac{1}{\sqrt2}$ (1 p.), ja pienimmän arvon ehdokkaita ovat vain päätepisteet $x=0$ ja $x=1$ (1 p.).
5. Vertaa niitä jakamalla $f(1)$ kahteen osaan väleillä $\left[0,\frac{1}{\sqrt2}\right]$ ja $\left[\frac{1}{\sqrt2},1\right]$ (1 p.).
6. Arvioi jälkimmäisen välin negatiivinen ala testipisteillä itseisarvoltaan pienemmäksi kuin $0{,}229$ (3 p.) ja ensimmäisen välin positiivinen ala suuremmaksi kuin $0{,}232$ (2 p.), jolloin $f(1)>0=f(0)$.

Vastaus: suurin arvo kohdassa $x=\frac{1}{\sqrt2}$ ja pienin kohdassa $x=0$ (1 p.).

Ansa: ohjelmiston likiarvot tai fMin- ja fMax-käskyt eivät kelpaa perusteluiksi.