Pitkä matematiikka, syksy 2025 – yo-kokeen tehtävät ja ratkaisut

Prosenttiosuus lasketaan kertomalla luku prosenttiluvun desimaalimuodolla.

1. Muunna prosentti desimaaliksi: $12\ \%=\frac{12}{100}=0{,}12$.
2. Kerro: $0{,}12\cdot 34$.

Vastaus: $4{,}08$ (2 p.).

Suuruusluokan tarkistus: $10\ \%$ luvusta $34$ on $3{,}4$, joten $12\ \%$ on hieman tätä suurempi.

Ansa: prosenttimerkin unohtaminen johtaa laskuun $12\cdot 34=408$, joka on sata kertaa liian suuri. Älä myöskään laske osamäärää $\frac{34}{12}$ — kysytty on osuus luvusta $34$, ei lukujen suhde.

Eristä potenssi ja ota kuutiojuuri; pariton eksponentti sallii negatiivisen ratkaisun.

1. Vähennä $12$ puolittain: $x^3=4-12=-8$.
2. Ota kuutiojuuri: $x=\sqrt[3]{-8}$.

Vastaus: $x=-2$ (2 p.).

Tarkistus: $12+(-2)^3=12-8=4$, joten ratkaisu täsmää. Kolmannen asteen potenssiyhtälöllä on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu, joten muita vastauksia ei ole.

Ansa: negatiivisella luvulla on kuutiojuuri, toisin kuin neliöjuuri, joten ratkaisua ei pidä hylätä. Toinen tavallinen virhe on merkkivirhe siirrossa: muoto $x^3=12-4=8$ antaisi virheellisen arvon $x=2$, joka ei toteuta yhtälöä.

Suorakulmaisessa kolmiossa kulman vastaisen kateetin ja hypotenuusan suhde on kulman sini.

1. Kirjoita $\sin 34^\circ=\frac{12}{c}$, missä $c$ on hypotenuusa.
2. Ratkaise: $c=\frac{12}{\sin 34^\circ}$.
3. Laske: $c\approx 21{,}5$.

Vastaus: $21$ (2 p.).

Ansa: laskimen kulmayksikkö on tarkistettava — radiaaneilla saadaan virheellinen $23$, josta annetaan vain yksi piste. Muista myös, että hypotenuusa on kolmion pisin sivu, joten vastauksen täytyy olla suurempi kuin $12$; jos saat pienemmän luvun, olet kertonut sinillä jakamisen sijaan.

Säde on keskipisteen ja ympyrän kehäpisteen etäisyys, joka lasketaan etäisyyskaavalla.

1. Koordinaattien erotukset ovat $3-1=2$ vaakasuunnassa ja $4-2=2$ pystysuunnassa; nämä ovat suorakulmaisen kolmion kateetit.
2. Etäisyyskaava: $r=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8$.

Vastaus: $r=\sqrt8=2\sqrt2\approx 2{,}83$ (2 p.).

Ansa: neliöjuuri on muistettava ottaa — luku $8$ on säteen neliö, ei säde. Ympyrän yhtälö olisi vastaavasti $(x-1)^2+(y-2)^2=8$, ja juuri tuo oikea puoli houkuttelee vastaamaan $8$. Tarkka arvo $\sqrt8$ sievenee muotoon $2\sqrt2$.

Käytä logaritmin laskusääntöjä $\log_a 1=0$ ja $\log_a x^n=n\log_a x$.

1. Ensimmäinen termi: $\log_a 1=0$, koska $a^0=1$.
2. Toinen termi: $\log_a 2^3=3\log_a 2$.
3. Kolmas termi: koska $4=2^2$, on $\log_a 4=2\log_a 2$.
4. Laske yhteen: $0+3\log_a 2+2\log_a 2$.

Vastaus: $5\log_a 2$, yhtäpitävästi $\log_a 32$ (2 p.).

Ansa: $\log_a 1$ on nolla eikä yksi. Muista myös, että logaritmien summa on tulon logaritmi, joten $\log_a 8+\log_a 4=\log_a 32$ eikä $\log_a 12$.

Polynomi derivoidaan termeittäin säännöllä $D(x^n)=nx^{n-1}$; vakion derivaatta on nolla.

1. Derivoi: $g'(x)=0+2-3x^2=2-3x^2$.
2. Sijoita $x=4$: $g'(4)=2-3\cdot 4^2=2-48$.

Vastaus: $g'(4)=-46$ (2 p.).

Negatiivinen derivaatta kertoo, että funktio on vähenevä kohdassa $x=4$, mikä on järkevää, koska kolmannen asteen termi hallitsee suurilla arvoilla.

Ansa: potenssiin korotus tehdään ennen kertomista, joten $3\cdot 4^2=48$ eikä $(3\cdot 4)^2=144$. Muista myös miinusmerkki: termi $-x^3$ derivoituu muotoon $-3x^2$, ei muotoon $3x^2$, jolloin vastaus kääntyisi virheellisesti positiiviseksi.

Suoran yhtälö saadaan kulmakertoimesta ja yhdestä tunnetusta pisteestä.

1. Kulmakerroin: $k=\frac{0-(-3)}{5-0}=\frac35$ (1+1 p.).
2. Piste $(0,-3)$ on $y$-akselilla, joten vakiotermi on suoraan $-3$ (1+1 p.).

Vastaus: $y=\frac35x-3$, normaalimuodossa $-3x+5y+15=0$.

Tarkistus: sijoittamalla $x=5$ saadaan $y=3-3=0$, eli piste $(5,0)$ todella on suoralla.

Ansa: kulmakertoimen osoittajaan tulee $y$-koordinaattien erotus ja nimittäjään $x$-koordinaattien erotus samassa järjestyksessä; käänteinen $\frac53$ on tavallinen virhe. Pelkkä vastaus ilman perusteluja antaa vain 2 p.

Summa derivoidaan termeittäin, ja eksponenttitermissä tarvitaan yhdistetyn funktion sääntöä.

1. Ensimmäinen termi: $D(3x^2)=6x$ (2 p.).
2. Toinen termi: ulkofunktion derivaatta on $e^{4x}$ ja sisäfunktion derivaatta $D(4x)=4$, joten $D\left(e^{4x}\right)=4e^{4x}$ (1+1 p.).

Vastaus: $f'(x)=6x+4e^{4x}$.

Ansa: sisäfunktion kerroin $4$ unohtuu helposti, jolloin saadaan virheellinen $6x+e^{4x}$. Älä myöskään lisää integroimisvakiota tai muita ylimääräisiä termejä, sillä niistä vähennetään piste. Pelkkä oikea vastaus riittää tässä tehtävässä täysiin pisteisiin.

Yhdistetyn funktion integroinnissa sisäfunktion kerroin on kompensoitava kertoimella $\frac15$.

1. Arvaa integraalifunktioksi $\sin(5x)$ ja tarkista derivoimalla: $D\sin(5x)=5\cos(5x)$.
2. Tulos on viisinkertainen, joten kerro luvulla $\frac15$: $\frac15\sin(5x)$.
3. Lisää integroimisvakio $C$.

Vastaus: $\int\cos(5x)\,dx=\frac15\sin(5x)+C$ (4 p.).

Ansa: kerroin $\frac15$ unohtuu helposti, ja myös vakio $C$ on kirjoitettava näkyviin — se on oma pisteensä. Jos integrointi menee muuten pieleen mutta $+C$ on mukana, saa siitä silti yhden pisteen.

Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan siirtämällä kaikki samalle puolelle ja tutkimalla paraabelin kulkua.

1. Kerro sulut auki: $x^2+2x-3>-3$, joten $x^2+2x>0$ (2 p.).
2. Nollakohdat: $x(x+2)=0$, josta $x=0$ tai $x=-2$ (2 p.).
3. Paraabeli aukeaa ylöspäin, joten lauseke on positiivinen nollakohtien ulkopuolella (2 p.). Saman voi perustella testipisteillä: $x=-1$ antaa arvon $-1<0$.

Vastaus: $x<-2$ tai $x>0$.

Ansa: vastausta ei saa kirjoittaa muotoon $-2<x<0$, sillä juuri sillä välillä epäyhtälö ei päde. Huomaa myös, että vakiot $-3$ kumoutuvat, jolloin epäyhtälö sievenee mukavasti.

Tulon nollasääntö: tulo on nolla täsmälleen silloin, kun jokin tekijöistä on nolla.

1. Ensimmäinen tekijä: $x+e=0$ antaa $x=-e$.
2. Toinen tekijä: $x^2-\pi^2=0$ eli $x^2=\pi^2$, josta $x=\pi$ tai $x=-\pi$ (ratkaisuista yhteensä 3 p.).
3. Perustele tulon nollasäännöllä (3 p.); vaihtoehtoisesti tarkistus sijoittamalla (1 p.) sekä maininta, että kolmannen asteen polynomilla on korkeintaan kolme juurta (2 p.).

Vastaus: $x=-e$, $x=\pi$ ja $x=-\pi$.

Ansa: vastaukset on annettava tarkkoina arvoina, sillä likiarvoista kuten $-2{,}72$ vähennetään piste. Muista myös neliöjuuren molemmat merkit — pelkkä $x=\pi$ jättää yhden juuren löytymättä.

Muunna molemmat puolet niin, että esiin saadaan yhteinen tekijä.

1. Pythagoraan lauseesta $1-(\cos x)^2=(\sin x)^2$ (2 p.).
2. Kaksinkertaisen kulman kaava: $(\sin 2x)^2=(2\sin x\cos x)^2=4(\sin x)^2(\cos x)^2$ (2 p.).
3. Siirrä samalle puolelle ja ota $(\sin x)^2$ yhteiseksi tekijäksi: $(\sin x)^2\left(1-4(\cos x)^2\right)=0$ (1 p.).
4. Jatka tulon nollasäännöllä (1 p.).
5. Yhtälöstä $\sin x=0$ saadaan välillä $[-\pi,\pi]$ ratkaisut $x=0$ ja $x=\pm\pi$ (2 p.).
6. Yhtälöstä $\cos x=\pm\frac12$ saadaan $x=\pm\frac{\pi}{3}$ ja $x=\pm\frac{2\pi}{3}$ (4 p.).

Vastaus: $x=0$, $x=\pm\frac{\pi}{3}$, $x=\pm\frac{2\pi}{3}$ ja $x=\pm\pi$.

Ansa: nollakohtien arvaaminen ja testaaminen ei kelpaa ratkaisuksi — kaikki ratkaisut on johdettava.

Kirjoita molemmat keskiarvot samoilla merkinnöillä ja vertaa niitä.

1. Alkuperäinen keskiarvo on $a=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$, joten $x_1+\cdots+x_n=an$ (1 p.).
2. Uusi keskiarvo on $\frac{x_1+\cdots+x_n+b}{n+1}=\frac{na+b}{n+1}$ (1 p.).
3. Vertaa tätä lukuun $a$ (1 p.).
4. Koska $b>a$ ja nimittäjä $n+1$ on positiivinen, pätee $\frac{na+b}{n+1}>\frac{na+a}{n+1}$ (1 p.).
5. Sievennä oikea puoli: $\frac{na+a}{n+1}=\frac{a(n+1)}{n+1}=a$ (2 p.).

Vastaus: uusi keskiarvo on siis aidosti suurempi kuin $a$, mikä oli todistettava.

Ansa: yksittäiset lukuesimerkit eivät kelpaa todistukseksi, vaan väite on osoitettava yleisillä merkinnöillä.

Ehdot eivät ole ristiriitaisia: mediaani ja moodi eivät rajoita keskiarvoa, koska yksi hyvin pieni luku voi vetää keskiarvon alas.

1. Anna esimerkki, vaikkapa luvut $-423,\ 1,\ 1,\ 1,\ 100,\ 101,\ 102,\ 103,\ 104$ (2 p.).
2. Moodi: luku $1$ esiintyy kolme kertaa, useammin kuin mikään muu luku (1 p.).
3. Mediaani: lukuja on yhdeksän, joten mediaani on suuruusjärjestyksessä viides luku eli $100$ (1 p.).
4. Keskiarvo: summa on $-423+3+510=90$, joten keskiarvo on $\frac{90}{9}=10$ (2 p.).

Vastaus: tällaisia lukuja on olemassa, ja yllä oleva joukko kelpaa esimerkiksi.

Ansa: pelkkä lukujoukon antaminen ei riitä, vaan jokainen kolmesta tunnusluvusta on perusteltava erikseen.

Ympyrä on rajoitettu ja $f$ jatkuva, joten arvojoukko on väli, jonka päinä ovat pienin ja suurin arvo.

1. Ratkaise ympyrän yhtälöstä $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ (2 p.), missä $x\in[-2,2]$ (1 p.).
2. Sijoita tapaus $y=+\sqrt{4-x^2}$: $f\left(x,\sqrt{4-x^2}\right)=x\sqrt{4-x^2}$ (1 p.).
3. Derivoi tulona: derivaataksi tulee $\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$ (2 p.).
4. Nollakohdat: $4-2x^2=0$ eli $x=\pm\sqrt2$ (1 p.).
5. Arvot nollakohdissa ja päätepisteissä: $f(\pm 2,0)=0$, $f(\sqrt2,\sqrt2)=2$ ja $f(-\sqrt2,\sqrt2)=-2$ (2 p.).
6. Jatkuvuuden nojalla myös kaikki väliarvot saavutetaan, joten arvojoukko on $[-2,2]$ (2 p.); tapaus $y=-\sqrt{4-x^2}$ on symmetrinen eikä tuo uusia arvoja (1 p.).

Vastaus: funktio saa ympyrällä täsmälleen välin $[-2,2]$ arvot. Parametrimuodossa $x=2\cos t$, $y=2\sin t$ sama näkyy suoraan: $f=2\sin(2t)$.

Ansa: pelkät ääriarvot eivät riitä vastaukseksi, sillä kysytty on koko arvojoukko.

Kolmion ala saadaan koordinaateista niin sanotulla kenkänauhakaavalla.

1. Kirjaa kärjet järjestyksessä $(12,3)$, $(-2,9)$ ja $(4,20)$.
2. Kaava: $A_1=\frac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$.
3. Sijoita: $\frac12\left|12(9-20)+(-2)(20-3)+4(3-9)\right|=\frac12\left|-132-34-24\right|=\frac{190}{2}$.

Vastaus: $A_1=95$ (2 p.).

Vaihtoehtoisesti ala on puolet kärkivektorien virittämän suunnikkaan alasta, tai sen voi laskea kantana yhden sivun pituus ja korkeutena vastakkaisen kärjen etäisyys tästä sivusta.

Ansa: itseisarvo on muistettava, sillä kärkien kiertosuunta voi antaa negatiivisen välituloksen — pinta-ala ei kuitenkaan voi olla negatiivinen.

Piiri on kolmen sivun pituuksien summa, ja jokainen sivu lasketaan etäisyyskaavalla.

1. $\sqrt{(12+2)^2+(3-9)^2}=\sqrt{196+36}=\sqrt{232}\approx 15{,}23$.
2. $\sqrt{(-2-4)^2+(9-20)^2}=\sqrt{36+121}=\sqrt{157}\approx 12{,}53$.
3. $\sqrt{(4-12)^2+(20-3)^2}=\sqrt{64+289}=\sqrt{353}\approx 18{,}79$.
4. Summaa sivut yhteen: $15{,}23+12{,}53+18{,}79\approx 46{,}55$, joka on lähempänä lukua $47$ kuin lukua $46$.

Vastaus: $p=47$ (2 p.).

Ansa: pyöristys tehdään vasta lopuksi ja lähimpään kokonaislukuun. Alaspäin katkaiseminen antaa virheellisen vastauksen $46$, josta saa vain yhden pisteen; myös välitulosten liian aikainen pyöristäminen voi kaataa vastauksen.

Suoran ympyrälieriön vaippa on auki levitettynä suorakulmio, jonka toinen sivu on pohjan ympärysmitta ja toinen lieriön korkeus.

1. Pohjaympyrän ympärysmitta: $2\pi r=2\pi\cdot 4=8\pi$.
2. Vaipan ala: $A_2=8\pi\cdot 13=104\pi$.
3. Laske likiarvo: $104\pi\approx 326{,}7$.

Vastaus: $A_2=327$ (2 p.).

Ansa: kysytty on vaipan ala, joten pohja- ja kansiympyröiden aloja $\pi r^2$ ei lasketa mukaan; koko pinta-ala olisi selvästi suurempi. Muista myös pyöristää vasta lopuksi, ei kesken laskun.

Pisteen etäisyys suorasta $ax+by+c=0$ saadaan kaavasta $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

1. Suora on jo normaalimuodossa: $a=2$, $b=1$ ja $c=5$.
2. Osoittaja: $|2\cdot(-20)+6+5|=|-29|=29$.
3. Nimittäjä: $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$.
4. Laske: $d=\frac{29}{\sqrt5}\approx 12{,}97$, joka pyöristyy ylöspäin lähimpään kokonaislukuun.

Vastaus: $d=13$ (2 p.).

Etäisyys mitataan aina kohtisuoraan suoraa vastaan, eli se on lyhin mahdollinen etäisyys pisteen ja suoran välillä.

Ansa: itseisarvo on pakollinen, ja suora on kirjoitettava normaalimuotoon ennen kaavan käyttöä. Muodosta $y=-2x-5$ suoraan luetut kertoimet johtavat helposti väärään nimittäjään.

Vektorien välinen kulma saadaan pistetulosta kaavalla $\cos\alpha=\frac{\overline u\cdot\overline v}{|\overline u||\overline v|}$.

1. Pistetulo: $\overline u\cdot\overline v=1\cdot 2+2\cdot(-2)=-2$.
2. Pituudet: $|\overline u|=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ ja $|\overline v|=\sqrt{4+4}=\sqrt8$.
3. Siis $\cos\alpha=\frac{-2}{\sqrt{40}}\approx -0{,}3162$, josta $\alpha\approx 108{,}4^\circ$.

Vastaus: $\alpha=108$ (2 p.).

Ansa: negatiivinen pistetulo tarkoittaa tylppää kulmaa, joten vastauksen on oltava yli $90^\circ$. Suplementtikulma $72^\circ$ on tavallinen virhe, ja siitä saa vain yhden pisteen; tarkista myös laskimen kulmayksikkö.

Laske ensin vektori komponenteittain ja vasta sitten sen pituus.

1. $4\overline u=4\overline i+8\overline j$ ja $7\overline v=14\overline i-14\overline j$.
2. Erotus: $4\overline u-7\overline v=(4-14)\overline i+(8+14)\overline j=-10\overline i+22\overline j$.
3. Pituus: $L=\sqrt{(-10)^2+22^2}=\sqrt{100+484}=\sqrt{584}\approx 24{,}17$.

Vastaus: $L=24$ (2 p.).

Suuruusluokan tarkistus: pidempi komponentti on $22$, joten pituuden kuuluu olla hieman tätä suurempi.

Ansa: miinusmerkki koskee molempia komponentteja, joten $-7\cdot(-2)=+14$; juuri tässä merkkivirhe on tavallisin. Muista myös, ettei pituus ole komponenttien summa vaan neliösumman neliöjuuri.

Talletukset kerryttävät korkoa eri ajan, ja jo kertyneelle korolle kertyy korkoa seuraavina vuosina.

1. Korkokerroin on $1{,}025$ ja kuukausikorko $\frac{0{,}025}{12}$ (1+1 p.).
2. Merkitse kuukausitalletus $x$ (1 p.). Vuoden ensimmäinen talletus on tilillä 12 kuukautta ja tuottaa koron $0{,}025x$, toinen 11 kuukautta ja niin edelleen (1 p.).
3. Vuoden lopussa tilillä on siis $12x+\frac{0{,}025}{12}(1+2+\cdots+12)x$ (3 p.).
4. Toinen ja kolmas vuosi tuottavat saman kertymän (1+1 p.).
5. Kunkin vuoden kertymä kasvaa korkoa jäljellä olevat vuodet, joten saldo on $\left(12x+\frac{0{,}025}{12}(1+2+\cdots+12)x\right)\left(1{,}025^2+1{,}025+1\right)$ (1+1 p.).
6. Aseta saldoksi $7\,500$ € ja ratkaise $x$.

Vastaus: noin $200{,}50$ euroa kuukaudessa (1 p.).

Ansa: vuositalletuksen jakaminen kahdellatoista (vastaus $198{,}25$) on tyyppivirhe, josta saa enintään 4 p.

Sirius on soveltanut oktaedrin kaavaa kappaleeseen, joka ei ole oktaedrin puolikas.

1. Virhe: säännöllisessä oktaedrissa kaikki särmät ovat yhtä pitkiä, mutta Gizan pyramidissa näin ei ole (2 p.).
2. Perustele laskemalla: pohjan lävistäjän puolikas on $\frac{230{,}3}{\sqrt2}$, joten Pythagoraan lauseella sivusärmän pituus on $\sqrt{\left(\frac{230{,}3}{\sqrt2}\right)^2+146{,}6^2}\approx 219{,}1$ metriä, mikä eroaa pohjan sivusta $230{,}3$ m (2 p.).
3. Käytä pyramidin omaa kaavaa: $V=\frac13\cdot\text{pohjan ala}\cdot\text{korkeus}=\frac13\cdot 230{,}3^2\cdot 146{,}6$ (2 p.).

Vastaus: todellinen tilavuus on noin $2\,592\,000$ kuutiometriä, siis selvästi pienempi kuin Siriuksen saama $2\,879\,025{,}83$ m$^3$.

Ansa: virheen toteaminen ei yksin riitä, vaan ero on perusteltava laskemalla sivusärmän pituus.

Suljetulla välillä suurin arvo voi olla joko derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä.

1. Virhe: Vega ei tarkistanut päätepisteitä $x=\pm 1$; derivoituva funktio voi saada suurimman arvonsa myös niissä (1 p.).
2. Muilta osin päättely on oikein: $g'(x)=3x^2-2$ ja nollakohdat $x=\pm\sqrt{\frac23}$ kuuluvat välille (1 p.).
3. Ehdokkaat ovat siis $x=\pm 1$ ja $x=\pm\sqrt{\frac23}$ (1 p.).
4. Laske ja vertaa: $g(-1)=-1+2+1=2$, $g(1)=1-2+1=0$, $g\left(\sqrt{\frac23}\right)=1-\frac{4\sqrt6}{9}\approx -0{,}09$ ja $g\left(-\sqrt{\frac23}\right)=1+\frac{4\sqrt6}{9}\approx 2{,}1$ (2 p.).

Vastaus: suurin arvo on $1+\frac{4\sqrt6}{9}$, joten Vegan lopputulos osui oikeaan, vaikka perustelu oli puutteellinen (1 p.).

Ansa: päätepisteiden tarkistus kuuluu aina suljetun välin ääriarvotehtävään.

Eukleideen algoritmi toimii isoillakin luvuilla: jaa toistuvasti ja seuraa jakojäännöksiä.

1. Ensimmäinen jakoyhtälö: $123\,456\,789\,101\,112=1\cdot 121\,110\,987\,654\,321+2\,345\,801\,446\,791$ (3 p.).
2. Jatka samaa jakajalla $2\,345\,801\,446\,791$ (1 p.): $121\,110\,987\,654\,321=51\cdot 2\,345\,801\,446\,791+1\,475\,113\,867\,980$ (2 p.).
3. Jatka, kunnes jakojäännös on nolla; viimeiset rivit ovat $9=1\cdot 6+3$ ja $6=2\cdot 3+0$ (2 p.).
4. Kirjaa kaikki jakoyhtälöt $a=q_nb+r_n$ näkyviin tai taulukkolaskennassa solujen kaavat (2 p.).

Vastaus: suurin yhteinen tekijä on viimeinen nollasta eroava jakojäännös eli $3$ (2 p.).

Ansa: pelkkä taulukko ilman dokumentointia antaa enintään 10 p., joten kirjoita laskukaavat näkyviin.

Ratkaisu nojaa pelkkään määritelmään: etäisyyksien summa polttopisteisiin on vakio $k$.

1. Perustele, että polttopisteet ovat ellipsin sisäpuolella (2 p.) ja symmetrisesti $x$-akselilla, siis muotoa $(\pm p,0)$ (2 p.).
2. Sovella määritelmää pisteeseen $(a,0)$: $k=(a-p)+(a+p)=2a$ (1 p.).
3. Sovella määritelmää pisteeseen $(0,1)$: molemmat etäisyydet ovat $\sqrt{p^2+1}$, joten $k=2\sqrt{p^2+1}$ (1 p.).
4. Vertaa: $2a=2\sqrt{p^2+1}$, joten $p=\sqrt{a^2-1}$ ja polttopisteet ovat $\left(\pm\sqrt{a^2-1},0\right)$ (2 p.).
5. Kirjoita ehto pisteelle $Z=(x,y)$: $\sqrt{(x+p)^2+y^2}+\sqrt{(x-p)^2+y^2}=2a$. Eristä toinen juuri, korota neliöön kahdesti ja sievennä (3 p.).
6. Tuloksena $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-p^2}=1$, ja koska $a^2-p^2=1$, saadaan $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$ (1 p.).

Ansa: neliöön korotus on tehtävä kahdesti, ja sievennyksen välivaiheet on kirjoitettava näkyviin.

Ortogonaalisuus on integraaliehto, joten a-kohdassa riittää sovittaa yksi parametri sopivaksi.

a)
1. Valitse parametrillinen kokeilufunktio, joka vaihtaa merkkiä välillä $[1,2]$, esimerkiksi $g(x)=x-c$ (2 p.).
2. Laske $\int_1^2(3x+2)(x-c)\,dx=10-\frac{13c}{2}$ (2 p.).
3. Aseta integraali nollaksi: $c=\frac{20}{13}$ (2 p.).

Vastaus a): $g(x)=x-\frac{20}{13}$ kelpaa.

b)
4. Vastaus on: eivät välttämättä (2 p.).
5. Vastaesimerkki: valitse $h=f$ ja $g$ kuten a-kohdassa. Nyt $f$ ja $g$ sekä $g$ ja $h$ ovat ortogonaaliset, mutta $\int_1^2 f(x)h(x)\,dx=\int_1^2(3x+2)^2\,dx>0$, koska integroitava on aidosti positiivinen (4 p.).

Ansa: nollafunktio ei kelpaa esimerkiksi, sillä tehtävässä tarkastellaan vain funktioita, jotka eivät ole nollafunktioita.

Derivaatan positiivisuus kohdan $x=0$ ulkopuolella ei kerro mitään siitä, mitä funktio tekee itse kohdassa $0$.

1. (i) Ei päde. Vastaesimerkki $f(x)=x$, kun $x\neq 0$, ja $f(0)=1$: derivaatta on $1>0$ muualla, mutta funktio hyppää kohdassa $0$ (2 p.).
2. (ii) Ei päde. Vastaesimerkki $f(x)=-\frac1x$, kun $x\neq 0$, ja $f(0)=0$: nyt $f'(x)=\frac{1}{x^2}>0$, mutta $f(-1)=1>f(1)=-1$ (2 p.).
3. (iii) Pätee. Derivaatan positiivisuus tekee funktiosta kasvavan väleillä $]-\infty,0[$ ja $]0,\infty[$ (2 p.); jatkuvuus laajentaa kasvavuuden näiden välien päihin (1 p.), joten $f(a)<f(0)<f(b)$ aina kun $a<0<b$ (1 p.).
4. (iv) Ei päde. Vastaesimerkki $f(x)=x$, kun $x<0$, $f(0)=1$ ja $f(x)=x+2$, kun $x>0$: funktio on aidosti kasvava ja $f'(x)=1>0$, kun $x\neq 0$, muttei jatkuva kohdassa $0$ (4 p.).

Ansa: vastaesimerkki on aina perusteltava — pelkkä funktio ilman tarkistusta ei tuota täysiä pisteitä.